미분방정식[6].Second Order Linear ODE 5

안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 미분방정식[5].Second Order Linear ODE-Repeated Root Reduction of order(https://everyday-image-processing.tistory.com/31)에 이어서 이제 homogeneous한 second order linear ODE에 대해서는 특성 방정식을 통해 전부 해결했으니 이제는 Nonhomogeneous한 second order linear ODE를 해결하는 방법 중 하나인 Method of undeterminded coefficient에 대해서 알아보겠습니다.

 

먼저 Homogeneous, Nonhomogeneous한 second order linear ODE의 형태를 복습하겠습니다.

 

$$y^{''} +p(t) \cdot y^{'} + q(t) \cdot y = g(t) -\ (1)\ Nonhomogeneous$$

$$y^{''} +p(t) \cdot y^{'} + q(t) \cdot y = 0 -\ (2)\ Homogeneous$$

 

이제 Nonhomogeneous한 second order linear ODE를 해결하기 위해서는 2가지 정리부터 알아야합니다. 

 

Theorem1
If $Y_{1}$, and $Y_{2}$ are two solutions of $(1)$, then $Y_{1} - Y_{2}$ is also a solution of $(1)$, and $Y_{1} - Y_{2} = C_{1}y_{1}(t) + C_{2}y_{2}(t)$ where $y_{1}$, $y_{2}$ are fundamental set of solutions of $(2)$

 

이 정리를 통해 알 수 있는 것은 Nonhomogeneous한 second order linear ODE의 해는 Homogeneous한 second order linear ODE의 해를 통해 얻을 수 있다라는 점입니다. 다음 정리를 보겠습니다.

 

Theorem2
The general solution of $(1)$ is $y = \phi (t) = C_{1}y_{1}(t) + C_{2}y_{2}(t) + Y(t) -\ (3)$ where $y_{1}$, and $y_{2}$ are a fundamental set of solutions of $(2)$

아하 이제 $(2)$의 general solution을 구하는 방법을 알았습니다. 먼저 해당 미분방정식에서 $=0$으로 만들고 homogeneous할 때의 해들을 구합니다. 그 다음에 $Y(t)$을 더하면 됩니다. 이제 마지막 단계는 $Y(t)$가 무엇인지만 알면 됩니다. 이는 $g(t)$의 형태에 따라 달라지기 때문에 아래의 표를 통해 보도록 하겠습니다.

 

$g(t)$	$Y(t)$
$P_{n}(t) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i}t^{n - i}$	$t^{s}\sum_{i = 0}^{n} A_{i}t^{n - i}$
$P_{n}(t) \cdot e^{\alpha t}$	$t^{s}\sum_{i = 0}^{n} A_{i}t^{n - i}e^{\alpha t}$
$P_{n}(t) \cdot e^{\alpha t} \cdot \sin{\beta t}$	$t^{s}[(\sum_{i = 0}^{n} A_{i}t^{n - i}) \cdot e^{\alpha t} \cdot \cos{\beta t} + (\sum_{i = 0}^{n} B_{i}t^{n - i}) \cdot e^{\alpha t} \cdot \sin{\beta t}]$

위 표를 참조해서 $Y$를 구할 수 있습니다. 여기서 $s$는 여러분들이 Charateristic Equation을 통해서 해를 구할 때 중복 근의 개수와 허근의 개수를 센 것입니다. 이 방식을 Method of undeterminded coefficient라고 합니다. 아래의 예제를 풀어보겠습니다.

 

예제1. Solve $y^{''} - 9y = -6\cos{3x}$

 

먼저 $y^{''} - 9y = 0$에 대한 general solution을 구하면 $C_{1}e^{3x} + C_{2}e^{-3x}$임을 알 수 있습니다. 이제 $-6\cos{3x}$의 형태를 가지는 경우를 위의 표에서 찾습니다. 이 경우 3번째 경우가 되겠네요. $e^{\alpha x}$의 경우 $\alpha = 0$이라고 생각하면 됩니다. 또한 $y^{''} - 9y = 0$의 Charateristic Equation의 해는 중근이 3, -3이기 때문에 $s = 0$입니다. 따라서 $Y(t)$는 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

 

$$Y(t) = A\cos{3x} + B\sin{3x}$$

 

이제 마지막으로 구해야하는 것은 $A$와 $B$입니다. $Y(t)$ 역시 위의 미분방정식의 해이기 때문에 $Y^{'}$와 $Y^{''}$을 계산하여 대입하면 됩니다. 결과적으로는 $A = \frac{1}{3}$, $B = 0$이 나오는 것을 볼 수 있습니다. 

 

따라서 주어진 미분방정식의 general solution은 $y(t) = C_{1}e^{3x} + C_{2}e^{-3x} + \frac{1}{3}\cos{3x}$ 가 됩니다.

 

$s$같은 경우에는 아직 Second Order ODE이기때문에 커봐야 2입니다. 하지만 나중에 High Order ODE를 풀때는 더 커질 수도 있기 때문에 잘 알아두어야 합니다.