미적분학 - 접평면과 선형근사

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 편미분에서는 편미분의 정의와 다변수 함수가 연속이라면 변수의 순서를 바꾸어 편미분하여도 동일한 결과를 준다는 클레로 정리(Clairaut's Theorem)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미적분학 - 선형근사에서도 보았던 개념을 다변수 함수에 그대로 적용해보는 시간을 가져보도록 하겠습니다. 

 

1. 접평면(Tangent plane)

먼저, 접평면에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 이와 동일한 개념으로 2차원에서는 접선(Tangent line)이 있습니다. 3차원으로 차원으로 올라가면서 선이 평면으로 바뀐 거 밖에 없으니 쉽게 이해하실 수 있습니다. 일단 곡면 $S$가 $z = f(x, y)$로 표현된다고 가정하겠습니다. 이때, 함수 $f$는 연속인 일계 도함수를 가지고 있습니다. 그리고 점 $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$를 곡면 $S$위의 어떤 점이라고 가정하겠습니다. 또한 곡선 $C_{1}$과 $C_{2}$를 각각 곡면 $S$를 $y = y_{0}$와 $x = x_{0}$로 자른 곡선이라고 가정하겠습니다. 마지막으로 직선 $T_{1}$과 $T_{2}$를 각각 점 $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$에서의 접선이라고 가정하겠습니다. 여기서 저희는 미적분학 - 3차원 직선과 평면에 방정식에서 보았듯이 직선 $T_{1}$과 $T_{2}$, 그리고 점 $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$를 이용해서 하나의 평면을 결정할 수 있습니다. 여기서 만들어 지는 평면을 저희는 앞으로 접평면(Tangent plane)이라고 하겠습니다. 이에 대한 설명은 위의 그림을 보시면 더욱 자세하게 이해할 수 있습니다. 

 

이제 저희는 접평면이 무엇인지 알았으니 대수적으로 표현하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 일단, 평면의 방정식을 복습하면 법선벡터 $\mathbf{n} = <A, B, C>$ 그리고 하나의 점 $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$를 지날 때 얻어지는 평면의 방정식은 아래와 같습니다. 

 

$$A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) + C(z - z_{0}) = 0$$

 

이때, $C \neq 0$이라면 양변을 $C$로 나누어 표현할 수도 있겠죠?

 

$$z - z_{0} = a(x - x_{0}) + b(y - y_{0})$$

 

여기서 $a = -\frac{A}{C}$이고 $B = -\frac{B}{C}$입니다. 여기서 $y = y_{0}$라고 두면 접평면은 위 그림에서 직선 $T_{1}$이 됩니다. 

 

$$T_{1} : z - z_{0} = a(x - x_{0})$$

 

이때, $a$는 직선 $T_{1}$의 $x$방향으로의 기울기를 의미하기 때문에 곡면 $f(x, y)$를 $x$에 대한 $(x_{0}, y_{0})$에서의 편미분이 됩니다. 이와 마찬가지로 $x = x_{0}$라고 두면 접평면은 위 그림에서 직선 $T_{2}$가 되죠. 

 

$$T_{2} : z - z_{0} = b(y - y_{0})$$

 

이때, $b$는 직선 $T_{2}$의 $y$방향으로의 기울기를 의미하기 때문에 곡면 $f(x, y)$를 $y$에 대한 $(x_{0}, y_{0})$에서의 편미분이 됩니다. 따라서, $a = f_{x}(x_{0}, y_{0})$이고 $b = f_{y}(x_{0}, y_{0})$임을 알 수 있죠. 이를 정리하면 곡면 $S$위의 점 $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$에서의 접평면을 구할 수 있습니다. 

 

$$z - z_{0} = f_{x}(x_{0}, y_{0})(x - x_{0}) + f_{y}(x_{0}, y_{0})(y - y_{0})$$

 

예제1. 곡면 $z = 2x^{2} + y^{2}$위의 점 $(1, 1, 3)$에서의 접평면을 구하여라.

먼저, $z = f(x, y) = 2x^{2} + y^{2}$이라고 하자. 이때, $f_{x}(x, y) = 4x$ 이고 $f_{y}(x, y) = 2y$임을 알 수 있다. 따라서, 점 $(1, 1, 3)$에서의 접평면은 아래와 같다. 

 

$$z - 3 = f_{x}(1, 1)(x - 1) + f_{y}(1, 1)(y - 1) = 4(x - 1) + 2(y - 1) \Rightarrow z = 4x + 2y - 3$$

 

2. 선형근사(Linear Approximation)

방금 보셨던 예제1에서 저희는 곡면 $z = f(x, y) = 2x^{2} + y^{2}$위의 점 $(1, 1, 3)$에서의 접평면이 $z = L(x, y) = 4x + 2y - 3$임을 알 수 있었습니다. 이는 점 $(1, 1)$ 주변에서는 $f(x, y) \approx L(x, y)$이라는 것을 의미합니다. 따라서, $(1, 1)$ 주변에서는 선형 방정식을 이용해서 쉽게 값을 근사할 수 있습니다. 예를 들어 $(1.1, 0.95)$의 값을 구한다고 가정해보면 $f(x, y)$로 구하기 위해서는 제곱을 해야합니다. 이는 생각보다 귀찮기 때문에 선형근사법을 이용하면 오직 덧셈으로만 쉽게 계산할 수 있죠.

 

$$3.3225 = f(1.1, 0.95) \approx L(1.1, 0.95) = 4 \cdot 1.1 + 2 \cdot 0.95 - 3 = 3.3$$

 

실제로 두 값의 차이는 거의 나지않는 것을 볼 수 있습니다. 이와 같이 직접적으로 값을 대입하기 어려워 선형 함수로 근사하여 값을 구하는 방법을 선형근사(linear approximation) 또는 접평명 근사(tangent plane approximation)이라고 합니다.