미분방정식[20].라플라스 변환 3

안녕하세요. 지난 시간의 미분방정식[19].라플라스 변환 2에서 라플라스 변환에서 빈번하게 사용되는 정리와 따름정리를 알아보고 간단한 예제까지 해결해보았습니다. 오늘부터는 계단 함수(step function)에 대해서 알아보고 라플라스 변환에 어떻게 적용될 수 있는 지 알아보도록 하겠습니다.

 

먼저 단위 계단함수(unit step fucntion)입니다.

단위 계단함수는 위의 그래프와 같이 $t=c$를 기준으로 0 또는 1로 변화하는 함수입니다. 이 함수를 식으로 표현하면 아래와 같을 것입니다.

 

$$ u_{c}(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \quad t \geq c \\ 0 & \quad t < c \end{array} \right. $$

 

이번에는 단위 계단함수에 라플라스 변환을 적용해보겠습니다. 

 

$$L(u_{c}(t)) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}u_{c}(t) \; dt = \int_{0}^{c} e^{-st} \cdot 0 \; dt + \int_{c}^{\infty} e^{-st} \cdot 1 \; dt = \int_{c}^{\infty} e^{-st} \; dt = \frac{1}{s}e^{-cs} for\ s >0$$

 

이와 같이 간단하게 계산해볼 수 있습니다. 이제는 계단함수를 이용하면 기존에 함수 $f(t)$를 많은 형태로 표현할 수 있습니다. 예를 들어서 확인해보겠습니다. $t < c$에서는 0이고 $t \geq c$에서는 $f(t-c)$인 함수를 어떤 식으로 표현할 수 있을 까요? 참고로 $f(t-c)$는 $f(t)$를 $x$축의 양의 방향으로 $c$만큼 평행이동 한 것입니다. 일단 식을 그대로 쓰면 아래와 같이 piecewise function 형태로 쓸 수 있습니다.

 

$$ g(t) = \left\{ \begin{array}{ll} f(t - c) & \quad t \geq c \\ 0 & \quad t < c \end{array} \right. $$

 

보기에 살짝 불편합니다. 여기에 단위 계단함수를 도입하면 더 간단하게 표현 할 수 있습니다.

 

$$g(t) = u_{c}(t) \cdot f(t-c)$$

 

단순히 단위 계단함수와 $f(t-c)$의 곱하기를 통해 간단하게 만들었습니다. 아래는 위 식에 라플라스 변환을 적용했을 때의 결과를 정리(Theorem)으로 알려주고 있습니다.

 

정리 1
$F(s)=L(f(t))$가 $s \geq a \geq 0$, $c > 0$에서 존재하면 $L(u_{c}(t) \cdot f(t-c))=e^{-cs}L(f(t))e^{-cs}F(s)$입니다. 그리고 역 라플라스 변환에 대해서도 확인해보면 $u_{c}(t)f(t-c) = L^{-1}(F(s-c))$입니다. 

정리 2
$F(s)=L(f(t))$가 $s \geq a \geq 0$, $c > 0$에서 존재하면 $L(e^{ct} \cdot f(t-c))=F(s-c) for\ s > a > c$입니다. 그리고 역 라플라스 변환에 대해서도 확인해보면 $e^{ct}f(t) = L^{-1}(F(s-c))$입니다.

간단하게 예제를 확인하도록 하겠습니다. 

 

예제1. $ f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \sin{(t)} & \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4} \\ \sin{(t)} + \cos{(t-\frac{\pi}{4})} & \quad t \geq \frac{\pi}{4} \end{array} \right. $일 때 $L(f(t))$를 계산하세요.

 

언듯보면 꽤나 복잡해보입니다. 시작하기 전에 함수 $g(t)$를 아래와 같이 정의합니다. 

 

$$ g(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4} \\ \cos{(t-\frac{\pi}{4})} & \quad t \geq \frac{\pi}{4} \end{array} \right. $$

 

위 식은 아래와 같이 쓸 수 있겠죠?

 

$$g(t) = u_{\frac{\pi}{4}}(t) \cdot \cos{(t-\frac{\pi}{4})}$$

 

그러므로 $f(t) = \sin{(t)} + g(t)$입니다. 즉, $f(t)$의 공통 함수를 제외하고는 단위 계단함수로 표현한 뒤 그 식을 $f(t)$에 더해주면 됩니다. 이제 본격적으로 위 정리를 사용해서 라플라스 변환을 적용해보겠습니다. 

 

$$L(f(t))=L(\sin{(t)} + g(t)) = L(\sin(t)) + L(u_{\frac{\pi}{4}} \cdot \cos{(t - \frac{\pi}{4})}) = \frac{1}{s^{2} + 1} + e^{-\frac{\pi}{4}}L(\cos{(t)}) = \frac{1}{s^{2} + 1} + e^{-\frac{\pi}{4}}\frac{s}{s^{2} + 1} for\ s > 0$$

 

그렇다면 최종적인 질문입니다. 왜 필요할까요?? 그 이유는 주어진 미분방정식의 우변인 $g(t)$가 조각 함수로 주어져있을 경우가 있기 때문입니다. 만약 저희가 $g(t)$를 단위 계단함수로 표현하고 라플라스 변환을 적용하는 방법을 모른다면 주어진 미분방정식은 풀 수 없을 것입니다.