미분방정식[11].Higher Order Linear ODE 4

안녕하세요. 지난 시간에는 미분방정식[10](https://everyday-image-processing.tistory.com/42)에서 확인했던 미정계수법을 통해 비제차 고계 선형 미분방정식을 푸는 방법을 확인하였습니다. 이번 시간에는 다른 방법인 매개변수변환법에 대해서 알아보겠습니다.

 

고계 선형 미분방정식의 매개변수변환법 역시 2계 선형 미분방정식을 푸는 방법과 동일합니다. 다만 식이 좀 더 복잡해질 뿐입니다. 먼저 아래의 비제차 고계 선형 미분방정식부터 상기하고 넘어가겠습니다.

 

$$y^{(n)} + p_{n-1}(t)y^{(n-1)} + \dots + p_{1}(t)y^{'} + p_{0}(t)y = g(t)\ -\ (1)$$

 

이때 $(1)$에서 제차인 경우의 fundamental set of solution을 이루는 해들을 각각 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$이라고 하겠습니다. 그러면 principle of superposition으로 인해서 $y(t) = C_{1}y_{1} + \dots + C_{n}y_{n}$입니다. 

 

여기서 매개변수변환법은 새로운 함수 $u_{1}, \dots, u_{n}$를 구해서 비제차 미분방정식의 특정해인 $Y(t) = u_{1}(t)y_{1}(t) + u_{2}(t)y_{2}(t) + \dots + u_{n}(t)y_{n}(t)\ -\ (2)$를 구하는 것이 목표입니다.

 

2계 선형 미분방정식의 매개변수변환법에서 $Y(t)$를 미분하고 특정식을 0으로 가정했던 것을 기억하셔야합니다. 더 일반적인 형태의 고계 선형 미분방정식에서는 총 $n$번의 미분을 하면서 $n$개의 해를 0으로 가정합니다. 

 

먼저 $Y(t)$를 한번 미분해보겠습니다.

 

$$Y^{'} = u_{1}y_{1}^{'} + u_{1}^{'}y_{1} + u_{2}y_{2}^{'} + u_{2}^{'}y_{2} + \dots + u_{n}y_{n}^{'} + u_{n}^{'}y_{n}$$

$$\Rightarrow [u_{1}y_{1}^{'} + u_{2}y_{2}^{'} + \dots + u_{n}y_{n}^{'}] + [u_{1}^{'}y_{1} + u_{2}^{'}y_{2} + \dots u_{n}^{'}y_{n}]\ -\ (2)$$

 

첫번째 식에서 두번째 식으로는 $y$가 미분된 경우를 앞으로 옮기고 $u$가 미분된 경우를 뒤로 옮겨 덧셈의 순서를 바꾼 것 밖에 없습니다. 이때 $u_{1}^{'}y_{1} + u_{2}^{'}y_{2} + \dots u_{n}^{'}y_{n} = 0$이라고 가정합니다. 따라서 $(2)$는 $Y^{'}(t)=u_{1}y_{1}^{'} + u_{2}y_{2}^{'} + \dots + u_{n}y_{n}^{'}\ -\ (3)$가 됩니다. 이제 $(3)$을 $t$에 대해서 한번 더 미분해보겠습니다.

 

$$Y^{''} = u_{1}y_{1}^{''} + u_{1}^{'}y_{1}^{'} + u_{2}y_{2}^{''} + u_{2}^{'}y_{2}^{'} + \dots + u_{n}y_{n}^{''} + u_{n}^{'}y_{n}^{'}$$

$$\Rightarrow [u_{1}y_{1}^{''} + u_{2}y_{2}^{''} + \dots + u_{n}y_{n}^{''}] + [u_{1}^{'}y_{1}^{'} + u_{2}^{'}y_{2}^{'} + \dots u_{n}^{'}y_{n}^{'}]\ -\ (4)$$

 

$(4)$에서 $u_{1}^{'}y_{1}^{'} + u_{2}^{'}y_{2}^{'} + \dots u_{n}^{'}y_{n}^{'} = 0$이라고 가정합니다. 따라서 $(4)$는 $Y^{''} = u_{1}y_{1}^{''} + u_{2}y_{2}^{''} + \dots + u_{n}y_{n}^{''}\ -\ (5)$가 됩니다. 이와 같이 총 $n-1$번을 미분하고 동일하게 특정식을 0이라고 가정하면 $Y$를 $t$에 대해서 $k$번 미분했을 때 아래의 관계식을 얻을 수 있습니다.

 

$$Y^{(k)}(t) = u_{1}y_{1}^{(k)} + u_{2}y_{2}^{(k)} + \dots u_{n}y_{n}^{(k)}\ -\ (6)\ k=1, 2, \dots, n-1$$

$$u_{1}^{'}y_{1}^{(k)} + u_{2}^{'}y_{2}^{(k)} + \dots + u_{n}y_{n}^{(k)} = 0\ -\ (7)\ k = 0, 1, \dots, n-2$$

 

이제 $(6)$이 $k=n-1$일 때 한번 더 미분해서 총 $n$번 미분했을 때 식을 보면 $Y^{(n)}(t) = [u_{1}y_{1}^{(n)} + u_{2}y_{2}^{(n)}$ + \dots + u_{n}y_{n}^{(n)}] + [u_{1}^{'}y_{1}^{(n-1)} + u_{2}^{'}y_{2}^{(n-1)} + \dots + u_{n}y_{n}^{(n-1)}]$가 됩니다.

 

마지막으로 지금까지 구했던 모든 식을 $(1)$에 대입해서 정리하면 아래의 식을 얻을 수 있습니다.

 

$$u_{1}[y_{1}^{(n)} + p_{n-1}(t)y_{1}^{(n-1)} + \dots + p_{0}(t)y_{1}] + $$

$$u_{2}[y_{2}^{(n)} + p_{n-1}(t)y_{2}^{(n-1)} + \dots + p_{0}(t)y_{2}] + $$

$$\dots$$

$$u_{n}[y_{n}^{(n)} + p_{n-1}(t)y_{n}^{(n-1)} + \dots + p_{0}(t)y_{n}] + $$

$$u_{1}^{'}y_{1}^{(n-1)} + u_{2}^{'}y_{2}^{(n-1)} + \dots + u_{n}^{'}y_{n}^{(n-1)} = g(t)$$

 

이때 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$이 $(1)$의 fundamental set of solution을 구성하는 것을 기억하셔야합니다. 그러면 $u_{1}^{'}y_{1}^{(n-1)} + u_{2}^{'}y_{2}^{(n-1)} + \dots + u_{n}^{'}y_{n}^{(n-1)} = g(t)$으로 식이 간단해집니다. 이제 의미있는 식끼리 모을 수 있습니다.

 

$$u_{1}^{'}y_{1} + u_{2}^{'}y_{2} + \dots + u_{n}y_{n} = 0$$

$$u_{1}^{'}y_{1}^{'} + u_{2}^{'}y_{2}^{'} + \dots + u_{n}y_{n}^{'} = 0$$

$$u_{1}^{'}y_{1}^{''} + u_{2}^{'}y_{2}^{''} + \dots + u_{n}y_{n}^{''} = 0$$

$$\dots$$

$$u_{1}^{'}y_{1}^{(n-2)} + u_{2}^{'}y_{2}^{(n-2)} + \dots + u_{n}y_{n}^{(n-2)} = 0$$

$$u_{1}^{'}y_{1}^{(n-1)} + u_{2}^{'}y_{2}^{(n-1)} + \dots + u_{n}^{'}y_{n}^{(n-1)} = g(t)$$

 

이와 같이 총 $n$개의 연립방정식을 얻었습니다. 이 연립방정식을 풀 수 있다면 각 $u_{k}$가 존재하기 때문에 해를 구할 수 있겠죠. 그 조건은 선형대수를 사용하여 증명할 수 있지만 이번 포스팅의 내용에 크게 상관이 없으므로 결론은 wronskian이 0이 안되야하는 것만 아시면 될 거 같습니다. 즉 $W(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) \neq 0$입니다.

 

wronskian이 0이 아니라면 각 $u_{k}^{'}$는 아래와 같습니다.

 

$$u_{k}^{'} = \frac{g(t)W_{k}(t)}{W(t)}\ for\ k=1, 2, \dots, n$$

 

여기서 $W_{k}$는 wronskian에서 $k$번째 열을 $(0, 0, \dots, 0, 1)$로 바꾼 행렬식입니다. 이제 각 식을 미분하면 $u_{k}$를 얻을 수 있습니다.

 

$$u_{k} = \int \frac{g(t)W_{k}(t)}{W(t)} \; dt$$

 

이를 $(2)$에 대입하면

 

$$Y(t) = y_{1}(t) \cdot \int \frac{g(t)W_{1}(t)}{W(t)} \; dt + y_{2}(t) \cdot \int \frac{g(t)W_{2}(t)}{W(t)} \; dt + \dots + y_{n}(t) \cdots \frac{g(t)W_{n}(t)}{W(t)} \; dt$$

 

를 얻을 수 있습니다.