미분방정식[1]. First Order Differential Equation

안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 미분방정식[0].introduction(https://everyday-image-processing.tistory.com/17)에 이어서 First Order Differential Equation을 푸는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

 

1. Method of Integrating factor

일단 이 방법은 linear equation일 때만 가능하니 참고하시길 바랍니다.

 

가장 general한 linear equation은 \begin{equation} \frac{dy}{dt}+p(t) \cdot y(t)=g(t) \end{equation}입니다. Intergrating factor method를 적용하는 방법은 간단합니다. 양변에 Intergrating factor라고 불리는 $u(t)$를 곱하는 것에서 시작합니다.

$$u(t) \cdot \frac{dy}{dy} + u(t) \cdot p(t) \cdot y(t) = u(t) \cdot g(t)$$

이 방법의 아이디어는 $\frac{d}{dy}[y(t) \cdot u(t)]=\frac{dy}{dt} \cdot u(t) + \frac{du}{dt} \ cdot y(t)$, 즉 곱의 미분을 이용하는 것입니다.  이를 위해서 $\frac{du}{dt}=u(t) \cdot p(t)$라고 할 수 있습니다. 이를 정리하면

$$\frac{1}{u(t)}\frac{du}{dt}=p(t)$$

$$\Rightarrow \int \frac{1}{u(t)}\frac{du}{dt} \; dt = \int p(t) \; dt$$

$$\Rightarrow \int \frac{1}{u(t)} \; du = \int p(t) \; dt$$

$$\Rightarrow ln \left| u(t) \right| = \int p(t) \; dt + C$$

$$\Rightarrow u(t) = Cexp(\int p(t) \; dt)$$

가 됩니다. 이때 3번째 식에서 4번째 식은 자연로그의 적분 관계를 활용하였고, 4번째 식의 $C$는 적분 상수입니다.

 

아직 끝나지 않았습니다. 저희가 구하고자 하는 식은 $y(t)$이기 때문이죠! 따라서 방금 전에 구한 $u(t)$를 대입하여 정리해야합니다. $u(t)$는 $u(t)$를 곱한 식이 곱의 미분이 성립한 것을 가정하고 진행했음을 기억하시길 바랍니다.

$$u(t) \cdot \frac{dy}{dt} + y(t) \cdot \frac{du}{dt} = \frac{d}{dt} [y(t) \cdot u(t)] = g(t) \cdot u(t)$$

$$\Rightarrow \int \frac{d}{dt} [y(t) \cdot u(t)] \; dt= \int g(t) \cdot u(t) \; dt$$

$$\Rightarrow y(t) \cdot u(t) = \int g(t) \cdot u(t) \; dt + C$$

$$\Rightarrow y(t) = \frac{1}{u(t)}(\int g(t) \cdot u(t) \; dt + C)$$

위의 과정을 통해서 general solution $y(t)$를 구할 수 있습니다. 여기서 initial condition이 주어진다면 particular solution까지 구할 수 있습니다.

 

Ex1. Solve the Differential Equation $\frac{dy}{dt} + y(t) = e^{t}$, and $y(0)=e$

Answer

양변에 $u(t)$를 곱합니다. $\Rightarrow u(t) \cdot \frac{dy}{dt} + u(t) \cdot y(t) = u(t) \cdot e^{t}$가 되겠지요. 이때, $\frac{d}{dt} [u(t) \cdot y(t)]=\frac{dy}{dt} \cdot u(t) + \frac{du}{dt} \cdot y(t)$라고 가정하겠습니다. 그러므로 $\frac{du}{dt} \cdot y(t) = u(t) \cdot y(t) \rightarrow \frac{du}{dt} = u(t) \rightarrow u(t) = C \cdot e^{t}$입니다.

이제 $u(t)$를 대입하여 $y(t)$를 구하면 됩니다.

$$\frac{d}{dt} [y(t) \cdot u(t)] = u(t) \cdot e^{t}$$

$$\Rightarrow \frac{d}{dt} [y(t) \cdot e^{t}] = e^{2t}$$

$$\Rightarrow y(t) \cdot e^{t} = \frac{1}{2} e^{2t} + C$$

$$\Rightarrow y(t) = \frac{1}{2} e^{t} + Ce^{-t} \rightarrow general\ solution$$

이번 예제에서는 초기 조건으로 $y(0)=e$까지 주어졌으므로 적분 상수 $C$를 특정하여 particular solution을 구할 수 있습니다.

$$\Rightarrow y(0)=\frac{1}{2} + C = e \rightarrow C = e - \frac{1}{2}$$

$$\Rightarrow y(t) = \frac{1}{2} e^{t} + (e - \frac{1}{2})e^{-t} \rightarrow particular\ solution$$

2. Seperable Equation

아쉽게도 모든 First Order DE가 Linear가 아니기 때문에 항상 Interating factor를 곱하여 풀 수 없습니다. 이제 다시 한번 general한 First Order DE를 다른식으로 쓰면

$$\frac{dy}{dx}=f(y, x)$$

입니다. 만약, 위 방정식이 어떤 조건을 만족한다면 $N(x, y) \frac{dy}{dx} = M(x, y)$으로 쓸 수도 있을 것입니다.

추가적인 조건으로 만약 $M(x, y)$가 $x$만 가지는 함수이고 $N(x, y)$가 $y$만 가지는 함수라면 

$$N(y)\frac{dy}{dx} = M(x) \rightarrow N(y)dy = M(x)dx$$

으로 마무리 할 수 있습니다. 이런 경우 seperable equation이라고 합니다.

 

그렇다면 위 방정식을 풀 수 있는 방법을 고려해보겠습니다. 양변에 적분을 적용하게 되면 $\int N(y) \; dy = \int M(x) \; dx$입니다. 이게 끝입니다!! 왜냐하면 seperable equation의 경우 integrating factor를 적용하는 결과인 implicit equation이 아니라 explicit equation이 결과로 나오기 때문입니다.

 

Ex2. Solve $\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}}{1-y}$

Answer

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{3}}{1-y} \rightarrow (1-y)dy=x^{3}dx$$

$$\Rightarrow \int (1-y) \; dy = \int x^{3} \; dx$$

$$\Rightarrow y - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} x^{4} + C$$

$$\Rightarrow \frac{1}{4} x^{4} + y - \frac{1}{2} y^{2} = C$$

3. 미분방정식의 성질

Theorem(Existence & Uniqueness)
If $p(t)$, and $g(t)$ are continuous on an $t_{0} \in I=[\alpha, \beta]$, there is a unique function $y=\phi(t)$ such that $y^{'}(t)+p(t)y(t)=g(t)$ for each $t \in I$, and $y(t_{0})=y_{0}$ where $y_{0}$ is a initial condition value

이 정리는 미분방정식 자체의 존재성과 유일성에 대해서 언급하고 있습니다. $t$에 대한 함수인 $p(t)$, $g(t)$가 연속함수라면 $y=\phi(t)$가 유일한 형태인 $y^{'}+p(t)y(t)=g(t)$로 항상 존재한다는 것입니다. 

 

Theorem
Let $f$, $\frac{df}{dy}$ be continuous in a rectangle $\alpha < y < \beta$, and $\gamma < y < \delta$ containing $(t_{0}, y_{0})$. Then, in some interval $(t_{0}-h, t_{0}+h) \subset (\alpha, \beta)$, there is a unique solution $y=\phi(t)$ where $y^{'}(t)=f(t, y)$, and  $y(t_{0})=y_{0}$

이 정리는 해의 유일성과 존재성에 대해서 언급하고 있습니다. $f$와 $\frac{df}{dy}$가 둘 다 적당한 직사각형 영역에서 미분가능하면 $t_{0}$를 중심으로 하는 interval에서 항상 유일한 해가 존재하는 것입니다.

이때 중요한 점은 $f$만 연속한 경우 해가 존재는 하지만 유일하지 않을 수도 있습니다.

 

4. Exact Differential Equations, and intergrating factor

Definition(Exact Differential Equation)
Suppose that there is a function $\psi(x, y)$ such that $\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x, y)$, and $\frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x, y)$
Then, we can express $0=M(x, y) + N(x, y) \cdot y^{'}=\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial \psi}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx} [\psi(x, y)] \Rightarrow \psi(x, y) = C$ is a solution of the given equation.
In that case, $M(x, y) + N(x, y) \cdot y^{'}=0$ is said to be an Exact Differential Equation.

이 정의는 Exact Differetial Equation이 될 수 있는 조건에 대해서 설명하고 있습니다. 시작은 이전 포스팅에서 했던 seperable equation에서 시작합니다. 위 조건을 만족하는 $\psi(x, y)$가 존재한다면 주어진 미분방정식은 explicit equation의 형태로 나오는 것을 볼 수 있습니다.

 

Theorem
Let $M$, $N$, $M_{x}$, and $N_{y}$ be continous in the rectangle region $R : \alpha < x < \beta, \gamma < y < \delta$.
Then, $M(x, y) + N(x, y) \cdot \frac{dy}{dx} = 0$ is exact differential equation if and onlt if $M_{y}=N_{x}$ for each point of $R$. That is, there exists a function $\psi(x, y)$ satisfied $\psi_{x}(x, y)=M(x, y)$, and $\psi_{y}(x, y)=N(x, y)$ if and only if $M_{y}(x, y)=N_{x}(x, y)$

이 정리는 Exact equation이 되기위한 필요 충분 조건에 대해서 설명하고 있습니다. 결국 Exact equation의 정의는 $M_{y}=N_{x}$가 되는 것과 동치임을 알 수 있습니다!! 

 

Ex3. Solve the $2x+y^{2} + 2xyy^{'}=0$

Answer

주어진 방정식이 First order nonlinear ODE임을 먼저 파악합니다. 그 다음에 이전에 배웠던 방식 중 어떤 방식을 적용할 수 있을 지 생각합니다. 일단 기본적으로 nonlinear이기 때문에 linear equation만 적용가능한 intergrating factor method는 사용할 수 없습니다. 그렇다면 seperable equation으로 풀 수 있을 까요? 아쉽게도 $M(x)dx=N(y)dy$의 형태로 바꿀 수도 없습니다. 따라서 이번 문제는 exact equation으로 풀어야함을 알 수 있죠.

방금 설명했던 정리를 떠올려봅시다. 위 방정식이 exact equation이 되기위해서는 $M_{y}=N_{x}$가 되어야합니다. 실제로 $M(x, y)=2x + y^{2}$, $N(x, y)=2xy^{2}$이라고 하면 $M_{y}=2y=N_{x}$가 되므로 주어진 방정식이 exact equation입니다. 

따라서 $\psi(x, y)=x^{2} + xy^{2}$이라고 하면 $\frac{\partial \psi}{\partial x}=2x + y^{2}=M(x, y)$이고 $\frac{\partial \psi}{\partial y}=2xy=N(x, y)$가 됩니다. exact equation의 정의에 의해서 $\psi(x, y)=C$ 자체가 general solution이 됩니다.

하지만 모든 방정식이 exact equation인 것은 아닙니다. 그렇지만 운이 좋은 경우에는 intergrating factor를 곱해서 exact equation가 아닌  exact equation으로 변환할 수도 있습니다. 지금부터는 이러한 경우를 다루도록 하겠습니다.

 

$M(x, y)+N(x, y)\frac{dy}{dx}=0$이고 $M_{y} \neq N_{x}$인 방정식을 고려하겠습니다. 

먼저 양변에 intergrating factor인 $\mu(x, y)$를 곱합니다.

$$\Rightarrow \mu(x, y)M(x, y) + \mu(x, y)N(x, y)\frac{dy}{dx}=0$$

여기서 exact equation이 되기위한 필요충분조건을 떠올립니다.$\rightarrow (\mu M)_{y} = (\mu N)_{x}=M\mu_{y}-N\mu_{x}+\mu(M_{y} - N_{x})=0$

이제 위 조건을 만족하는 intergrating factor $\mu(x, y)$만 구하면 해를 얻을 수 있습니다! 하지만 이 조건을 만족하는 $\mu(x, y)$를 찾는 것은 어려운 일입니다. 따라서 강력한 조건을 한 가지 추가합니다. $\mu(x, y)$가 오직 $x$ 또는 $y$로만 이루어진 단변수 함수라는 조건입니다. 언뜻 보면 말도 안되는 조건이지만 그나마 풀 수 있는 방정식이라도 얻기위해서 이 조건을 추가하는 것입니다. 

 

만약 $\mu$가 $x$로만 이루어진 함수라면 $\mu_{y}=0$이기 때문에 $\mu_{x}=\frac{M_{y}-N_{x}}{N} \cdot \mu$입니다. 여기서 또 한가지 조건을 추가합니다. $\frac{M_{y}-N_{x}}{N}$이 오직 $x$로만 이루어진 함수라고 가정합니다. 이렇게 2가지 조건을 추가하면 $\mu$에 대한 미분방정식이 seperable합니다. 따라서 $p(x)=\frac{M_{y}-N_{x}}{N}$이라고 할 때 $\mu(x) = exp(\int p(x) \; dx)$를 통해 구할 수 있습니다. 

 

이제 처음 방정식을 exact로 만드는 $\mu$까지 유도했으니 남은 것은 exact equation을 푸는 방식과 동일하게 진행하면 됩니다.

 

물론 $\mu$가 $y$로만 이루어진 함수라고 가정할 수도 있습니다. 이 경우 $q(y)=\frac{N_{x}-M_{y}}{M}$이라고 할 때 $\mu(y)=exp(\int q(y) \; dy)$가 됩니다.