미분방정식[12].2계 선형 미분방정식의 급수해 1

안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 미분방정식[11].Higher Order Linear ODE 4(https://everyday-image-processing.tistory.com/44)을 통해서 비제차 고계 선형 미분방정식을 푸는 변수변환법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다시 2계 선형 미분방정식으로 돌아가서 급수해를 통해서 해를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

 

본격적으로 시작하기 전에 이번 포스팅에서는 멱급수(power series)에 대해서 복습하도록 하겠습니다. 자세하게 알아보진 않고 간단하게 상기하는 정도로만 넘어가겠습니다.(자세하게 알고 싶으신 분은 해석학의 멱급수를 확인해보시면 됩니다.)

 

• 멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n}$은 극한값 $\displaystyle \lim_{m \to \infty} \sum_{n=0}^{m=0} a_{n}(x-x_{0})^{n}$이 점 $x$에 대해서 존재하면 주어진 멱급수를 수렴한다라고 말합니다.
• 멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n}$은 $\sum_{n=0}^{\infty} |a_{n}(x-x_{n})^{n}|$이 수렴하면 절대 수렴한다고 합니다.
• 멱급수의 수렴을 확인하는 방법 중에 하나인 비 판정법(ratio test)입니다. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}(x-x_{0})^{n+1}}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}| = |x-x_{0}|\displaystyle \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=|x-x_{0}|L$에서 $L$의 범위에 따라서 수렴을 판단할 수 있습니다. $L < 1$이면 절대 수렴, $L > 1$이면 발산, $L = 1$이면 판단 풀가입니다.
• 멱급수는 선형성을 가집니다. 서로 다른 두 멱급수에 상수를 곱하고 더할 수 있습니다. 즉, $\alpha\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n} \pm \beta\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}(x-x_{0})^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha a_{n} \pm \beta b_{n})(x-x_{0})^{n}$입니다. 이때 조건은 급수의 시작과 끝이 동일해야하고 수열을 제외한 급수 안의 식 역시 동일해야합니다.
• 함수 $f$가 연속이고 무한 번 미분가능할 때 $f^{'}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} na_{n}(x-x_{0})^{n-1}$이 됩니다.
• $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$은 $x=x_{0}$에서의 테일러 급수(Taylor Series)라고 합니다. 
• 만약 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} b_{n}(x-x_{0})^{n}$이면 $a_{n} = b_{n}$입니다.
• 함수 $f$가  $x=x_{0}$에서 테일러 급수로 표현할 수 있다면 함수 $f$를 해석적(analytic)이라고 합니다.