미분방정식[4].Second Order Linear ODE 3

안녕하세요. 오늘은 지난 포스팅의 미분방정식[3].Second Order Linear ODE(Solutions of Linear Homogeneous Equations)(https://everyday-image-processing.tistory.com/26)의 Principle of Superposition에 이어서 Charateristic Equation의 해가 Complex roots가 나오는 경우에 해를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

 

Second Order Linear ODE의 첫번째 포스팅에서 $ay^{''} + by^{'} + cy = 0$에서 $y(t) = e^{rt}$라고 가정하면 Charateristic Equation이 $ar^{2} + br + c = 0$이라고 하였습니다. 그럼 Charateristic Equation의 해인 $r_{1}$, $r_{2}$에 의해서 Fundamental set of solution $\{y_{1}, y_{2}\}=\{e^{r_{1}t}, e^{r_{2}t}\}$를 얻을 수 있습니다. 여기에 지난 시간의 Principle of Superposition에 의해 general solution이 $y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} = C_{1}e^{r_{1}t} + C_{2}e^{r_{2}t}$를 얻을 수 있습니다. 단 여기서 조건은 이전 시간에 언급했던 Wronskian $W \neq 0$이여야 한다고 하였습니다. 

 

만약 Characteristic Equation의 해가 서로 다른 실수라면 쉽게 구할 수 있습니다. 그럼 Charateristic Equation의 해가 Complex root가 되면 어떻게 구할까요? $r_{1} = \gamma + i\mu$, $r_{2} = \gamma - i\mu$라고 가정하겠습니다. 그러면 $y_{1}(t) = e^{(\gamma + i\mu)t} - (1)$, $y_{2}(t) = e^{(\gamma - i\mu)t} - (2)$가 됩니다. 

 

$(1)$, $(2)$에 Euler Formula($e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$)를 적용할 수 있습니다. 

 

$$(1) \Rightarrow y_{1}(t) = e^{\gamma t} \cdot e^{i\mu t} = e^{\gamma t}(\cos{\mu t} + i\sin{\mu t})$$

$$(2) \Rightarrow y_{2}(t) = e^{\gamma t} \cdot e^{-i\mu t} = e^{\gamma t}(\cos{\mu t} - i\sin{\mu t})$$

 

하지만 이렇게 쓰고 끝내면 실수 평면에 해의 그래프를 그릴수가 없습니다. 왜냐하면 허수 $i$를 가지고 있기 때문이지요. 따라서 저희는 이를 실수의 값을 가지는 함수(real-valued function)으로 바꾸기를 원합니다. 방법은 간단한 대수를 사용합니다.

 

$$y_{1} + y_{2} = 2e^{\gamma t}\cos{\mu t} = 2u(t)$$

$$y_{1} - y_{2} = 2ie^{\gamma t}\sin{\mu t} = 2iv(t)$$

 

Principle of Superposition에 의해서 $u(t)$, $v(t)$ 역시 미분방정식의 해임을 알 수 있습니다. 이제 Wronskian을 계산하여 0이 아님을 보여야합니다.

 

$$W = \begin{array} | u(t) & v(t) \\ u^{'}(t) & v^{'}(t)  \end{array} = uv^{'} - u^{'}v = e^{2\gamma t} \cdot u \neq 0$$

 

이므로 $u(t)$, $v(t)$는 fundamental set of solution을 구성합니다. 따라서 Principle of Superposition에 의해서

 

$$y(t) = C_{1}e^{\gamma t}\cos{\mu t} + C_{2}e^{\gamma t}\sin{\mu t}$$

 

가 Second Order Linear ODE의 General Solution이 됩니다.

 

예제1. Solve $y^{''} + y^{'} + y = 0$

 

먼저 Charateristic Equation의 solution부터 구해야합니다. 주어진 방정식의 Charateristic Equation은 $y(t) = e^{\gamma t}$라고 했을 때 $r^{2} + r + 1 = 0$임을 쉽게 알 수 있습니다. 근의 방정식을 통해 Charateristic Equation의 해를 구하면 $r_{1} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $r_{2} = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$가 됩니다. 따라서 general solution $y(t) = C_{1}e^{-\frac{1}{2} t}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2} t} + C_{2}e^{-\frac{1}{2} t}\sin{\frac{\sqrt{3}}{2} t}$가 됩니다.