미분방정식[5]. Second Order Linear ODE 4

안녕하세요. 오늘은 지난 포스팅의 미분방정식[4].Second Order Linear ODE-Complex roots of the Characteristic Equation(https://everyday-image-processing.tistory.com/29)에 이어서 Characteristic Equation의 해가 중근(Repeated Root)가 되는 경우에 해를 구하는 법에 대해서 알아보겠습니다. 

 

먼저 Second Order Linear ODE를 다시 보면 $ay^{''} + by^{'} + cy = 0-(1)$의 꼴을 가지고 있음을 확인해주시길 바랍니다. 여기서 만약 $(1)$의 Charateristic Equation의 해인 $r_{1}$, $r_{2}$가 중근이 나온다면 어떻게 해결 할까요?

 

사실 중근이 나오는 경우에는 아래의 정리만 사용할 수 있으면 굉장히 간단합니다.

Theorem
If $y_{1}(t) = e^{r_{1}t}$ is a solution of  $(1)$, then $y_{2}(t) = u(t)e^{r_{1}t}$ is also solution of $(1)$

간단하게 증명을 해보도록 하겠습니다. 정리의 $y_{2}$ 역시 $(1)$의 해임을 증명하는 간단한 방법은 직접 대입해서 식이 성립하는 지 알아보는 것입니다. 이를 위해서 $y_{2}$의 first derivative와 second derivative를 계산합니다.

 

$$y^{'}_{2}(t) = u^{'}(t)e^{r_{1}t} + r_{1}u(t)e^{r_{1}t}$$

$$y^{''}_{2}(t) = u^{''}(t)e^{r_{1}t} + 2r_{1}u^{'}(t)e^{r_{1}t} + r^{2}_{1}u(t)e^{r_{1}t}$$

 

위의 결과를 $(1)$에 대입하고 정리합니다.

 

$$\Rightarrow au^{''} + (2ar_{1} + b)u^{'} + (ar^{2}_{1} + br_{1} + c)u = 0-(2)$$

 

이때 $r_{1} = r_{2}$이기 때문에 근의 공식으로 인해서 $r_{1} = -\frac{b}{2a}$입니다. 따라서 $2ar_{1} + b = 0$이고 $ar^{2}_{1} + br_{1} + c$ 역시 Charateristic Equation에 해인 $r_{1}$을 대입한 것이므로 0입니다. 그러므로 위의 식은 아래와 같이 정리됩니다.

 

$$\Rightarrow au^{''} = 0 \Rightarrow u(t) = C_{1}t + C_{2}-(3)$$

 

따라서 $u(t)$가 $(3)$의 형태를 가지기만 하면 $y_{2}$ 역시 해가 될 수 있습니다. 여기서 $C_{1}$, $C_{2}$는 임의의 상수이기 때문에 최대한 간단하게 만들기 위해서 $C_{1} = 1$, $C_{2} = 0$으로 만들어 줍니다. 물론 다른값으로 해도 상관은 없겠지만 계산의 편의를 위해 $u(t) = t$로 적을 수 있습니다.

 

이를 통해서 $y_{1}(t) = e^{r_{1}t}$, $y_{2}(t) = te^{r_{1}t}$를 얻게 되었습니다. 마지막으로 확인해야 할것은 이 2개의 해가 fundamental set of solution을 이루는 지 확인해야합니다. 이를 위해서는 Wronskian이 0이 되면 안된다는 것을 기억하셔야합니다.

 

$$W = \begin{array} | y_{1}(t) & y_{2}(t) \\ y_{1}^{'}(t) & y_{2}^{'}(t)  \end{array} = y_{1}y_{2}^{'} - y_{1}^{'}y_{2} = e^{2r_{1} t} \neq 0$$

 

따라서 Charateristic Equation 해가 중근이 나오는 경우의 Second Order Linear ODE의 general solution은 $y(t) = C_{1}e^{r_{1}t} + C_{2}te^{r_{1}t}=(C_{1} + C_{2}t)e^{r_{1}t}$입니다.

 

이렇게 Homogeneous한 Second Order Linear ODE의 Charateristic Equation이 각각 실수근, 허수근, 중근이 나오는 경우에 어떤식으로 풀어야하는 지에 대해서 알아보았습니다.

 

다음 포스팅부터는 Nonhomogeneous한 Second Order Linear ODE의 해를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다.