미적분학 - 이중적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 라그랑주 승수법에서는 제약조건 하에서 함수의 최댓값 및 최솟값을 구하는 라그랑주 승수법(Method of Lagrange Multiplier)에 대해서 알아보았습니다. 지금까지는 다변수 함수의 미분과 관련된 내용만 보았습니다. 오늘부터는적분과 관련된 내용을 알아보도록 하죠. 다만, 이제부터는 변수가 여러 개가 있기 때문에 다중적분(Multiple Integral)을 수행하게 됩니다. 전체적으로 단변수 함수의 적분을 이해해야하기 때문에 차근차근 알아보도록 하죠. 

 

1. 단변수 함수의 정적분(Definite Integration of Unit Variable Function)

 

이 부분에 대한 내용은 미적분학 - 영역 문제와 미적분학 - 적분 정의에서 자세하게 알아보았습니다. 따라서 간단하게 리뷰만 하도록 하죠. 일단, 위와 같이 단변수 함수 $y= f(x)$가 주어졌을 때 함수의 $f$ 밑넓이를 구간 $[a, b]$에서 구하는 방법을 생각해보겠습니다. 기본적으로 저희는 넓이를 사각형, 삼각형과 같은 기초도형에 대해서만 구할 수 있기 때문에 위 함수를 구간 $[a, b]$에서 잘게 등분해줍니다. 각각의 $i$번째 구간은 $[x_{i - 1}, x_{i}]$이 되고 해당 구간의 표본점을 $x_{i}^{*}$라고 하겠습니다. 이때, $x_{0} = a$이고 $x_{n} = b$입니다. 여기서, 구간을 전부 동일한 길이로 등분했기 때문에 각 구간의 길이는 $\Delta x$가 됩니다. 따라서, $i$번째 직사각형의 넓이는 $\Delta x f(x_{i}^{*})$이 됩니다. 이제부터 $S_{n}$을 $n$개의 등구간으로 나누었을 때 직사각형의 넓이의 합이라고 하겠습니다. 

 

$$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}^{*}) \Delta x$$

 

하지만 여전히 곡선의 밑넓이와는 큰 차이가 있기 때문에 등분을 더 많이, 무한히 많이 해주면 곡선의 밑넓이를 얻을 수 있죠. 

 

$$S = \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}^{*}) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) \; dx$$

 

2. 이중적분과 부피(Double Integral and Volume)

자, 이번에는 이중적분을 정의해봅시다. 저희가 어떤 함수 $z= f(x, y)$가 있고 직사각형 영역 $R = [a, b] \times [c, d] = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | a \le x \le b, c \le y \le d\}$ 내에서의 부피 $V$를 구한다고 가정하겠습니다. 일단, 문제를 간단하게 하기 위해서 $f(x, y) \ge 0$라고 하겠습니다. 그리고 $S$를 영역 $R$ 내에서 $f(x, y)$와 $xy$-평면 사이의 입체라고 가정하겠습니다. 

 

$$S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | 0 \le z \le f(x, y), (x, y) \in R\}$$

 

이제 저희의 목표는 입체도형 $S$의 부피인 $V$를 구하는 것입니다. 방금 보았던 단변수 함수에서와 마찬가지로 첫번째로 해야할 것은 영역 $R$을 아주 작은 직사각형으로 등분하는 것입니다. 따라서, $x$축의 구간 $[a, b]$를 $m$ 등분 하고, $y$축의 구간 $[c, d]$를 $n$ 등분하도록 하죠. 그러면 $x$축의 등분된 $i$번째 구간은 $[x_{i - 1}, x_{i}]$이고 $x_{0} = a, x_{m} = b$가 됩니다. 또한 $y$축의 등분된 $j$번째 구간은 $[y_{j - 1}, y_{j}]$이고 $y_{0} = c, y_{n} = d$가 됩니다. 각 구간의 길이는 $\Delta x = \frac{b - a}{m}$이고 $\Delta y = \frac{d - c}{n}$입니다. 그러면 $x$축의 $i$번째 구간과 $y$축의 $j$번째 구간으로 만들어지는 작은 직사각형 영역을 $R_{ij}$라고 하겠습니다. 

 

$$R_{ij} = [x_{i - 1}, x_{i}] \times [y_{j - 1}, y_{j}] = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | x_{i - 1} \le x \le x_{i}, y_{j - 1} \le y \le y_{j}\}$$

 

 

지금까지의 과정들을 하나의 그림에 담아보았습니다. 옅은 노란색으로 바탕색을 칠한 영역이 $x$축의 $i$번째 구간과 $y$축의 $j$번째 구간으로 만들어지는 작은 직사각형 영역 $R_{ij}$가 됩니다.

 

 

이제 다시 돌아와서 목적은 부피 $V$를 구하는 것입니다. 영역 $R$을 아주 잘게 잘랐기 때문에 저희는 $R_{ij}$에서 표본점 $(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*})$을 선택하겠습니다. 그리고 표본점에 해당하는 함숫값이 $f(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*})$이 되는 것이죠. 그러면 위 그림들과 같이 여러 개의 직육면체로 이루어진 입체를 얻을 수 있죠. 이제 각 직육면체의 부피를 구해보도록 하겠습니다. 모든 직육면체의 부피는 각 구간을 등분했기 때문에 $\Delta A = \Delta x \Delta y$로 동일합니다. 이때,$ij$번째 직육면체의 부피를 $V_{ij}$라고 하겠습니다. 

 

$$V_{ij} = f(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) \Delta A$$

 

이제 모든 직육면체의 부피의 합 $V_{mn}$을 구해보도록 하죠. 

 

$$V_{mn} = \sum_{i= 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} V_{ij} = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) \Delta A$$

 

마지막으로 $m$과 $n$을 무한히 키워서 실제 부피로 근사시켜줍니다. 

 

$$V = \lim_{m \rightarrow \infty} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) \Delta A = \int \int_{R} f(x, y) \; dA$$

 

단변수 함수와 마찬가지로 표본점을 중간점(midpoint)로 잡게 되면 더욱 정확한 근사가 됩니다.