미분방정식[19].라플라스 변환 2

안녕하세요. 지난 시간에는 미분방정식[18].라플라스 변환 1에서 라플라스 변환을 정의하기 위한 몇 가지 개념과 라플라스 변환을 정의했습니다. 오늘은 라플라스 변환을 사용해서 주어진 미분방정식을 푸는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

 

본격적으로 시작하기 전에 라플라스 변환과 관련된 정리부터 확인하고 가겠습니다. 이 정리는 나중에 미분방정식의 해를 구할 때 유용하게 사용되는 정리이니 꼭 확인해주시길 바랍니다.

 

함수 $f$와 도함수 $f^{'}$가 $0 \le t \le A$에서 조각 연속(pointwise continuous)라고 가정하고, $t \ge M$인 $t$에서 $|f(t)| \le k \cdot e^{at}$를 만족하는 $k, a M$이 있다고 가정하겠습니다. 그러면 $f^{'}$의 라플라스 변환 $L(f^{'})(t)$는 $s > a$에서 존재하고, $L(f^{'})(t))=sL{f(t)} - f(0)$입니다. 

 

위 정리는 라플라스 변환의 정의를 통해서 간단하게 증명할 수 있습니다. 라플라스 변환의 정의에 의해서 도함수 $f^{'}$의 라플라스 변환은 아래의 식과 같이 작성할 수 있습니다.

 

$$L(f^{'}(t)) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f^{'}(t) \; dt$$

 

이제 부분적분을 사용해서 이 식을 풀면 됩니다.

 

$$\Rightarrow f(t) \cdot e^{-st}|_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} f(t) \cdot e^{-st} \; dt = -f(0) + s \cdot F(s) = sL(f(t))-f(0)$$

 

이를 통해 한 개의 유용한 따름 정리를 얻을 수 있습니다.

 

$$L(f^{(n)}(t)) = s^{n}L(f(t)) - s^{n-1}f(0) - \dots - sf^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0)$$

 

위 식을 보면 $n$계 도함수를 피도함수의 라플라스 변환식으로 나타낼 수 있음을 볼 수 있습니다. 즉, 미분이 없어진다는 의미죠.

 

지난 시간에 언급하지는 않았지만 역 라플라스 변환 역시 라플라스 변환과 마찬가지로 선형 연산자입니다.

 

이제 예제를 통해 실제로 주어진 미분방정식을 풀어보도록 하겠습니다.

예제1. Solve $y^{''} + y = \sin{(2t)}; y(0) = 2, y^{'}(0) = 1$

 

먼저 $y = \phi(t)$라고 가정하겠습니다. 따라서 $\phi^{''}(t) + \phi(t) = \sin{(2t)}$이고 $\phi(0)=2, \phi^{'}(0)=1$입니다. 이제 이 식의 양변에 라플라스 변환을 적용합니다. 이때 라플라스 변환의 선형성과 방금 언급한 따름 정리를 활용하면 더욱 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다. 

 

$$L(\phi^{''}(t) + \phi(t)) = L(\phi^{''}) + L(\phi(t)) = (s^{2}L(\phi(t)) - s\phi(0) - \phi^{'}(0)) + L(\phi(t))$$

$$\Rightarrow (s^{2} + 1)L(\phi(t)) - 2s - 1$$

 

이때 우변의 라플라스 변환은 테이블을 참고해주시길 바랍니다. 앞으로 이 테이블을 활용해서 많은 식의 라플라스 변환을 적용합니다. $\sin$함수의 경우에는 라플라스 변환을 취하면 $\frac{2}{s^{2} + 4}$입니다. 따라서 위의 식과 함께 정리하면

 

$$\Rightarrow L(\phi(t)) = \frac{2s^{3} + s^{2} + 8s + 6}{(s^{2} + 1)(s^{2} + 4)}\ (1)$$

 

가 됩니다. 이제 역 라플라스 변환을 통해서 미분방정식의 해를 구할 차례입니다. $Y(s)$와 $(1)$을 같은 식이라고 가정하겠습니다. 그러면 

 

$$Y(s) = \frac{2s^{3} + s^{2} + 8s + 6}{(s^{2} + 1)(s^{2} + 4)}$$

 

여기에서 역 라플라스 변환을 적용하기 위해서는 오른쪽의 식을 부분분수법을 통해서 쪼개주어야합니다. 그 결과는 아래와 같습니다.

 

$$Y(s) = \frac{2s}{s^{2} + 1} + \frac{5}{3}\frac{1}{s^{2} + 1} - \frac{1}{3}\frac{2}{s^{2} + 4}$$

 

여기에 라플라스 변환에서 사용한 테이블을 다시 사용해서 역 라플라스 변환을 적용할 수 있습니다. 그러면 역 라플라스 변환의 선형성을 사용하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

$$\phi(t) = L^{-1}(Y(s)) = 2L^{-1}(\frac{s}{s^{2} + 1}) + \frac{5}{3}L^{-1}(\frac{1}{s^{2} + 1}) - \frac{1}{3}L^{-1}(\frac{2}{s^{2} + 4}) = \cos{(t)} + \sin{(t)} - \frac{1}{3}\sin{(2t)}$$

 

이렇게 주어진 미분방정식의 해를 라플라스 변환을 통해서 얻을 수 있었습니다.