미분방정식[7].Second Order Linear ODE 6

안녕하세요. 오늘은 지난 포스팅의 미분방정식[6].Second Order Linear ODE 5 - Nonhomogeneous Equations(https://everyday-image-processing.tistory.com/34)의 Method of undetermined coefficient에 이어서 Nonhomogeneous Equation을 푸는 다른 방법인 Variation Parameter를 알아보도록 하겠습니다. 

 

지난 시간과 동일하게 먼저 Nonhomogeneous Second Order Linear ODE 식을 작성하고 시작하도록 하겠습니다.

 

$$y^{''} + p(t) \cdot y^{'} + q(t) \cdot y = g(t)\ -\ (1)$$

 

이때, $y_{c}(t) = C_{1}y_{1}(t) + C_{2}y_{2}(t)$를 $(1)$의 Homogeneous형태인 $y^{''} + p(t) \cdot y^{'} + q(t) \cdot y = 0\ -\ (2)$의 general equation이라고 가정하겠습니다. 지난 시간의 Method of undetermined coefficient를 통해 $(1)$의 general solution을 구하기 위해서 $(2)$의 general solution에 $g(t)$의 조건에 맞는 적당한 $Y(t)$를 더해주는 것을 보셨습니다. 즉 $Y(t)$를 구해야하는 건데 이번에도 동일하게 $Y(t)$를 구합니다. 다만 다른 점은 $Y(t) = u(t) \cdot y_{1}(t) + v(t) \cdot y_{2}(t)$라고 두고 시작합니다. 그러면

 

$$Y^{'}(t) = u^{'} \cdot y_{1}(t) + u(t) \cdot y_{1}^{'}(t) + v^{'} \cdot y_{2}(t) + v{t} \cdot y_{2}^{'}(t)$$

 

를 얻을 수 있습니다. 

 

여기서 $u^{'}(t) \cdot y_{1}(t) + v^{'}(t) \cdot y_{2}(t) = 0\ -\ (3)$이라고 가정하겠습니다. 그러면 $Y^{'}(t) = u(t) \cdot y_{1}^{'}(t) + v(t) \cdot y_{2}^{'}(t)$로 간단해집니다. 여기에서 $Y^{'}(t)$를 $t$에 대해서 한번 더 미분하면

 

$$Y^{''}(t) = u^{'}(t) \cdot y_{1}^{'}(t) + u(t) \cdot y_{1}^{''}(t) + v^{'}(t) \cdot y_{2}^{'}(t) + v(t) \cdot y_{2}^{''}(t)$$

 

를 얻을 수 있습니다. 이제 $Y(t)$, $Y^{'}(t)$, $Y^{''}(t)$를 식 $(1)$에 대입합니다.

 

대입 한 뒤에 $y_{1}(t)$와 $y_{2}(t)$ 역시 $(1)$의 해임을 이용하면 아래와 같이 정리 할 수 있습니다.

 

$$u^{'}(t) \cdot y_{1}^{'}(t) + v^{'}(t) \cdot y_{2}^{'}(t) = g(t)\ -\ (4)$$

 

입니다. 

 

방금전에 가정한 식 $(3)$과 가정한 뒤 얻은 $(4)$를 연립 미분방정식이라고 둠으로서 $u^{'}(t)$와 $v^{'}(t)$를 계산할 수 있습니다. 계산하면 아래와 같습니다.

 

$$u^{'}(t) = -\frac{y_{2}(t) \cdot g(t)}{W(y_{1}, y_{2})(t)}$$

$$v^{'}(t) = \frac{y_{1}(t) \cdot g(t)}{W(y_{1}, y_{2})(t)}$$

 

따라서 $Y(t) = (-\int \frac{y_{2} \cdot g(t)}{W(y_{1}, y_{2})(t)} \; dt) \cdot y_{1}(t) + (\int \frac{y_{1} \cdot g(t)}{W(y_{1}, y_{2})(t)}) \; dt) \cdot y_{2}(t)$

 

그러므로 $(1)$의 general solution은 아래와 같습니다.

 

$$y(t) = C_{1}y_{1}(t) + C_{2}y_{2}(t) + (-\int \frac{y_{2} \cdot g(t)}{W(y_{1}, y_{2})(t)} \; dt) \cdot y_{1}(t) + (\int \frac{y_{1} \cdot g(t)}{W(y_{1}, y_{2})(t)}) \; dt) \cdot y_{2}(t)$$

 

간단한 예제를 확인해보도록 하겠습니다.

 

예제1. Solve $y^{''} + 9y = 3\tan{3t}$

 

가장 먼저 해야할 일은 주어진 방정식의 Homogeneous한 경우의 ODE의 general solution부터 구해야합니다. 그러기 위해서는 Characteristic Equation인 $r^{2} + 9r = 0$의 해를 구해야겠죠? $r = 3i$로 복소수가 나오는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $y_{1} = \cos{3t}$, $y_{2} = \sin{3t}$를 얻을 수 있습니다. 

 

다음으로 2개의 해가 fundamental set of solution을 만족하는 지 확인해야 합니다. 확인하는 방법은 Wronskian이 0이 안됨을 확인하면 됩니다.

 

$$W=\begin{array} | y_{1}(t_{0}) & y_{2}(t_{0}) \\ y_{1}(t_{0}) & y_{2}(t_{0}) \end{array} = 3\cos^{2}{3t} + 3\sin^{2}{3t} = 3$$

 

즉, Wronskian이 0이 아니므로 $y_{1}$과 $y_{2}$는 fundamental set of solution을 이루고 있습니다. 

 

이제 마지막으로 Nonhomogeneous의 paricular solution을 구해야합니다. 위의 공식에 대입하여 확인해보도록 하겠습니다.

 

$$Y(t) = -\cos{3t}(\int \frac{r\sin{3t}\tan{3t}}{3} \; dt) + \sin{3t}(\int \frac{3\cos{3t}\tan{3t}}{3})$$

$$\Rightarrow -\cos{3t}(\int \frac{\sin^{2}(3t)}{\cos{3t}} \; dt) + \sin{3t}(\int \sin{3t}) \; dt$$

$$\Rightarrow -\cos{3t}(\int \frac{1 - \cos^{2}(3t)}{\cos{3t}} \; dt) + \sin{3t}(\int \sin{3t} \; dt)$$

$$\Rightarrow -\cos{3t}(\int \sec{3t} - \cos{3t} \; dt) + \sin{3t}(\int \sin{3t} \; dt)$$

$$\Rightarrow -\frac{\cos{3t}}{3}(\ln({\sec{3t} + \tan{3t}}) - \sin{3t}) + \frac{\sin{3t}}{3}(-\cos{3t})$$

$$\Rightarrow -\frac{\cos{3t}}{3} \ln({\sec{3t} + \tan{3t}})$$

 

따라서 최종적으로 주어진 ODE의 general solution은 아래와 같습니다.

 

$$y(t) = C_{1}\cos{3t} + C_{2}\sin{3t} - \frac{cos{3t}}{3} \ln({\sec{3t} + \tan{3t}})$$