안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터장에서는 2차원과 3차원에서의 벡터함수로 표현되는 벡터장(Vector Field)에 대한 설명을 해보았습니다. 그리고 몇 가지 함수들에 대한 벡터장을 실제로 그려보았죠. 지금까지 저희는 적분을 할 때 고정된 $x$축 또는 $xy$ 평면에 대해서 수행해왔습니다. 좀 더 일반적으로 생각해보았을 때 어떤 임의의 곡선 $C$ 위에서 적분을 수행할 수도 있지 않을까요? 오늘은 선적분(Line integral)에 대해서 알아보도록 하죠. 일단, 위 그림과 같이 곡선 $C$가 정의되었다고 가정하겠습니다. 이 곡선은 $a \le t \le b$을 $n$등분하여 $n$개의 등구간을 만든 뒤 각 구간에서 표본점 $t_{i}^{*}$을 선택하여 곡선 $C$ 상의 점 $P_{i}$로..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다중적분의 변수변환법에서는 실질적으로 좌표계 변환을 했을 때 발생하는 넓이 차이 $\Delta A$가 생기는 원리와 이를 보정하는 값인 야코비(Jacobian)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터장(Vector Field)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 여러분들이 가장 흔히 보시는 벡터장은 위와 같이 기상뉴스에서 각 위치에 따른 바람의 방향입니다. 다른 예시로는 위 그림과 같이 해류의 방향과 공기의 순환 방향을 예로 들 수 있습니다. 정의1. 벡터장(Vector Field) 1). $D$를 $\mathbb{R}^{2}$의 부분집합이라고 하자. $\mathbb{R}^{2}$에서의 벡터장은 영역 $D$의 각 점 $(x, y)$에 대한 이차원 벡터함수 $\mathbf..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 함수에서는 함수를 보다 명확하게 정의하기 위해서 대응규칙을 정의하고 합성함수와 함께 특별한 조건을 만족하는 함수들인 단사함수, 전사함수, 전단사함수에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 상(image)와 역상(inverse image)에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다. 정의1. 상(image)과 역상(inverse image) 1). 함수 $f : A \rightarrow B$와 부분집합 $A_{0} \subset A$가 주어졌다고 가정하자. 집합 $A_{0}$의 모든 원소들을 함수 $f$에 의해 변환시킨 $f(A_{0})$를 함수 $f$에 대한 $A_{0}$의 상이라고 한다. $$f(A_{0}) = \{b \in B | b = f(a) \text{ for at lea..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 구면좌표계에서의 삼중적분에서는 직교좌표계를 구면좌표계로 또는 그 반대로 구면좌표계를 직교좌표계로 변환시키는 방법과 함께 구면좌표계로 정의된 영역 내에서 삼중적분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다중적분에서 변수변환법(Change of Variables)을 적용하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단, 미적분학 - 치환적분에서 보았던 개념을 다시 보도록 하겠습니다. 기본적으로, $y = f(x)$이고 $x = g(u)$로 표현되는 매개변수 함수라고 가정했을 때 함수 $y$를 $x = a$부터 $x = b$까지의 적분을 변수 $u$를 이용해서 표현할 수 있습니다. $$\int_{a}^{b} f(x) \; dx = \int_{c}^{d} f(g(u))..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 데카르트 곱에서는 두 개의 집합을 이용해서 새로운 집합을 구성하는 데카르트 곱(Cartesian Product)에 대해서 아주 간단하게 알아보았습니다. 지금까지는 정말 집합론의 기본적인 개념들만 배웠기 때문에 이제부터는 이를 활용할 수 있는 방법에 대해서 말해보고자 합니다. 저희는 이를 함수(function)로 시작해보겠습니다. 저희는 함수에 대한 내용을 미적분학 - 함수에서 아주 간단히 다루어보았습니다. 해당 포스팅에서의 정의에 따르면 함수란 정의역 $D$의 원소 $x$가 공역의 어떤 원소로 대응되는 규칙(Rule)을 의미한다고 하였습니다. 그리고 저희는 이전부터 강조했지만 수학자들이 가장 싫어하는 것은 모호한 표현입니다. 대응 규칙(Rule of Assignmen..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 원기둥좌표계에서의 삼중적분에서는 원기둥좌표계에서는 삼중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 삼차원에서 새로운 좌표계인 구면좌표계(Spherical Coordinate)에서의 삼중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단 구면좌표계(Spherical Coordinate)이 어떻게 정의되는지부터 알아봐야겠네요. 원기둥좌표계에서는 $(r, \theta, z)$로 이루어진 좌표계로 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 그리고 $\theta = \arctan\left(\frac{x}{y}\right)$로 정의되었습니다. 그리고 $z$는 직교좌표계의 높이와 동일하게 정의가 되었죠. 구면좌표계에서는 $(\rho, \theta, \phi..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 확장된 합집합과 교집합에서는 기존에는 2개 또는 3개의 집합들 사이의 연산만 수행하였지만 이를 임의의 개수의 집합들의 연산으로 확장을 해보았습니다. 지금까지 저희는 새로운 집합을 만드는 방법으로 합집합, 교집합, 차집합에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 새로운 연산인 집합의 데카르트 곱(cartesian product)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 데카르트 곱(cartesian product) 임의의 두 집합 $A$와 $B$에 대해서 두 집합의 데카르트 곱 $A \times B$은 집합 $A$의 원소 $a$와 집합 $B$의 원소 $b$의 순서쌍(ordered pair) $(a, b)$으로 만들어지는 집합이다. $$A \times B = \{(a, b) | ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 삼중적분에서는 3개의 변수 $(x, y, z)$를 가지는 함수 $w = f(x, y, z)$에 대한 삼중적분을 해보았습니다. 오늘은 이중적분을 극좌표계에서 했듯이 삼중적분을 다른 좌표계에서 해보도록 하겠습니다. 삼중적분에서 자주 사용되는 좌표계는 원기둥좌표계입니다. 오늘은 이것에 대해서 알아보도록 하죠. 일단 원기둥좌표계(Cylinder Coordinate)부터 알아보아야할 거 같습니다. 기본적인 구조는 극좌표계(Polar Coordinate)와 동일합니다. 미적분학 - 극좌표계에서 보았듯이 좌표계 변환을 다시 보도록 하겠습니다. $$x = r\cos(\theta), y = r\sin(\theta)$$ 여기서 원기등좌표계는 추가적으로 $z$축을 추가하여 $(r, \..
