미적분학 - 벡터장

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다중적분의 변수변환법에서는 실질적으로 좌표계 변환을 했을 때 발생하는 넓이 차이 $\Delta A$가 생기는 원리와 이를 보정하는 값인 야코비(Jacobian)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터장(Vector Field)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 

여러분들이 가장 흔히 보시는 벡터장은 위와 같이 기상뉴스에서 각 위치에 따른 바람의 방향입니다. 

 

 

다른 예시로는 위 그림과 같이 해류의 방향과 공기의 순환 방향을 예로 들 수 있습니다. 

 

 정의1. 벡터장(Vector Field)

1). $D$를 $\mathbb{R}^{2}$의 부분집합이라고 하자. $\mathbb{R}^{2}$에서의 벡터장은 영역 $D$의 각 점 $(x, y)$에 대한 이차원 벡터함수 $\mathbf{F}(x, y)$에 의해 대응되는 벡터들의 집합이다. 

 

$$\mathbf{F}(x, y) = <P(x, y), Q(x, y)> = P(x, y) \mathbf{i} + Q(x, y) \mathbf{j}$$

 

2). $D$를 $\mathbb{R}^{3}$의 부분집합이라고 하자. $\mathbb{R}^{3}$에서의 벡터장은 영역 $D$의 각 점 $(x, y, z)$에 대한 삼차원 벡터함수 $\mathbf{F}(x, y, z)$에 의해 대응되는 벡터들의 집합이다. 

 

$$\mathbf{F}(x, y, z) = <P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)> = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}$$

 

설명

쉽게 말해 벡터장이라는 것은 특정 영역이 주어졌을 때 각 점을 모두 벡터함수 $\mathbf{F}$로 변환한 뒤 그림으로 그린 것을 의미합니다. 예를 들어, $\mathbf{F}(x, y) = <-y, x>$라고 할 때 벡터장을 그려보겠습니다. 벡터장을 그리기 위해 가장 먼저 할 일은 각 점을 실제로 대입했을 때 $\mathbf{F}(x, y)$의 표를 만드는 것 입니다. 

 

그리고 이를 실제 좌표평면에 벡터로 그리는 것이죠. 일반적인 그래프와 다른 점은 벡터함수이기 때문에 크기와 방향을 표현해주어야한다는 것입니다. 그래서 화살표로 그리게 되죠. 

 

이를 이용하면 위와 같이 다양한 형태의 벡터장을 그려볼 수 있습니다. 왼쪽은 $\mathbf{F}(x, y) = <-y, x>$, 가운데는 $\mathbf{F}(x, y) = <y, \sin(x)>$, 그리고 오른쪽은 $\mathbf{F}(x, y) = <\ln(1 + y^{2}), \ln(1 + x^{2})> $입니다.