미분방정식[3].Second Order Linear ODE 2

안녕하세요. 지난 미분방정식[2].Second Order Linear ODE(Homogeneous Equations with constant coefficient)(https://everyday-image-processing.tistory.com/24)에 이어서 본격적으로 진행하기 전에 중요한 정리인 principle of superposition에 대해서 설명하고 넘어가겠습니다.

 

principle of superposition은 지난 시간에 언급만 하고 넘어갔습니다. 오늘은 정리를 소개하도록 하겠습니다.

 

$p(t)$, $q(t)$를 구간 $I=(\alpha, \beta)$에서 연속인 함수라고 하고 differential 연산자 $L[\phi]=\phi^{''}+p\phi^{'}+g\phi$로 정의하겠습니다. 따라서 지난 시간의 Second Order Linear ODE는 $L[y]=0-(1)$으로 쓸 수 있습니다.

 

Theorem. Principle of Superposition
If $y_{1}$, $y_{2}$ are solutions of $(1)$, then linear combination $C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}$ is also a solution of $(1)$

지난 시간에 언급했던 것과 같이 Charateristic Equation을 통해 얻은 두개의 해의 linear combination 역시 미분방정식의 해가 될 수 있는 것을 의미합니다.

 

원래 증명을 통해서 Wronskian라는 중요한 행렬을 얻을 수 있습니다. $W=\begin{array} | y_{1}(t_{0}) & y_{2}(t_{0}) \\ y_{1}(t_{0}) & y_{2}(t_{0}) \end{array}$임을 꼭 기억해주세요.

 

Theorem
Suppose that $y_{1}$, and $y_{2}$ are solutions of $(1)$, that is, $y_{1}$, $y_{2}$ is fundamental set of solutions.
$y=C_{1}y_{1}(t)+C_{2}y_{2}(t)$ with arbitrary $C_{1}$, and $C_{2}$ includes every solutions of $(1)$ if and only if $W \neq 0$

이 정리 역시 principle of superposition 못지 않게 중요한 정리입니다. 간단하게 설명하게 저희가 Charateristic Equation을 통해 얻은 두개의 해의 linear combination을 하게 되면 과연 그 해가 모든 해를 cover할 수 있는 가? 즉 진짜 general solution으로 쓸 수 있는 지를 의미합니다. 하지만 이를 위해서 는 바로 이전에 설명했던 Wronskian $W$가 0이 되서는 안되는 것입니다.