미분방정식[13].2계 선형 미분방정식의 급수해 2

안녕하세요. 지난 포스팅에서는 미분방정식[12].2계 선형 미분방정식의 급수해 1에서 멱급수에 대해서 간단하게 복습해보았습니다. 오늘 포스팅은 본격적으로 2계 선형 미분방정식을 특성 방정식을 이용해서 푸는 것이 아니라 급수해를 통해서 푸는 방법을 알아보도록 하겠습니다.

 

먼저, 제차 2계 선형 미분방정식의 일반적인 모습부터 확인해보겠습니다.

 

$$P(x) \cdot y^{''} + Q(x) \cdot y^{'} + R(x) \cdot y = 0$$

 

이때 독립변수가 $x$인데 신경쓰지 않으셔도 됩니다. 그리고 한 가지 가장 큰 차이점은 각 계수가 상수가 아니라는 점입니다. 특성 방정식을 이용해서 풀 때는 2차 방정식의 해를 구해야하기 때문에 각 계수가 상수라는 가정을 했었죠. 하지만 급수해를 이용해서 미분방정식을 풀 때는 더 확장된 형태인 각 계수가 상수가 아닐 때, 즉 $x$에 의존하는 함수일 경우에도 해결할 수 있습니다.

 

여기서 중요한 개념인 정상점(ordinary point)과 특이점(singular point)이 등장합니다. 말은 어렵지 간단한 개념인데요. 바로 점 $x_{0}$에서 $P(x_{0}) \neq 0$이면 정상점이고 그렇지 않으면 특이점이라고 합니다. 다시 모든 계수가 상수일 때를 생각해보겠습니다. 상수일 때는 $P(x)=a$가 0이 될 수가 없기 때문에 항상 모든 $x$에 대해서 정상점이라고 볼 수 있습니다. 하지만 이제부터 계수가 변수이기 때문에 특이점도 고려해주어야합니다. 정상점과 특이점을 잘 알아두어야하는 이유는 이후에 정상점과 특이점일 때의 해법이 각각 다르기 때문입니다.

 

본격적으로 급수해를 이용해서 문제를 풀어보겠습니다. 사실 급수해라고 해서 크게 어렵지는 않지만 단점은 계산이 복잡하고 어렵다는 점입니다. 기본 아이디어는 아래와 같습니다.

 

$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n}$$

 

애초에 해를 $|x-x_{0}| < \rho$ 근방의 멱급수로 생각하는 것입니다. 이때, $\rho$는 멱급수의 수렴반경입니다. 그리고 저희가 해야하는 것은 $a_{n}$을 구하는 것이 되겠네요!

 

바로 문제를 풀어보겠습니다. 

 

예제1. Solve $y^{''} + y = 0$ at $x_{0} = 0$

 

비록 각 계수가 변수가 아니고 상수이지만 간단하게 풀어서 비교해볼 수 있는 예제입니다. 참고로 이 예제 같은 경우에는 특성방정식을 도입해서 풀 수도 있으니 특성방정식으로도 한번 풀어보시길 권유드립니다!

 

STEP1. 주어진 미분방정식을 하나의 급수로 표현하기

 

먼저 $x_{0}=0$이기 때문에 $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$이라고 가정하겠습니다.(물론 $x_{0}$가 다른 값으로 주어질수도 있으니 주의하시길 바랍니다.) 그러면 $y$를 1번 미분하고, 2번 미분한 $y^{'}$와 $y^{''}$를 얻을 수 있습니다.

 

$$y^{'}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} na_{n}x^{n-1}, y^{''}(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_{n}x^{n-2}$$

 

미분할 때마다 급수의 시작점이 바뀌고 있는 것에 주의하세요! 만약 이유를 모르시는 분들은 급수를 풀어서 적은 다음에 직접 미분해본뒤 다시 급수형태로 쓰면 왜 그런지 쉽게 알 수 있습니다. 이제 이 식을 주어진 미분방정식에 대입합니다.

 

$$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_{n}x^{n-2} + \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} = 0$$

 

이번 단계의 마지막으로 이 급수들의 합을 하나의 급수로 표현해야합니다. 그런데 지금 급수의 시작점이 다르기 때문에 급수의 시작점부터 맞추어주면 됩니다. 저는 급수의 시작점을 전부 0부터 시작하는 것으로 통일하겠습니다.

 

$$\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1)a_{n+2} + a_{n}]x^{n} = 0$$

 

급수의 성질로 인해서 $n=0, 1, 2, \dots$에 대해서 $(n+2)(n+1)a_{n+2} + a_{n} = 0$인 것을 쉽게 알 수 있습니다.

 

STEP2. $a_{n}$ 구하기

 

이전 단계에서 구한 마지막 결과를 통해 $a_{n}$을 $n$에 대한 식으로 유도합니다. 이제부터는 많은 연습을 필요로 하니 다양한 예제들을 보는 것을 추천드립니다.

 

먼저 $n=0, 1, 2, \dots$에 대해서 $a_{n+2} = -\frac{a_{n}}{(n+2)(n+1)}$로 정리할 수 있습니다. 이렇게 보니까 어렵네요! 따라서 $n$을 0부터 5까지 대입해서 규칙성을 파악해보겠습니다.

 

$$n = 0 \rightarrow a_{2}=-\frac{a_{0}}{(2)(1)}$$

$$n = 1 \rightarrow a_{3}=-\frac{a_{1}}{(3)(2)}$$

$$n = 2 \rightarrow a_{4}=-\frac{a_{0}}{(4)(3)} = \frac{a_{0}}{(4)(3)(2)(1)}$$

$$n = 3 \rightarrow a_{5}=-\frac{a_{3}}{(5)(4)} = \frac{a_{1}}{(5)(4)(3)(2)}$$

$$n = 4 \rightarrow a_{6}=-\frac{a_{0}}{(6)(5)} = -\frac{a_{0}}{(6)(5)(4)(3)(2)(1)}$$

$$n = 5 \rightarrow a_{7}=-\frac{a_{5}}{(7)(6)} = -\frac{a_{1}}{(7)(6)(5)(4)(3)(2)}$$

 

자 규칙성이 보이시나요? 뭔가 $n$이 짝수일 때는 $a_{0}$이 들어가고 $n$이 홀수일 때는 $a_{1}$이 들어가는 것을 볼 수 있습니다. 그리고 음수와 양수가 번갈아가면서 나오고 있네요. 따라서 아래와 같이 나눌 수 있을 거 같습니다!

 

$$a_{2k} = \frac{(-1)^{k}a_{0}}{(2k)!}, a_{2k+1} = \frac{(-1)^{k}a_{1}}{(2k+1)!}, k = 1, 2, 3, \dots$$

 

따라서!! 급수해를 아래와 같이 쓸 수 있을 거 같습니다.

 

$$y_{0} = a_{0}[1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots] + a_{1}[x - \frac{x^{3}}{3!} + \dots] = a_{0}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!} + a_{1}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

 

참고로 첫번째 항은 $\cos{x}$, 두번째 항은 $\sin{x}$와 동일합니다. 따라서 $y(x) = a_{0}\cos{x} + a_{1}\sin_{x}$로 써도 무방합니다. 이때 특성방정식으로 방정식을 풀게 되면 바로 $y$를 유도할 수 있습니다만 계수만 다를 뿐입니다.

 

그렇다면 $a_{0}$과 $a_{1}$은 어떻게 구할 수 있을까요? 바로 초기조건이 주어져야합니다. 특성방정식을 이용해서 문제를 풀 때 일반해를 얻을 수 있었습니다. 이때 특정해를 구하려면 초기조건 2개가 주어져야했습니다. 급수해도 마찬가지로 초기조건 2개가 주어져야 $a_{0}$, $a_{1}$를 풀 수 있습니다.