미분방정식[8].Higher Order Linear ODE 1

안녕하세요. 오늘은 지난 포스팅까지 진행했던 Second Order Linear ODE를 끝내고 더 고차 미분방정식인 Higher Order Linear ODE를 해결하는 방법을 진행하도록 하겠습니다. 

 

진행하기 전에 order란 첫 포스팅에서 언급했다싶이 미분방정식 내에서 가장 많이 미분을 한 횟수입니다. 따라서 지난 시간의 경우에는 가장 많이 미분한 횟수가 2번이므로 Second Order이고, 오늘부터는 3번, 4번, n번까지 미분한 Third, Fourth, n-th Order에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 그리고 일반적으로 Third Order 이상은 Higher Order로 칭하기도 합니다. 그리고 Higher Order Linear ODE를 푸는 방법이 Second Order에서 크게 벗어나지가 않습니다. 

 

먼저 일반적인 형태의 higher order linear ODE를 확인해보면 아래와 같습니다.

 

$$y^{(n)} + p_{1}(t) \cdot y^{(n-1)} + \dots + p_{n}(t) \cdot y(t) = g(t)-(1)\ Nonhomogeneous$$

$$y^{(n)} + p_{1}(t) \cdot y^{(n-1)} + \dots + p_{n}(t) \cdot y(t) = 0-(2)\ Homogeneous$$

 

그리고 higher order linear ODE의 초기 조건은 총 $n$개의 식이 주어져야합니다.

 

$$y(t_{0}) = y_{0}, y^{'}(t_{0}) = y^{'}_{0}, \dots, y^{(n-1)}(t_{0}) = y^{(n-1)}(t_{0})$$

 

그 다음으로 Second order linear ODE에서도 언급한 Wronskian과 관련된 정리 한가지가 나옵니다. 다만 higher order 이기 때문에 $n \times n$의 행렬식이 나오게 됩니다. 아래의 식을 보면 결국 Second order linear ODE의 wronskian은 아래 식의 $n$ = 2인 경우입니다.

 

 

Theorem
If $p_{1}(t), p_{2}(t), \dots, p_{n}(t)$ are continuous functions on $I$, if $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ are solutions of $(2)$, and if $W(y_{1}, \dots, y_{n}) \neq 0$ for at least one point in $I$, then every solution of $(2)$ can be expressed as a linear combination of $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$, $\Rightarrow y_{c}(t) = C_{1}y_{1}(t) + C_{2}y_{2}(t) + \dots + C_{n}y_{n}(t)$

 

위 정리 역시 second order linear ODE와 비슷합니다. 결국 위 식의 wronskian이 0이 아니라면 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$이 fundamental set of solution을 만족하기 때문에 linear combination으로 쓸 수 있다는 것입니다.

 

$(1)$의 해 역시 $y_{c}(t)$가 $(2)$의 해라고 했을 때 $y(t) = y_{c}(t) + y_{p}(t)$가 됩니다. 이때 $y_{p}$는 $(1)$의 particular solution입니다. 구하는 방법은 second order linear ODE와 동일한 방식으로 구할 수 있습니다.