미적분학 - 다변수 함수의 최대최소

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 기울기벡터에서는 다변수 함수에서 정의되는 기울기벡터에 대해서 알아보았습니다. 뿐만 아니라 정리1에서 방향미분을 기울기벡터를 통해서 구할 수 있다는 것과 정리2에서 방향미분의 최대값은 방향벡터 $\mathbf{u}$와 기울기벡터 $\nabla f$가 동일한 방향을 가르킬 때 임을 알게되었고 이를 통해서 $\left|\nabla f\right|$가 최대값임을 알게 되었습니다. 오늘은 다변수 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 지역최댓값(local maximum)과 지역최솟값(local minimum)

다변수 함수 $f$가 주어졌을 때 점 $(a, b)$ 근방의 $(x, y)$에 대해서 $f(a, b) \ge f(x, y)$를 만족하면 점 $(a, b)$는 지역최대점이고 $f(a, b)$는 지역최댓값이 된다. 만약, $f(a, b) \le f(x, y)$를 만족하면 점 $(a, b)$는 지역최소점이고 $f(a, b)$는 지역최솟값이 된다. 

 

설명

지역최댓값과 지역최솟값의 정의는 미적분학 - 최대값과 최소값에서 보았던 것과 유사합니다. 다른 점은 변수가 여러 개로 늘었다는 점이죠. 이로 인해서 단변수 함수에서는 구간 $(c - \epsilon, c + \epsilon)$의 임의의 점 $x$에 대해서 $f(c) \ge f(x)$를 만족하면 지역최소가 되고 $f(c) \le f(x)$가 되면 지역최대가 되었습니다. 다변수 함수에서는 이를 확장하여 점 $(a, b)$ 근방의 디스크를 정의하고 이 영역 안에서만 부등식이 만족하면 됩니다. 위의 그림은 지역최소와 지역최대를 보여주고 있습니다. 물론, 다변수 함수 내에서 절대최소나 절대최대는 존재하지만 아주 작은 영역 내에서는 지역최소과 지역최대가 존재하게 되는 것이죠. 

 

 정리1. 

함수 $f$가 점 $(a, b)$에서 지역최대나 지역최소를 가지고 함수 $f$의 편미분이 존재한다고 할 때 $f_{x}(a, b) = 0$이고 $f_{y}(a, b) = 0$이다. 

 

증명

함수 $g(x) = f(x, b)$라고 하자. 이때, 함수 $f$가 점 $(a, b)$에서 지역최소 또는 지역최대를 가진다고 하면 미적분학 - 최대값과 최소값의 정리2(페르마의 정리)에 의해 $g^{'}(a) = 0$이다. 따라서, $g^{'}(x) = f_{x}(x, b)$이기 때문에 $g^{'}(a) = f_{x}(a, b) = 0$이다. 이와 유사하게 $f_{y}(a, b) = 0$도 증명된다. 

 

 정리2. 2차 미분 검사(Second Derivative Test)

함수 $f$의 2계도 편미분이 점 $(a, b)$를 중심으로 하는 디스크에서 연속이고 $f_{x}(a, b) = f_{y}(a, b) = 0$이라고 하자.(함즉, 점 $(a, b)$는 함수 $f$의 임계점이다.) 그리고 $D = D(a, b) = f_{xx}(a, b)f_{yy}(a, b) - \left[f_{xy}(a, b)\right]^{2}$이라고 정의하자. 

 

a). 만약 $D > 0$이고 $f_{xx}(a, b) > 0$이면 $f(a, b)$는 극대값이다. 

b). 만약 $D > 0$이고 $f_{xx}(a, b) < 0$이면 $f(a, b)$는 극소값이다. 

b). 만약 $D < 0$이면 $f(a, b)$는 극대값도 극소값도 아닌 안장점(saddle point)이다.