미분방정식[10].Higher Order Linear ODE 3

안녕하세요. 오늘은 지난 포스팅의 미분방정식[9].Higher Order Linear ODE 2(https://everyday-image-processing.tistory.com/40)에서 고계 선형 미분방정식을 푸는 기본 개념을 알아보았고 2계 선형 미분방정식을 푸는 방식과 크게 다르지 않다는 것을 알게 되었습니다. 이번 포스팅에서는 비제차(Nonhomogeneous) 고계 선형 미분방정식을 푸는 방법 중에 하나인 미정계수법을 알아보도록 하겠습니다.

 

사실 미정계수법을 사용해서 비제차 고계 선형 미분방정식을 푸는 방법은 2계 선형 미분방정식과 완전하게 동일합니다. 즉, 먼저 제차 고계 선형 미분방정식에 대한 일반해를 유도한 뒤 미정계수법에서 소개된 표를 보고 비제차 고계 선형 미분방정식의 특정해를 더해주면 됩니다. 

 

먼저 비제차 고계 선형 미분방정식은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

 

$$y^{(n)} + p_{n-1}(t) \cdot y^{(n-1)} + \dots + p_{1}(t) \cdot y^{'} + p_{0}(t) \cdot y = g(t)\ -\ (1)$$

 

여기서 $g(t)$는 지수함수, 다항함수, 삼각함수가 올 수 있고 각기 다른 함수들을 더하거나 곱한 형태들이 올 수도 있습니다.  비제차 2계 선형 미분방정식을 풀 때 사용했던 아래의 표를 참고해서 문제를 풀어보겠습니다.

 

$g(t)$	$Y(t)$
$P_{n}(t) = \sum_{i=0}^{n} a_{i}t^{n-i}$	$t^{s}\sum_{i=0}^{n} A_{i}t^{n-i}$
$P_{n}(t) \cdot e^{\alpha t}$	$t^{s}\sum_{i = 0}^{n} A_{i}t^{n - i}e^{\alpha t}$
$P_{n}(t) \cdot e^{\alpha t} \cdot \sin{\beta t}$	$t^{s}[(\sum_{i = 0}^{n} A_{i}t^{n - i}) \cdot e^{\alpha t} \cdot \cos{\beta t} + (\sum_{i = 0}^{n} B_{i}t^{n - i}) \cdot e^{\alpha t} \cdot \sin{\beta t}]$

 

예제1. Solve $y^{(3)} - 12y^{''} + 48y^{'} - 64y = 12 - 32e^{-8t} + 2e^{4t}$

 

Step1. 주어진 비제차 고계 선형 미분방정식에 대응되는 제차 고계 선형 미분방정식에 대한 특성방정식의 해를 구한다.

 

먼저 제차 고계 선형 미분방정식으로 써보면 $y^{(3)} - 12y^{''} + 48y^{'} - 64y = 0$이므로 주어진 미분방정식의 특성방정식은 아래와 같습니다.

 

$$r^{3} - 12r^{2} + 48r - 64 = (r - 4)^{3} = 0$$

 

따라서 $r = 4$를 3번 갖는 중근입니다.

 

Step2. 제차 고계 선형 미분방정식의 일반해를 구한다.

 

그 다음으로 이전 포스팅에서 봤던 방법을 통해서 제차 고계 선형 미분방정식의 일반해를 구할 수 있습니다. $y_{c}(t) = C_{1}e^{4t} + C_{2}te^{4t} + C_{3}t^{2}e^{4t}$

 

Step3. 비제차 고계 선형 미분방정식의 특정해를 구한다.

 

표를 참조해서 특정해를 구하면 $Y_{p} = A + Be^{-8t} + Ct^{3}e^{4t}$가 됩니다.

 

Step4. 특정해를 주어진 미분방정식에 대입하여 미정계수를 계산한다.

 

계산 결과는 $A=-\frac{3}{16}, B=\frac{1}{54}, C=\frac{1}{3}$이므로 비제차 고계 선형 미분방정식의 해는 아래와 같습니다.

 

$$y(t) = C_{1}e^{4t} + C_{2}te^{4t} + C_{3}t^{2}e^{4t} - \frac{3}{16} + \frac{1}{54}e^{-8t} + \frac{1}{3}t^{3}e^{4t}$$