미적분학 - 극좌표계에서의 이중적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 일반적인 영역에 대한 이중적분 정의에서는 직사각형 영역이 아닌 임의의 모양을 가진 영역에서 이중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 기본적인 원래는 임의의 모양을 덮는 직사각형 영역에서 적분을 하는 것이였습니다. 오늘은 다시 좌표계를 직교좌표계에서 극좌표계로 바꾸어서 이중적분을 해보도록 하겠습니다. 

 

이를 위해서는 극좌표계부터 알아야겠죠? 미적분학 - 극좌표계에서는 직교좌표에서 극좌표계로 또는 극좌표계에서 직교좌표계로 변환하는 방법에 대해서 설명하였습니다. 정리하면 아래와 같죠. 

 

• 직교좌표계 $\rightarrow$ 극좌표계 : $(r, \theta) = (\sqrt{x^{2} + y^{2}}, \arctan(\frac{y}{x}))$
• 극좌표계 $\rightarrow$ 직교좌표계 : $(x, y) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))$

 

극좌표계 변환을 통해 위 그래프를 극좌표계로 나타내보겠습니다. 왼쪽 그래프 영역을 $R_{1}$, 오른쪽 그래프 영역을 $R_{2}$라고 하겠습니다. 

 

$$R_{1} = \{(r,\theta) | 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi\}$$

$$R_{2} = \{(r,\theta) | 1 \le r \le 2, 0 \le \theta \le \pi\}$$

 

위 그림에서 직교좌표계로 표현하려면 꽤나 복잡하지만 극좌표계로 표현하게 되면 아주 간결하게 바꿀 수 있습니다. 이와 같이 극좌표계에서 $R = \{(r, \theta) | a \le r \le b, \alpha \le \theta \le \beta\}$의 꼴로 표현되는 영역을 저희는 극-직사각형(polar retangle)이라고 합니다. 

 

한편, 미적분학 - 극좌표계 적분에서 보았던 극좌표계에서 적분을 수행하는 방법을 복습하면 직교좌표계와 동일하게 $\theta$를 등분하여 아주 작은 부채꼴 영역으로 쪼갠 뒤 각 영역의 넓이를 더하는 과정을 볼 수 있습니다. 오늘 보실 이중적분도 마찬가지입니다.

 

위 그림과 같이 극좌표계에서 이중적분을 위해 $r$과 $\theta$를 각각 $m$등분, 그리고 $n$등분하게 됩니다. 그리고 $i$번째 등분된 반지름 구간은 $[r_{i - 1}, r_{i}]$가 되고 $j$번째 등분된 부채꼴 구간은 $[\theta_{j - 1}, \theta_{j}]$가 됩니다. 그러면 각 부채꼴 영역의 각도는 $\Delta \theta = \frac{\beta - \alpha}{n}$가 되고 길이는 $\Delta r = \frac{b - a}{m}$이 됩니다. 이때, 각 부채꼴 영역에서 표본점 $(r_{i}^{*}, \theta_{j}^{*})$을 하나 선택하겠습니다. 여기서 표본점을 각 부채꼴 영역의 중심을 잡아야 오차가 줄어들기 때문에 $i$번째 반지름 구간에서 $j$번째 각도 구간에 대응하는 부채꼴 영역 $R_{ij} = \{(r, \theta) | r_{i - 1} \le r \le r_{i}, \theta_{j - 1} \le \theta \le \theta_{j}\}$의 중심점을 선택합니다. 

 

$$r_{i}^{*} = \frac{r_{i - 1} + r_{i}}{2}$$

$$\theta_{j}^{*} = \frac{\theta_{j - 1} + \theta_{j}}{2}$$

 

이제 저희가 해야하는 것은 각 부채꼴 영역의 넓이를 구하는 것입니다. 따라서, 부채꼴 넓이 공식인 $\frac{1}{2}r^{2}\theta$에 대입하여 $i$번째 반지름 구간에서 $j$번째 각도 구간에 대응하는 부채꼴 영역 $R_{ij}$의 넓이를 구해줍니다. 

 

$$A_{ij} = \frac{1}{2}\left(r_{i}^{*}\right)^{2}\theta_{j}^{*}$$

 

그리고 $\theta_{j + 1}^{*}$일 때의 넓이 사이의 차분 $\Delta A_{i}$을 구해보겠습니다. 

 

$$\begin{align*} \Delta A_{i} &= \frac{1}{2} r_{i}^{2} \Delta \theta - \frac{1}{2} r_{i- 1}^{2} \Delta \theta \\ &= \frac{1}{2} \left(r_{i - 1}^{2} - r_{i}^{2}\right) \Delta \theta \\ &= \frac{1}{2} \left(r_{i - 1} + r_{i}\right) \left(r_{i - 1}  - r_{i}\right) \Delta \theta \\ &= r_{i}^{*} \Delta r \Delta \theta \end{align*}$$

 

이제 모든 부채꼴 영역에 대응되는 부피의 합을 구해주면 됩니다. 

 

$$\sum_{i =1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f(r_{i}^{*} \cos(\theta_{j}^{*}), r_{i}^{*} \sin(\theta_{j}^{*})) \Delta A_{i}= \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f(r_{i}^{*} \cos(\theta_{j}^{*}), r_{i}^{*} \sin(\theta_{j}^{*}))r_{i}^{*} \Delta r \Delta \theta $$

 

마지막으로 $m$과 $n$을 무한대로 극한을 취해주면 됩니다. 

 

$$\int_{\alpha}^{\beta} \int_{a}^{b} rf(r\cos(\theta), r\sin(\theta)) \; dr \; d\theta = \lim_{m, n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} r_{i}^{*} f(r_{i}^{*} \cos(\theta_{j}^{*}), r_{i}^{*} \sin(\theta_{j}^{*})) \Delta r \Delta \theta$$

 

그리고 만약 위 그림과 같이 $r$이 고정된 상수가 아닌 $h_{1}(\theta)$와 $h_{2}(\theta)$로 표현된다면 아래와 같이 적분할 수 있습니다. 이때, 영역 $D = \{(r, \theta) | h_{1}(\theat) \le r \le h_{2}(\theta), \alpha \le \theta \le \beta}$라고 하겠습니다. 

 

$$\int\int_{D} f(x, y) \; dA = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{h_{1}(\theta)}^{h_{2}(\theta)} rf(r\cos(\theta), r\sin(\theta)) \; dr d\theta$$