미적분학 - 다변수 함수의 연쇄법칙

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 미분가능성에서는 다변수 함수의 편미분이 존재한다고 해서 미분이 가능하지 않다는 점과 미분가능성에 대한 명확한 정의 그리고 전미분(total derivative)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수의 연쇄법칙에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

미적분학 - 연쇄법칙에서 보았던 단변수 함수의 연쇄법칙을 상기해보도록 하겠습니다. 두 함수 $y = f(x)$와 $x = g(t)$가 주어지고 두 함수 모두 미분가능하다고 할 때 $\frac{dy}{dt}$를 구해보겠습니다. 

 

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}$$

 

위 수식을 잘 보시면 변수 $x$에 대한 미분 $dx$를 분모와 분자에 추가한 것을 볼 수 있습니다. 다변수 함수의 경우에는 연쇄법칙의 변형이 다양하게 존재합니다. 각각 알아보도록 하죠.

 

 정리1. 연쇄법칙 - 1(Chain Rule - 1)

함수 $z = f(x, y)$가 $x, y$에 대해 미분가능하고 $x = g(t)$ 이고 $y = h(t)$ 두 함수 모두 $t$에 대해서 미분가능하다고 하자. 그러면 함수 $z = f(x, y)$는 변수 $t$에 대해 미분가능하다. 

 

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

 

증명

$t$의 증분 $\Delta t$는 그의 종속변수 $x$와 $y$의 증분인 $\Delta x$와 $\Delta y$를 만들어낸다. 이로 인해, $x$와 $y$가 $z$의 독립변수이기 때문에 $z$의 증분인 $\Delta z$를 만들어낸다. 이때, $z = f(x, y)$가 미분가능하기 때문에 미적분학 - 다변수 함수의 미분가능성에서 보았던 미분가능성의 정의를 적용할 수 있다. 

 

$$\Delta z = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y + \epsilon_{1} \Delta x + \epsilon_{2} \Delta y$$

 

이때, $(\Delta x, \Delta y) \rightarrow (0, 0)$일 때 $(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) \rightarrow (0, 0)$이 된다. 이제 양변을 $\Delta t$로 나누어준다. 

 

$$\frac{\Delta z}{\Delta t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\Delta x}{\Delta t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\Delta y}{\Delta t} + \epsilon_{1}\frac{\Delta x}{\Delta t} + \epsilon_{2}\frac{\Delta y}{\Delta t}$$

 

이제, $\Delta t \rightarrow 0$이라고 하자. 그러면 함수 $g$가 $t$에 대해 연속이고 미분가능하기 때문에 단변수 함수의 미분가능성의 정의에 의해 $\Delta x = g(t + \Delta t) - g(t) \rightarrow 0$이 된다. 이와 동일한 이유로 $\Delta y \rightarrow 0$이 된다. 이제 위의 식의 양변에 $\Delta t \rightarrow 0$으로의 극한을 취해준다. 여기서, $\Delta t \rightarrow 0$일 때 $(\Delta x, \Delta y) \rightarrow (0, 0)$이기 때문에 미분가능성의 정의에 의해 $(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) \rightarrow (0, 0)$임을 이용한다. 

 

$$\begin{align*} \frac{dz}{dt} &= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta z}{\Delta t} \\ &= \frac{\partial f}{\partial x} \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} + \frac{\partial f}{\partial y} \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} + \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \epsilon_{1} \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} + \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \epsilon_{2} \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ &= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} + 0 \cdot \frac{dx}{dt} + 0 \cdot \frac{dy}{dt} \\ &= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} \end{align*}$$

 

예제1. 함수 $z = f(x, y) = x^{2}y + 3xy^{4}$이고 $x = \sin(2t), y = \cos(t)$일 때, $t = 0$에서의 $\frac{dz}{dt}$를 구하여라.

정리1의 연쇄법칙을 적용한다. 

 

$$\begin{align*} \frac{dz}{dt} &= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} \\ &= (2xy + 3y^{4})(2\cos(t)) - (x^{2} + 12xy^{3})\sin(t) \end{align*}$$

 

여기서 $t = 0$일 때, $x = \cos(0) = 1$이고 $y = \sin(0) = 0$이다. 따라서, $\left|\frac{dz}{dt}\right|_{t = 0} = (0 + 3)(2\cos(0)) - (1 + 0)0 = 6$이다. 

 

 정리2. 연쇄법칙 - 2(Chain Rule - 2)

함수 $z = f(x, y)$가 $x, y$에 대해 미분가능하고 $x = g(s, t)$ 이고 $y = h(s, t)$ 두 함수 모두 $s, t$에 대해서 미분가능하다고 하자. 그러면 함수 $z = f(x, y)$는 변수 $s$와 $t$에 대해 미분가능하다. 

 

$$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}$$

$$\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}$$

 

예제2. 함수 $z = e^{x}\sin(y)$이고 $x = st^{2}, y = s^{2}t$라고 할 때 $\frac{\partial z}{\partial s}$와 $\frac{\partial f}{\partial t}$를 구하여라.

정리2의 연쇄법칙을 적용한다. 

 

$$\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial s} &= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s} \\ &= e^{x}\sin(y) t^{2} + e^{x}\cos(y)(2st) \\ &= t^{2}e^{st^{2}}\sin(s^{2}t) + 2ste^{st^{2}}\cos(s^{2}t)\end{align*}$$

 

$$\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial t} &= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \\ &= e^{x}\sin(y)(2st) + e^{2}\cos(y)s^{2} \\ &= 2ste^{st^{2}}\sin(s^{2}t) + s^{2}e^{st^{2}}\cos(s^{2}t) \end{align*}$$

 

 정리3. 일반화된 연쇄법칙 (General Chain Rule )

함수 $z = f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$에 $n$개의 변수 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$에 대해서 미분가능하고 각 변수 $x_{i} = g_{i}(t_{1}, t_{2}, \dots, t_{m})$가 $m$개의 변수 $(t_{1}, t_{2}, \dots, t_{m})$에 대해서 미분가능하다고 하자. 그러면 함수 $z = f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$은 $m$개의 변수 $(t_{1}, t_{2}, \dots, t_{m})$에 대해서 미분가능하다. 이때, 각 $i = 1, 2, ..., m$에 대해서 아래의 식이 성립한다. 

 

$$\frac{\partial z}{\partial t_{i}} = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial t_{i}} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} \frac{\partial x_{2}}{\partial t_{i}} + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \frac{\partial x_{n}}{\partial t_{i}}$$