미적분학 - 방향미분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 연쇄법칙에서는 다변수 함수가 주어졌을 때 3가지 버전의 연쇄법칙에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 방향미분(Directional Derivative)의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 방향미분(Directional Derivative)

함수 $f(x, y)$의 점 $(x_{0}, y_{0})$에서 벡터 $\mathbf{u} = <a, b>$로의 방향미분은 극한이 존재한다면 아래와 같이 정의된다. 

 

$$D_{\mathbf{u}} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}$$

 

설명

일단 방향미분을 설명하기 위해서 일반적으로 저희가 보았던 편미분의 식을 보도록 하겠습니다. 

 

$$f_{x}(x_{0}, y_{0}) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(x_{0} + h, y_{0}) - f(x_{0}, y_{0})}{h}$$

$$f_{y}(x_{0}, y_{0}) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(x_{0}, y_{0} + h) - f(x_{0}, y_{0})}{h}$$

 

편미분은 기본적으로 특정한 방향의 방향미분입니다. 예를 들어, $f_{x}$와 $f_{y}$는 각각 단위벡터 $(1, 0)$와 $(0, 1)$으로의 방향미분이 되는 것이죠. 그렇다면 저희는 여기서 한 가지 궁금증이 생깁니다. 임의의 방향을 가진 벡터 $(a, b)$에 대한 미분을 구할 수 없을까요? 이것이 바로 방향미분의 기본적인 개념입니다. 

 

이를 수식화 하기 위해서 위의 그림을 보면서 설명하도록 하겠습니다. 먼저, 곡면 $S$가 함수 $z = f(x, y)$의 꼴로 표현된다고 가정하겠습니다. 그리고 $z_{0} = f(x_{0}, y_{0})$라고 하면 점 $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$는 곡면 $S$위에 있다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 저희는 이를 $xy$-평면에 사영시키도록 하겠습니다. 그러면 점 $P^{'}(x_{0}, y_{0}, 0)$을 얻을 수 있죠. 그리고 두 점 $P^{'}$와 $P$를 지나고 $\mathbf{u} = <a, b>$ 방향의 평면을 하나 생각해보겠습니다. 위 그림에서는 주황색 평면으로 그려져있죠. 이 평면은 $xy$평면에 수직인 평면입니다. 이때, 평면과 곡면 $S$가 만나서 생기는 곡선을 $C$라고 하겠습니다. 그러면 저희는 $\mathbf{u}$ 방향으로 자른 어떤 2차원 상의 곡선을 얻을 수 있죠. 이 곡선의 $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$의 접선인 $T$의 기울기가 방향미분이 되는 것입니다. 

 

이제 본격적으로 수식화를 진행해보도록 하겠습니다. 일단, $Q(x, y, z)$를 곡선 $C$위의 임의의 점이라고 하겠습니다. 그리고 $Q^{'}(x, y, 0)$를 점 $Q$를 $xy$-평면에 사영시킨 점이라고 하죠. 그러면 두 벡터 $\mathbf{u}$와 $\vec{P^{'}Q^{'}}$는 서로 평행한 벡터가 됩니다. 따라서, 임의의 상수 $h$에 대해서 아래의 식이 성립합니다. 

 

$$\vec{P^{'}Q^{'}} = h\mathbf{u} = h<a, b> = <ha, hb>$$

 

또한 $\vec{P^{'}Q^{'}}$도 계산해보겠습니다. 

 

$$\vec{P^{'}Q^{'}} = \vec{OQ^{'}}  - \vec{OP^{'}} = <x, y> - <x_{0}, y_{0}> = <x - x_{0}, y - y_{0}>$$

 

따라서, $ha = x - x_{0}$이고 $hb = y - y_{0}$입니다. 이제 해당 방향의 접선의 기울기를 구해보겠습니다. 

 

$$\frac{\Delta z}{h} = \frac{z - z_{0}}{h} = \frac{f(x, y) - f(x_{0}, y_{0})}{h} = \frac{f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}$$

 

이제 여기서 $h \rightarrow 0$로의 극한을 취해주기만 하면 방향미분을 얻게 되는 것이죠. 

 

 정리1. 

함수 $f$가 $(x, y)$에 대해서 미분가능하면 함수 $f$는 임의의 벡터 $\mathbf{u} = <a, b>$에 대한 방향미분 $D_{\mathbf{u}} f(x, y) = f_{x}(x, y)a + f_{y}(x, y)b$를 가진다.

 

증명

먼저 함수 $g$를 $h$에 대한 단변수 함수로 정의한다. 

 

$$g(h) = f(x_{0} + ha, y_{0} + hb)$$

 

미분의 정의에 의해서 $g^{'}(0)$를 구할 수 있다. 

 

$$g^{'}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h} = D_{\mathbf{u}} f(x, y) \tag{1} $$

 

이때, $x = x_{0} + ha$이고 $y = y_{0} + ha$인 점을 이용하면 $g(h) = f(x, y)$라고도 할 수 있다. 따라서, $g^{'}(h)$는 연쇄법칙으로도 구할 수 있다. 

 

$$g^{'}(h) = \frac{\partial g}{\partial x} \frac{dx}{dh} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{dy}{dh} = f_{x}(x, y)a + f_{y}(x, y)b \tag{2} $$

 

이때, $\tag{2}$에서 $h = 0$이라고 하자. $g^{'}(0) = f_{x}(x_{0}, y_{0})a + f_{y}(x_{0}, y_{0})b$이 된다. 이때, $\tag{1}$과 $\tag{2}$ 방정식이 동일함을 이용하면 정리1이 증명된다. 

 

예제1. 함수 $f(x, y) = x^{3} - 3xy + 4y^{2}$의 $(1, 2)$에서 방향각 $\theta = \frac{\pi}{6}$으로의 방향미분을 구하여라.

방향각이 $\theta = \frac{\pi}{6}$이기 때문에 $\mathbf{u} = <\cos(\frac{\pi}{6}), \sin(\frac{\pi}{6})> = <\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}>$이다. 따라서, 정리1에 의해 방향미분을 구할 수 있다. 

 

$$D_{\mathbf{u}} f(1, 2) = f_{x}(1, 2)\frac{\sqrt{3}}{2} + f_{y}(1, 2)\frac{1}{2} \tag{1}$$

 

이제, 함수 $f$의 편미분 $f_{x}$와 $f_{y}$를 구한다. 

 

$$\begin{align*} f_{x}(x, y) &= 3x^{2} - 3y \\ f_{y}(x, y) &= -3x + 8y\end{align*}$$

 

따라서, $f_{x}(1, 2) = -3$이고 $f_{y}(1, 2) = 13$이므로 이 결과를 $\tag{1}$에 대입한다.

 

$$D_{\mathbf{u}} f(1, 2) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{13}{2} = \frac{-3\sqrt{3} + 13}{2}$$