미분방정식[18].라플라스 변환 1

안녕하세요. 지난 시간의 미분방정식[17].2계 선형 미분방정식의 급수해 6를 마지막으로 급수해에 관련된 제가 준비한 내용은 끝냈습니다. 이번 시간부터는 미분방정식을 푸는 데 있어 중요한 도구 중에 하나인 라플라스 변환에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 오늘은 라플라스 변환이 무엇인지부터 알아보도록 하겠습니다.

 

물론 바로 라플라스 변환이 무엇이라고 하기에는 조금 설명하기 어려운 부분이 있습니다. 따라서 몇 가지 설명을 보충한 뒤에 마지막에 추가하도록 하겠습니다.

 

먼저, 특이적분(improper integral)입니다. 미적분학을 배우셨거나 해석학을 깊게 공부하신 분들은 쉽게 아실 거라고 생각합니다. 특이적분은 정적분에서 확장된 실수의 윗 끝과 아랫 끝을 가지고 있는 적분입니다. 즉, 적분의 윗 끝이나 아랫 끝이 $\infty, -\infty$가 될 수도 있다는 것입니다. 뿐만 아니라 함수에 대해서 적분을 할 때 정의가 되지 않는 점이 있을 것입니다. 예를 들어 $f(x)=\frac{1}{x}$의 경우에는 $x=0$에서 정의되지 않습니다. 특이적분은 이런 정의되지 않은 점까지도 포함해서 적분하는 것을 의미합니다. 

 

특이적분은 설명은 복잡하지만 그 원론은 정적분에서 시작됩니다. 즉, 항상 $\int_{b}^{a}$의 형태에서 시작한다는 것이죠. 이때 $a \to \infty$나 $b \to -\infty$로 보낸다고 생각해보세요. 이 경우에는 바로 위에서 설명한 윗 끝이나 아랫 끝이 무한대인 경우입니다. 이를 수식적으로 표현하면

 

$$\int_{b}^{\infty} f(x) \; dx = \lim_{a \to \infty} \int_{b}^{a} f(x) \; dx$$

$$\int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx = \lim_{b \to -\infty} \int_{b}^{a} f(x) \; dx$$

 

가 됩니다. 즉, 일반 정적분을 구한 뒤 $a$나 $b$에 대해서 극한을 취하면 됩니다. 

 

다음으로 조각 연속(piecewise continuous)입니다. 조각 연속이라니 말이 어렵네요. 하지만 함수의 그래프의 예시를 보시면 이해하실 겁니다.

위의 그래프와 같이 특정 점을 제외하고는 모든 영역에서 함수가 연속입니다. 

 

조각 연속을 일반화해서 정의하면 상단의 그림과 같은 끊기는 점, 즉 불연속점의 개수가 많아야 유한 개이고 불연속점을 기준으로 구간을 잘랐을 때 각 구간마다 연속인 함수라고 합니다. 여기에 적분의 개념을 추가하면 각 구간마다 적분을 적용할 수 있다는 점입니다.

 

조각 연속에 있어 중요한 정리를 소개해드리겠습니다. $t \geq a$에서 $f$가 조각 연속이고 어떤 상수 $M$에 대해서 $t \geq M$인 $|f(t)| \leq |g(t)|$라고 가정하겠습니다. 그러면 $\int_{0}^{\infty} g(t) \; dt$가 수렴하면 $\int_{0}^{\infty} f(t) \; dt$ 역시 수렴합니다. 이를 바꾸어 보면 $\int_{0}^{\infty} f(t) \; dt$가 발산하면 $\int_{0}^{\infty} g(t) \; dt$ 역시 발산합니다. 

 

그 다음은 적분 변환(integer transform)입니다. $f(x) \to F(s)$로의 변환을 $F(s)=\int_{\alpha}^{\beta} k(s, t)f(t) \; dt$라고 정의합니다. 이때 $k(s, t)$는 주어지는 핵심 함수(kernel function)이라고 합니다. 이와 같이 정의되었을 때, $f(t)$가 주어진다고 가정하면 $f$의 라플라스 변환은 $L : f(t) \to F(s)$로 정의합니다. 즉 $L(f(t)) = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t) \; dt$입니다. 이때 핵심 함수는 $k(s, t)=e^{-st}$로 정의됩니다.

 

적분 변환이 필요한 이유는 미분방정식을 적분변환을 통해 대수방정식으로 변환하고 싶기 때문입니다. 문제를 풀어봐서 알겠지만 미분방정식보다 대수방정식을 푸는 것이 훨씬 쉽습니다. 이렇게 구한 대수방정식의 해를 다시 역라플라스 변환(inverse Laplace transform)을 통해서 미분방정식의 해를 얻는 것입니다. 어려운 길을 가는 것이 아니라 쉬운 길을 만들어서 돌아서 가는 원리입니다.

 

참고로 라플라스 변화은 선형 연산자(linear operation)입니다. 즉, $L(\alpha f(x) + \beta g(x)) = \alpha L(f(x)) + \beta L(g(x))$입니다. 이 성질을 통해 어려운 변환을 쉽게 할 수 있습니다. 

 

마지막으로 라플라스 변환의 예제를 보고 마치도록 하겠습니다.

 

예제1. $f(t)=1, t \geq 0$

$L(1) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \; dt = [-\frac{1}{s}e^{-st}]^{\infty}_{0} = \frac{1}{s} for s > 0$

 

앞으로 라플라스 변환은 주구장창 할 예정이니 꼭 숙지하시길 바랍니다.