미분방정식[2].Second Order Linear ODE 1

안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 미분방정식[1].First Order ODE(https://everyday-image-processing.tistory.com/20?category=890362)에 이어서 Second Order Linear ODE를 Characteristic Equation을 통해 푸는 방법을 알아보도록 하겠습니다.

 

이번 포스팅부터는 당분간 Linear ODE의 해를 구하는 방법에 대해서 설명할 예정입니다. Nonlinear의 경우 해를 구하는 방법이 한정적이고 수치적으로 구해야하는 방법이 대부분이기 때문이죠.

 

먼저 일반적인 Second Order Linear ODE부터 확인해봅시다. 두가지 방식으로 쓸 수 있습니다.

 

1). $y^{''}+p(t)y^{'}+q(t)y=g(t)-(1)$

2). $P(t)y^{''}+Q(t)y^{'}+R(t)y=G(t), where P(t) \neq 0-(2)$

 

사실 1번식와 2번식은 같습니다. 2번식에서 양변에 $P(t)$를 나누어주면 1번식의 형태로 나오기 때문이죠. 만약 앞으로 주어진 방정식이 1번이나 2번의 형태가 아니면 항상 nonlinear이니 주의해주시길 바랍니다. First Order ODE의 initial problem을 풀 때 기억나시겠지만 initial condition이 1개만 필요했습니다. 하지만 Second Order에서는 2개의 initial condition $y(t_{0})=y_{0}$, $y^{'}(t_{0})=y^{'}_{0}$가 필요합니다.

 

위의 $(1)$에서 $g(t)=0$이고, $(2)$에서 $G(t)=0$이면 Second Order Linear ODE를 homogeneous라고 합니다. 특히 이번 장에서는 $P(t)$, $Q(t)$, $R(t)$가 모두 constant인 경우에만 다루오록 하겠습니다. 즉, $ay^{''}+by^{'}+cy=0-(3)$을 집중적으로 다룹니다.

 

여기서 $y=e^{rt}$라는 가정을 하도록 하겠습니다. 따라서 $y^{'}=re^{rt}$, $y^{''}=r^{2}e^{rt}$입니다. 이를 $(3)$에 대입하여 정리하면 $(ar^{2}+br+c)e^{rt}=0$을 얻게 됩니다. 여기서 $e^{rt} \neq 0$이기 때문에 저희는 이차 대수방정식 $ar^{2}+br+c=0-(4)$을 얻게 됩니다. 이를 $(3)$의 Charateristic Equation이라고 합니다.

 

만약 운이 좋아서 위의 Charateristic Equation이 서로 다른 해 2개를 가진다면 Second Order Linear ODE 역시 2개의 형태인 $y_{1}(t)=e^{r_{1}t}$, $y_{2}(t)=e^{r_{2}t}$로 나오게 됩니다. 다음 포스팅에서 나올 Principle of Superposition에 의해서 두 해의 linear combination도 동일한 Second Order Linear ODE의 해가 됩니다. 즉, general solution은 $y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}$가 됩니다.

 

이제 general solution을 찾았습니다. 그렇다면 initial condition으로 $y(t_{0})=y_{0}$, $y^{'}(t_{0})=y^{'}_{0}$이 주어졌을 때 particular solution을 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 

initial condition을 이전에 구한 general solution에 먼저 대입합니다.

$$C_{1}y_{1}(t_{0})+C_{2}y_{2}(t_{0})=y_{0} \rightarrow C_{1}e^{r_{1}t_{0}}+C_{2}e^{r_{2}t_{0}}=y_{0}$$

$$C_{1}y^{'}_{1}(t_{0})+C_{2}y^{'}_{2}(t_{0})=y_{0} \rightarrow C_{1}r_{1}e^{r_{1}t_{0}}+C_{2}r_{2}e^{r_{2}t_{0}}=y^{'}_{0}$$

위의 식을 정리하면 

$$C_{1}=\frac{y^{'}_{0}-y_{0}r_{2}}{r_{1}-r_{2}}e^{-r_{1}t_{0}}$$

$$C_{2}=\frac{y^{'}_{0}r_{1}-y^{'}_{0}}{r_{1}-r_{2}}e^{-r_{2}t_{0}}$$

를 얻게 되어 particular solution을 구할 수 있습니다.