미분방정식[16].2계 선형 미분방정식의 급수해 5

안녕하세요. 지난 포스팅의 미분방정식[15].2계 선형 미분방정식의 급수해 4에서 특이점을 정칙, 비정칙 특이점으로 나누어보고 예제를 통해 분류해보는 시간을 가졌습니다. 오늘은 본격적으로 특이점을 가지는 경우에 2계 선형 미분방정식의 해를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

특이점을 가지는 미분방정식의 해를 구할 수 있는 경우는 굉장히 한정적입니다. 따라서 저희는 대표적인 예제인 오일러 방정식(Euler's Equation)을 확인해보도록 하겠습니다. 이 방정식 하나만으로도 설명할것이 꽤나 많으니 걱정하지 마시길 바랍니다. 

 

먼저 오일러 방정식은 지난 시간의 르장드르 방정식과 같이 굉장히 유명한 미분방정식 중에 하나입니다. 오일러 방정식은 사실 유체역학에서 자주 언급되는 방정식 중에 하나입니다.(하지만 저는 그쪽 공부를 안해서... 형태만 보도록 하겠습니다.) 그렇다면 유체역학에서 자주 사용되는 방정식을 왜 지금 언급하고 있을까요? 이유는 정칙 특이점을 가지는 미분방정식 중에 가장 간단한 미분방정식이기 때문입니다. 이제 사설은 그만하고 본격적으로 알아보도록 하죠

 

$$L[y] = x^{2}y^{''} + \alpha xy^{'} + \beta y = 0\ (1)$$

 

위 식이 바로 그 유명한 오일러 방정식입니다. 가장 왼쪽을 보면 $L[y]$가 있는 것을 볼 수 있는데, 이는 오일러 방정식을 하나의 연산자로서 정의한것입니다. 간단하게 설명하면 함수를 방정식으로 만드는 어떤 함수를 정의했다고 보면 될거 같습니다. 즉, 연산자 $L$은 함수 $y$를 오일러 방정식의 형태로 만들어주게 됩니다. 이러한 표현은 수학적으로 자주 사용되니 기억해주시면 좋을 거 같습니다.

 

이때 $(1)$은 $x=0$에서 특이점을 가지는 것을 이제는 아주 쉽게 알 수 있습니다. 그렇다면 이 점이 정칙 특이점인지, 비정칙 특이점인지는 어떻게 알 수 있을까요? 지난 포스팅의 정의를 다시 한번 상기해주시길 바랍니다. 그 정의를 그대로 따라서 쓰면 아래와 같습니다.

 

$$\lim_{x \to 0} x\frac{\alpha x}{x^{2}} = \alpha$$

$$\lim_{x \to 0} x^{2}\frac{\beta}{x^{2}} = \beta$$

 

2개의 극한값이 전부 유한이기 때문에 $x=0$은 정칙 특이점이라는 사실을 알 수 있습니다. 이것은 $x=0$을 제외한 모든 구간에서 일반해 $y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)$를 구할 수 있는 것을 의미합니다. 이제 경우를 나누어서 한번 생각을 해보도록 하겠습니다!!

 

1). $x > 0$인 경우

오일러 방정식 $(1)$의 해가 $y(x)=x^{r}$의 형태를 가진다고 가정해보겠습니다. 그러면 저희가 방금 정의한 연산자을 적용할 수 있겠죠?

 

$$L[x^{r}] = x^{2}[r(r-1)x^{r-2}] + \alpha x[rx^{r-1}] + \beta [x^{r}] = [r^{2} + (\alpha-1)r + \beta]x^{r} = 0$$

 

이때, 함수 $F(r) = r^{2} + (\alpha-1)r + \beta$이라고 정의하겠습니다. 여기서 $r$이 $F(r)=0$을 만족하는 근이라고 하면 $x^{r}$은 오일러 방정식의 해가 되고, $r_{1}, r_{2} = \frac{-(\alpha - 1) \pm \sqrt{(\alpha - 1)^{2} - 4\beta}}{2}$가 됩니다. 이제부터는 초반에 2계 선형 미분방정식을 푸는 방법을 통해서 해를 구할 수 있습니다. 다들 기억하실지는 모르겠지만, $r_{1}, r_{2}$가 서로 다른 실수인 경우, $r_{1} = r_{2}$인 경우, $r_{1}, r_{2}$가 서로 다른 복소해인 경우로 나누어서 생각해보도록 하겠습니다. 이즈음에서 저희의 가정이 항상 $x$가 양수인 것을 기억해주세요.

 

먼저, $r_{1}, r_{2}$가 서로 다른 실수인 경우입니다. $y_{1}(x)=x^{r_{1}}, y_{2}(x)=x^{r_{2}}$라고 가정하도록 하겠습니다. 이는 각각 오일러 방정식의 해가 되겠죠. 이때, wronskian이 0이 아님을 보이면 principle of superposition에 의해서 두 해의 선형결합으로 일반해를 표현할 수 있다고 하였습니다.(wronskian은 이제 다들 계산할 줄 아실테니...생략... 귀찮아서 그런거 아닙니다.) 따라서 이 경우에 오일러 방정식의 일반해는 $y(x) = C_{1}x^{r_{1}} + C_{2}x^{r_{2}}$임을 알 수 있습니다.

 

다음으로 $r_{1} = r_{2}$, 즉 중근을 가지는 경우입니다. 따라서 $y_{1}(x) = x^{r_{1}}$이 주어진 오일러 방정식의 해 중에 하나임을 알 수 있습니다. 중근을 가지는 경우에는 이전에는 단순히 $t$를 곱해서 fundamental set of solution을 구성하였습니다. 하지만 이번에는 그런식으로 하면 얻을 수 없기 때문에 $x^{r_{1}}$이 아닌 다른 해를 찾는 과정을 필요로 합니다. 물론 $x^{r_{1}}$의 형태는 유지는 합니다!! 이 경우에는 방금 저희가 정의한 $F(r)$을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

$$F(r) = (r - r_{1})^2 \Rightarrow \frac{dF}{dr} |_{r=r_{1}} = 2(r - r_{1}) = 0$$

 

이때, $L[x^{r}]=F(r)x^{r}\ (2)$이므로  $L[x^{r_{1}}]=F(r_{1})x^{r_{1}} = 0$가 됩니다. 여기서 $(2)$를 $r$에 대해서 미분을 해보면 아래의 식을 얻을 수 있습니다.

 

$$\frac{\partial}{\partial r} L[x^{r}] = \frac{\partial}{\partial r} F(r)x^{r} = rx^{r-1}F(r) + x^{r}\frac{\partial F}{\partial r}$$

 

그러므로 $\frac{\partial}{\partial} L[x^{r}] |_{r=r_{1}} = 0$임을 쉽게 알 수 있습니다. 일반해를 구하려면 아직 멀었습니다. 다음으로 $\frac{\partial}{\partial r} L[x^{r}] = L[\frac{\partial}{\partial r} x^{r}]$임을 보여야합니다. 이는 아래의 과정을 참조해주세요.

 

$$\frac{\partial}{\partial r} L[x^{r}] = \frac{\partial}{\partial r} [x^{2}x^{r} + \alpha xx^{r} + \beta x^{r}]$$

$$\Rightarrow x^{2}\frac{\partial}{\partial r}[\frac{\partial}{\partial x^{2}} x^{r}] + \alpha x\frac{\partial}{\partial r}[\frac{\partial}{\partial x} x^{r}] + \beta [\frac{\partial}{\partial r} x^{r}]$$

$$\Rightarrow x^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}[\frac{\partial}{\partial r} x^{r}] + \alpha x \frac{\partial}{\partial x}[\frac{\partial}{\partial r} x^{r}] + \beta[\frac{\partial}{\partial r} x^{r}] = L[\frac{\partial}{\partial r} x^{r}]$$

 

따라서 $\frac{\partial}{\partial r} x^{r} |_{r=r_{1}}$ 역시 오일러 방정식의 해임을 알 수 있습니다. 그러므로 $x^{r_{1}}, x^{r_{1}}\ln{x}$가 오일러 방정식의 fundamental set of solution임을 알 수 있습니다. 그러므로 $y(x) = (C_{1} + \ln{x} C_{2})x^{r_{1}}$은 오일러 방정식의 일반해가 됩니다.

 

마지막으로 $r_{1}, r_{2}$가 복소해를 가지는 경우입니다. 이때에는 아래와 같이 오일러의 공식을 사용해서 풀 수 있습니다.(오일러 방정식에서 오일러 공식을 쓰다니...)

 

$$x^{r_{1}} = x^{\gamma + i\mu} = x^{\gamma}x^{i\mu} = x^{\gamma}e^{i\mu\ln{x}} = x^{\gamma}[\cos{(\mu\ln{(x)})} + i\sin{(\mu\ln{(x)})}]$$

$$x^{r_{2}} = x^{\gamma - i\mu} = x^{\gamma}x^{-i\mu} = x^{\gamma}e^{-i\mu\ln{x}} = x^{\gamma}[\cos{(\mu\ln{(x)})} - i\sin{(\mu\ln{(x)})}]$$

 

따라서 이 경우에 오일러 방정식의 일반해는 $y(x)=C_{1}x^{\gamma}\cos{(\mu\ln{(x)})} + C_{2}x^{\gamma}\sin{(\mu\ln{(x)})}$입니다.

 

2). $x < 0$인 경우

이 경우에는 변수변환법을 통해서 $x > 0$인 경우를 그대로 활용할 수 있습니다.($t=-x$라고 가정하면 $t>0$이기 때문에 $x > 0$인 경우를 활용할 수 있습니다.)

 

따라서 $x \neq 0$인 모든 영역에서의 오일러 방정식의 일반해는 아래와 같이 정리할 수 있을 거 같네요

 

• $r_{1} \neq r_{2}$이고 실수인 경우, $y(x) = C_{1}|x|^{r_{1}} + C_{2}|x|^{r_{2}}$

• $r_{1} = r_{2}$이고 실수인 경우, $y(x) = (C_{1} + C_{2}\ln{(x)})|x|^{r_{2}}$

• $r_{1} \neq r_{2}$이고 복소수인 경우, $y(x) = C_{1}|x|^{\gamma}\cos{(\mu\ln{|x|})} + C_{2}|x|^{\gamma}\sin{(\mu\ln{(|x|)})}$