미분방정식[14].2계 선형 미분방정식의 급수해 3

안녕하세요. 그간 학교 생활에 치여서 굉장히 오랜만에 올립니다. 지난 시간에는 2계 선형 미분방정식의 급수해 2에서 2계 선형 미분방정식을 푸는 아이디어를 알아보고 실제로 문제를 풀어보기도 하였습니다. 오늘은 지난 시간과 달리 간단한 이론적인 배경을 알아보도록 하겠습니다.

 

먼저 일반적인 제차 2계 선형 미분방정식의 식을 보도록 하겠습니다.

 

$$P(x)y^{''} + Q(x)y^{'} + R(x)y = 0\ (1)$$

 

지난 시간의 본 식과 동일합니다. 먼저 $x_{0}$를 정상점(ordinary point)이라고 가정하겠습니다. 참고로 정상점은 $P(x)$를 0으로 만들지 않는 값을 의미합니다. 만약 $P(x)$가 $x_{0}$에서 0이 된다면 특이점(singular point)라고 하였습니다. 이는 지난 포스팅에 정의를 언급했으니 참고해주시길 바랍니다.

 

또한 $y(x) = \phi(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n}\ (2)$가 수렴 반경(radius of convergence) $|x-x_{0}| < \rho$에서 $(1)$의 해라고 가정합시다. 그러면 $\phi(x)$의 시그마를 풀어서 작성할 수 있습니다.

 

$$\phi(x) = a_{0} + a_{1}(x-x_{0}) + \dots + a_{n}(x-x_{0})^{n} + \dots$$

 

이때 $\phi(x_{0}) = a_{0}, \phi^{'}(x_{0})=a_{1}, \phi^{''}(x)=2a_{2}, \dots, \phi^{(m)}(x)=m!a_{m}\ (3)$임은 미분을 통해서 쉽게 알 수 있으니 직접 해보시길 권장해드립니다.(계산 연습도 할겸) 여기서 만약 $x_{0}$에서 $p(x), q(x)$의 값이 전부 존재하면 $a_{n}$을 모든 자연수 $n$에 대해서 구할 수 있습니다. 이를 간단하게 보여드리도록 하겠습니다.

 

먼저 초기조건 $y(x_{0})=y_{0}, y^{'}(x_{0})=y^{'}_{0}$이 주어진다면 $a_{0}=\phi(x_{0})=y_{0}, a_{1}=\phi^{'}(x_{0})=y^{'}_{0}$인 것 역시 알 수 있습니다.

 

이제 주어진 식 $(1)$을 $\phi$로 표현해줍니다. 그러면 $y^{''}=-\frac{Q(x)}{P(x)}y^{'} - \frac{R(x)}{P(x)}y \rightarrow phi^{''}(x)=-p(x)\phi^{'}(x) - q(x)\phi(x)$입니다. 여기서 $p(x)=\frac{Q(x)}{P(x)}, q(x)=\frac{R(x)}{P(x)}$임에 주의해주세요. 여기서 초기조건을 대입해서 식을 보면 $\phi^{''}(x_{0})=-p(x_{0})\phi^{'}(x_{0}) - q(x_{0})\phi(x_{0})$이고 이는 식 $(3)$을 이용해서 변형하면 $2!a_{2} = -p(x_{0})a_{1} - q(x_{0})a_{0}\ (4)$임을 알 수 있습니다.

 

이제 식 $(4)$를 해석해보겠습니다. 만약 $P(x_{0})$가 존재만 한다면 $a_{2}$를 구할 수 있음을 보여주고 있습니다. 즉 비슷하게 $a_{3}, a_{4}, \dots$ 역시 만약 $P(x_{0})$가 존재만 한다면 전부 구할 수 있음을 알 수 있습니다.

 

즉, 이번 포스팅의 결론은 $x_{0}$가 정상점이기만 한다면 $a_{n}$을 전부 구할 수 있으니 정상점인 것만 알 수 있다면 쉽게 식을 구할 수 있다라는 것입니다.(계산 과정은 아쉽게도 쉽지 않지만....)