미분방정식[0].introduction

안녕하세요. 오늘은 드디어 제 전공인 수학과와 관련된 첫 포스팅입니다. 개인적으로 제일 좋아하는 과목인 미분방정식을 진행해보겠습니다. 참고로 미분방정식을 이해하려면 기본적인 미적분학은 알고 계셔야합니다. 그리고 수학 관련 포스팅은 통계와는 다르게 영어를 많이 사용할 예정입니다. 처음 배울 때 원서로 배워서 번역하면 어색한 경우가 많아서요. 미분방정식 포스팅이 끝나면 편미분방정식까지 따로 나눠서 진행해보겠습니다. 혹시 미적분학을 잘 모르신다면 제가 정리하고 있는 미적분학 링크를 참조하시길 바랍니다.

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0. Introduction

현실세계에서는 정말 다양한 현상들이 있습니다. 전자의 진자운동, 용수철의 늘어남, 열 전도 등등... 지금까지 이러한 현실(자연)적인 문제들을 현실에서의 해답으로 찾기 위한 과정은 오래되었지만 그 과정은 쉽지 않았죠. 그래서 수학적 모델링을 통해서 현실(자연)에서의 문제를 수학적 문제로 가져오는 것이 가능해졌고 이 수학적 문제를 수학적 답으로 이끌어 내는 데 성공하게 됩니다. 

여기서 수학적 문제는 미분방정식이고 수학적 답은 시간을 변수로 하는 함수라고 할 수 있습니다. 하지만 이러한 수학적 모델링을 통해서 미분방정식의 형태로 만들어도 여전히 풀리지 않는 많은 문제들이 있습니다. 이제부터 이러한 자연현상을 기술하는 미분방정식에 대해서 알아보겠습니다.

 

1. 자연 현상에서의 미분방정식의 수학적 모델링

1.1. 자유낙하

질량이 $m$인 물체를 자유낙하 시켰을 때, $v$의 속도로 낙하되었다고 하자. $t$초 지점에서의 속도는 얼마인가?

고등학교 이과의 물리를 배우셨다면 쉽게 아실 수 있을 것입니다.(저 때는 문이과가 달라서...) 바로 뉴턴의 방정식에 의해서 $F=ma$임을 알 수 있습니다. 이때 $a$는 물체의 가속도입니다. 즉, 속도의 변화량이므로 $a=\frac{dv}{dt}$이 되는 것이죠. 

$F=m\frac{dv}{dt}$ 로 바꿀 수 있습니다. 또한 중력가속도 $g$(약 9.8의 상수입니다.)를 적용하여 $m\frac{dv}{dt}=mg$가 됩니다. 하지만!! 물체는 떨어지면서 공기와의 마찰로 인한 속도 감소의 영향을 받습니다. 따라서 공기와의 마찰력을 $p$라고 했을 때 $m\frac{dv}{dt}=mg-\frac{pv}{m}$이 됩니다. 

 

좀 더 구체적인 예시로 $m=10kg$, $p=2kg/sec$로 고정하면 $\frac{dv}{dt}=9.8-\frac{v}{5}$입니다. 

 

이때 $v$를 각각 40, 50으로 했을 때 $\frac{dv}{dt}$의 값은 각각 1.8, -0.2가 나오는 것을 볼 수 있습니다. 이를 해석하면 $v=40$인 지점에서는 $v(t)$가 항상 1.8의 기울기를 유지하고 $v=50$인 지점에서는 $v(t)$가 항상 -0.2의 기울기를 가지는 것입니다. 그렇다면 어떤 $v$의 값이 $\frac{dv}{dt}=0$으로 만들어주는 것일 까요? 이를 계산해보면 $v=49$임을 알 수 있습니다. 이러한 값을 equilibrium solution이라고 합니다.

 

1.2. 들쥐-부엉이 문제(피식-포식 문제)

이번에는 들쥐-부엉이 문제로 자연에서 피식개체와 포식개체간의 개체 수를 예측할 수 있습니다.

먼저, 잘 알려진 개체수 미분방정식은 $\frac{dP}{dt}=rP(t)$입니다. 

이 방정식의 형태를 보면 함수 $P$를 미분했는데 다시 함수 $P$가 나왔습니다. 이러한 규칙성을 보아 함수 $P$는 자연상수를 밑으로 가지는 지수함수임을 추론해볼 수 있습니다. 따라서 $P(t)=e^{t}$입니다.

 

이때 $r$은 개체의 증가율로 초기조건입니다. $r$의 초기조건을 0.5 $number/month$이고 부엉이가 매달 450마리의 들쥐를 잡아먹는다고 가정하면 들쥐의 개체수는 $\frac{dP}{dt}=rP(t)-450 \rightarrow P(t)=Ce^{rt}$가 됩니다. 이 식은 $C$, $r$이 아직 정해지지 않아 general solution이라고 합니다. 아까 말했던 초기조건인 $r=0.5$을 적용하면 $P(t)=10e^{0.5t}$으로 particular solution이라고 합니다.

 

이제 equilibrium solution을 구해보면 900인 지점에서 0이 됨을 알 수 있습니다.

 

2. 미분방정식의 간단한 풀이법

바로 이전 예제를 보겠습니다. $\frac{dP}{dt}=0.5P(t)-450$의 미분방정식의 해를 구하는 경우 2가지 해법을 적용해볼수있습니다. 천천히 살펴보겠습니다.

 

2.1. Chain rule 적용

$$\frac{1}{P-900}\frac{dP}{dt}=0.5$$

$$\Rightarrow \frac{d}{dt}(ln(P-900))=0.5$$

$$\Rightarrow \int \frac{d}{dt}(ln(P-900)) \; dt = \int 0.5 \; dt$$

$$\Rightarrow ln|P-900|=0.5t + C_{1}$$

$$\Rightarrow P(t)=Ce^{0.5t}+900$$

 

2.2 변수분리법 적용

$$\frac{1}{P-900}dP=0.5dt$$

$$\Rightarrow \int (\frac{1}{P-900}) \; dt = \int 0.5 \; dt$$

$$\Rightarrow ln|P-900|=0.5t + C$$

$$\Rightarrow P(t)=Ce^{0.5t} + 900$$

 

1번과 2번의 결과를 보면 결국 같은 해로 귀결된다는 것을 볼 수 있습니다. 이때 초기조건으로 $P(0)=850$이라면 $C=-50$으로 $P(t)=-50e^{0.5t}+900$가 particular solution이 됩니다.

 

3. 미분방정식 용어

- 상미분방정식(Ordinary Differential Equation) : 독립변수 하나를 가지는 함수를 해로 가지는 미분방정식

- 편미분방정식(Partial Differentail Equation) : 독립변수 2개 이상을 가지는 함수를 해로 가지는 미분방정식

 

- 미분방정식의 system : 2개 이상의 미분방정식을 갖는 경우를 의미합니다.

 

- 미분방정식의 order : $F[t, y(t), y^{'}(t), ..., y^{n}(t)]=0$일 때 $n\ th\ order$ ODE라고 합니다.

 

- 미분방정식의 linear : 주어지는 미분방정식이 선형함수로 이루어진 경우 선형 미분방정식이라고 합니다.

 

(2020.11.23) 미적분학 링크 추가