안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 선적분과 미적분학 기본정리에서는 선적분과 관련된 다양한 정리들에 대해서 알아보았습니다. 이 정리들은 오늘 알아볼 그린 정리(Green's Theorem)의 기본이 되기 때문에 숙지하셔야하는 정리들입니다. 오늘은 그린 정리를 알아보고 간단한 케이스에서의 그린 정리를 증명해보도록 하겠습니다. 정리1. 그린 정리(Green's Theorem) 양의 방향을 가지는 곡선 $C$가 조각별로 부드럽고 단순하게 닫혀있는 곡선이라고 하고 $D$를 곡선 $C$에 의해 제한되는 영역이라고 할 때 영역 $D$를 포함하는 열린 영역에서 $P$와 $Q$가 연속 편도함수를 가진다고 가정하면 아래의 식이 성립한다. $$\int_{C} P dx + Q dy = \iint_{D} \left(\fr..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터장에서는 2차원과 3차원에서의 벡터함수로 표현되는 벡터장(Vector Field)에 대한 설명을 해보았습니다. 그리고 몇 가지 함수들에 대한 벡터장을 실제로 그려보았죠. 지금까지 저희는 적분을 할 때 고정된 $x$축 또는 $xy$ 평면에 대해서 수행해왔습니다. 좀 더 일반적으로 생각해보았을 때 어떤 임의의 곡선 $C$ 위에서 적분을 수행할 수도 있지 않을까요? 오늘은 선적분(Line integral)에 대해서 알아보도록 하죠. 일단, 위 그림과 같이 곡선 $C$가 정의되었다고 가정하겠습니다. 이 곡선은 $a \le t \le b$을 $n$등분하여 $n$개의 등구간을 만든 뒤 각 구간에서 표본점 $t_{i}^{*}$을 선택하여 곡선 $C$ 상의 점 $P_{i}$로..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 구면좌표계에서의 삼중적분에서는 직교좌표계를 구면좌표계로 또는 그 반대로 구면좌표계를 직교좌표계로 변환시키는 방법과 함께 구면좌표계로 정의된 영역 내에서 삼중적분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다중적분에서 변수변환법(Change of Variables)을 적용하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단, 미적분학 - 치환적분에서 보았던 개념을 다시 보도록 하겠습니다. 기본적으로, $y = f(x)$이고 $x = g(u)$로 표현되는 매개변수 함수라고 가정했을 때 함수 $y$를 $x = a$부터 $x = b$까지의 적분을 변수 $u$를 이용해서 표현할 수 있습니다. $$\int_{a}^{b} f(x) \; dx = \int_{c}^{d} f(g(u))..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 원기둥좌표계에서의 삼중적분에서는 원기둥좌표계에서는 삼중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 삼차원에서 새로운 좌표계인 구면좌표계(Spherical Coordinate)에서의 삼중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단 구면좌표계(Spherical Coordinate)이 어떻게 정의되는지부터 알아봐야겠네요. 원기둥좌표계에서는 $(r, \theta, z)$로 이루어진 좌표계로 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 그리고 $\theta = \arctan\left(\frac{x}{y}\right)$로 정의되었습니다. 그리고 $z$는 직교좌표계의 높이와 동일하게 정의가 되었죠. 구면좌표계에서는 $(\rho, \theta, \phi..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 삼중적분에서는 3개의 변수 $(x, y, z)$를 가지는 함수 $w = f(x, y, z)$에 대한 삼중적분을 해보았습니다. 오늘은 이중적분을 극좌표계에서 했듯이 삼중적분을 다른 좌표계에서 해보도록 하겠습니다. 삼중적분에서 자주 사용되는 좌표계는 원기둥좌표계입니다. 오늘은 이것에 대해서 알아보도록 하죠. 일단 원기둥좌표계(Cylinder Coordinate)부터 알아보아야할 거 같습니다. 기본적인 구조는 극좌표계(Polar Coordinate)와 동일합니다. 미적분학 - 극좌표계에서 보았듯이 좌표계 변환을 다시 보도록 하겠습니다. $$x = r\cos(\theta), y = r\sin(\theta)$$ 여기서 원기등좌표계는 추가적으로 $z$축을 추가하여 $(r, \..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 일반적인 영역에 대한 이중적분 정의에서는 직사각형 영역이 아닌 임의의 모양을 가진 영역에서 이중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 기본적인 원래는 임의의 모양을 덮는 직사각형 영역에서 적분을 하는 것이였습니다. 오늘은 다시 좌표계를 직교좌표계에서 극좌표계로 바꾸어서 이중적분을 해보도록 하겠습니다. 이를 위해서는 극좌표계부터 알아야겠죠? 미적분학 - 극좌표계에서는 직교좌표에서 극좌표계로 또는 극좌표계에서 직교좌표계로 변환하는 방법에 대해서 설명하였습니다. 정리하면 아래와 같죠. 직교좌표계 $\rightarrow$ 극좌표계 : $(r, \theta) = (\sqrt{x^{2} + y^{2}}, \arctan(\frac{y}{x}))$ 극좌표계 $\righta..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 반복적분에서는 실질적으로 다변수 함수의 적분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 지금까지 저희는 직사각형 영역에 대한 이중적분을 해보았습니다. 오늘은 영역을 직사각형에 국한하지 않고 보다 일반적인 영역에서 이중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 저희의 목표는 위의 왼쪽 그림과 같은 임의의 모양을 가진 영역 $D$ 상에서 이중적분을 하는 것이 목표입니다. 하지만, 기본적으로 저희는 현재 직사각형 영역에 대한 이중적분밖에 하지 못하기 때문에 이를 활용해야합니다. 따라서 오른쪽 그림과 같이 영역 $D$를 둘러싸는 새로운 직사각형 영역 $R$을 생각해보겠습니다. 그리고 기존의 함수를 $f$라고 했을 때 영역 $D$에서는 값을 그대로 같지만 영역 $D$ ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 이중적분에서는 다변수 함수에서 다중적분이 정의되는 원리에 대해서 알아보았습니다. 결론적으로는 기존의 단변수 함수에서의 적분과 큰 차이는 없이 동일하게 구간을 등구간으로 자르는 것으로 시작하는 것을 알게 되었습니다. 오늘은 이중적분을 실질적으로 어떻게 계산하는 지에 대해서 알아보겠습니다. 먼저 함수 $f$가 영역 $R = [a, b] \times [c, d] = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | a \le x \le b, c \le y \le d\}$에서 적분가능하다고 하겠습니다. 저희가 미적분학 - 편미분에서 보았듯이 특정 변수에 대해서 미분을 할 수 있습니다. 이와 유사하게 특정 변수에 대한 적분 역시 가능하죠. 저희는 이를 편적분(partia..
