안녕하세요. 지난 포스팅의 미분방정식[21].라플라스 변환 4에서는 다이락-델타 함수의 라플라스 변환법을 알아보았습니다. 오늘은 복잡한 식의 라플라스 변환을 좀 더 쉽게 바꿀 수 있는 합성곱 적분(convolutional integral)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 아마 이번 포스팅이 라플라스 변환의 마지막 포스팅이 될 거 같네요. 합성곱 적분을 소개하기 전에 아래의 간단한 정리를 먼저 소개하겠습니다. 이 정리가 합성곱을 설명해주고 있습니다. $F(s) = L(f(t)), G(s) = L(g(t))$가 모두 $s > a \geq 0$에서 존재한다면 두 함수의 곱 $F(s)$, $G(s)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$H(s)=F(s) \cdot G(s) = L(h(t))\ for\ s > a..
안녕하세요. 지난 포스팅에는 미분방정식[20].라플라스 변환 3에서 $g(t)$가 계단 함수의 꼴을 가지는 경우에 라플라스 변환을 어떻게 해야하는 지에 대해서 알아보았습니다. 오늘도 비슷하게 계단함수의 꼴을 가지지만 더 특이한 함수인 충격 함수(Impulse function)에 대한 라플라스 변환을 하는 법을 알아보도록 하겠습니다. 먼저 일반적인 비제차 2계 선형 미분방정식 꼴을 보도록 하겠습니다. $$ay^{''} + by^{'} + cy = g(t)$$ 여기서 $g(t)$를 강제 함수(forcing function, forcing term)이라고 하겠습니다. 강제 함수의 특징은 굉장히 짧은 구간 $t_{0} - \tau < t < t_{0} + \tau$에서 큰 값을 가지고 나머지 구간에서는 값이 0..
안녕하세요. 지난 시간의 미분방정식[19].라플라스 변환 2에서 라플라스 변환에서 빈번하게 사용되는 정리와 따름정리를 알아보고 간단한 예제까지 해결해보았습니다. 오늘부터는 계단 함수(step function)에 대해서 알아보고 라플라스 변환에 어떻게 적용될 수 있는 지 알아보도록 하겠습니다. 먼저 단위 계단함수(unit step fucntion)입니다. 단위 계단함수는 위의 그래프와 같이 $t=c$를 기준으로 0 또는 1로 변화하는 함수입니다. 이 함수를 식으로 표현하면 아래와 같을 것입니다. $$ u_{c}(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \quad t \geq c \\ 0 & \quad t < c \end{array} \right. $$ 이번에는 단위 계단함수에 라플라스..
안녕하세요. 지난 시간에는 미분방정식[18].라플라스 변환 1에서 라플라스 변환을 정의하기 위한 몇 가지 개념과 라플라스 변환을 정의했습니다. 오늘은 라플라스 변환을 사용해서 주어진 미분방정식을 푸는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 본격적으로 시작하기 전에 라플라스 변환과 관련된 정리부터 확인하고 가겠습니다. 이 정리는 나중에 미분방정식의 해를 구할 때 유용하게 사용되는 정리이니 꼭 확인해주시길 바랍니다. 함수 $f$와 도함수 $f^{'}$가 $0 \le t \le A$에서 조각 연속(pointwise continuous)라고 가정하고, $t \ge M$인 $t$에서 $|f(t)| \le k \cdot e^{at}$를 만족하는 $k, a M$이 있다고 가정하겠습니다. 그러면 $f^{'}$의 라플라스 변환 ..
안녕하세요. 지난 시간의 미분방정식[17].2계 선형 미분방정식의 급수해 6를 마지막으로 급수해에 관련된 제가 준비한 내용은 끝냈습니다. 이번 시간부터는 미분방정식을 푸는 데 있어 중요한 도구 중에 하나인 라플라스 변환에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 오늘은 라플라스 변환이 무엇인지부터 알아보도록 하겠습니다. 물론 바로 라플라스 변환이 무엇이라고 하기에는 조금 설명하기 어려운 부분이 있습니다. 따라서 몇 가지 설명을 보충한 뒤에 마지막에 추가하도록 하겠습니다. 먼저, 특이적분(improper integral)입니다. 미적분학을 배우셨거나 해석학을 깊게 공부하신 분들은 쉽게 아실 거라고 생각합니다. 특이적분은 정적분에서 확장된 실수의 윗 끝과 아랫 끝을 가지고 있는 적분입니다. 즉, 적분의 윗 끝이나 아랫..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미분방정식[16].2계 선형 미분방정식의 급수해 5에서 오일러 방정식의 일반해를 경우에 따라 조사해보았습니다. 그런데 지난 포스팅을 보신 분들이라면 조금 의아하실텐데요. 제가 급수해를 구하는 부분에서 그냥 이전에 배웠던 특성방정식 기법을 도입해서 일반해를 구했습니다. 그 이유가 오늘 포스팅할 내용인데요. 오일러 방정식의 일반해를 구했던 아이디어를 기반으로 정칙 특이점 주변의 해를 구할 수 있기 때문입니다. 먼저 $P(x)y^{''}+Q(x)y^{'}+R(x)y=0\ (1)$을 생각해보겠습니다. 문제를 간단하게 만들기위해서 $x_{0}=0$이 정칙 특이점이라고 가정하겠습니다. 그러므로 $x\frac{Q(x)}{P(x)}=xp(x)$, $x^{2}\frac{R(x)}{P(x)}=x..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미분방정식[15].2계 선형 미분방정식의 급수해 4에서 특이점을 정칙, 비정칙 특이점으로 나누어보고 예제를 통해 분류해보는 시간을 가졌습니다. 오늘은 본격적으로 특이점을 가지는 경우에 2계 선형 미분방정식의 해를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 특이점을 가지는 미분방정식의 해를 구할 수 있는 경우는 굉장히 한정적입니다. 따라서 저희는 대표적인 예제인 오일러 방정식(Euler's Equation)을 확인해보도록 하겠습니다. 이 방정식 하나만으로도 설명할것이 꽤나 많으니 걱정하지 마시길 바랍니다. 먼저 오일러 방정식은 지난 시간의 르장드르 방정식과 같이 굉장히 유명한 미분방정식 중에 하나입니다. 오일러 방정식은 사실 유체역학에서 자주 언급되는 방정식 중에 하나입니다.(..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미분방정식[14].2계 선형 미분방정식의 급수해 3에서 정상점(ordinary point)에 대해서는 모든 $a_{n}$에 대해서 값을 구할 수 있음을 보았습니다. 오늘은 특이점(singular point) 중에서도 더 강한 조건에 대한 특이점인 정칙 특이점(regular singular point)의 정의에 대해서 알아보겠습니다. 먼저 정칙 특이점(regular singular point)의 정의부터 확인해보겠습니다. $P, Q, R$이 다항식(polynomial)일 때 점 $x_{0}$에서 $\lim_{x \to x_{0}} (x-x_{0})\frac{Q(x)}{P(x)}$와 $\lim_{x \to x_{0}} (x-x_{0})^{2}\frac{R(x)}{P(x)}$가 유한..
