미분방정식[15].2계 선형 미분방정식의 급수해 4

안녕하세요. 지난 포스팅의 미분방정식[14].2계 선형 미분방정식의 급수해 3에서 정상점(ordinary point)에 대해서는 모든 $a_{n}$에 대해서 값을 구할 수 있음을 보았습니다. 오늘은 특이점(singular point) 중에서도 더 강한 조건에 대한 특이점인 정칙 특이점(regular singular point)의 정의에 대해서 알아보겠습니다.

 

먼저 정칙 특이점(regular singular point)의 정의부터 확인해보겠습니다. 

 

• $P, Q, R$이 다항식(polynomial)일 때 점 $x_{0}$에서 $\lim_{x \to x_{0}} (x-x_{0})\frac{Q(x)}{P(x)}$와 $\lim_{x \to x_{0}} (x-x_{0})^{2}\frac{R(x)}{P(x)}$가 유한(finite)하면 점 $x_{0}$를 정칙 특이점(regular singular point)이라고 한다.

사실 정칙 특이점의 중요한 성질 중 하나는 그 점에서 해석적(analytic)이라는 점입니다. 즉, $(x-x_{0})\frac{Q(x)}{P(x)}$, $(x-x_{0})^{2}\frac{R(x)}{P(x)}$가 $x=x_{0}$에서 급수형태로 표현될 수 있습니다.

 

그 다음으로 비정칙 특이점(irregular singular point)를 정의 할 수 있습니다.

 

• 점 $x_{0}$가 특이점이지만 정칙 특이점이 아니라면 점 $x_{0}$은 비정칙 특이점이다.

한번 예제를 통해서 점을 정칙/비정칙 특이점으로 나누어보도록 하겠습니다.

 

예제1. 르장드르 방정식(Legendra Equation) $(1-x^{2})y^{''} - 2xy^{'} + \alpha(1-\alpha)y = 0$

르장드르 방정식에 대한 정확한 내용은 아래의 위키피디아를 참고해주세요.

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A5%B4%EC%9E%A5%EB%93%9C%EB%A5%B4_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D

르장드르 다항식 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

먼저, 르장드르 방정식의 특이점부터 찾습니다. 특이점에 정의에 의해서 $1-x^{2} = 0$을 만족하는 점 $x$가 특이점이 되겠습니다. 따라서 $x=1, -1$이 르장드르 방정식의 특이점입니다.

 

그 다음으로 각 특이점이 정칙 특이점의 정의를 사용하여 정칙 특이점인지 확인합니다. 

 

$$\lim_{x \to 1} (x-1)\frac{-2x}{1-x^{2}} = \lim_{x \to 1} \frac{-2x}{1+x} = -1$$

$$\lim_{x \to 1} (x-1)^{2}\frac{\alpha(1-\alpha)}{1-x^{2}} = \lim_{x \to 1} \frac{\alpha(1-\alpha)}{1+x} = \frac{\alpha(1-\alpha)}{2}$$

 

따라서 각 극한이 유한하기 때문에 $x=1$은 정칙 특이점임을 알 수 있습니다. 다음으로 $x=-1$을 확인합니다.

 

$$\lim_{x \to -1} (x+1)\frac{-2x}{1-x^{2}} = \lim_{x \to -1} \frac{-2x}{1-x} = 1$$

$$\lim_{x \to -1} (x+1)^{2}\frac{\alpha(1-\alpha)}{1-x^{2}} = \lim_{x \to -1} \frac{\alpha(1-\alpha)}{1-x} = \frac{\alpha(1-\alpha)}{2}$$

 

이번에도 각 극한이 유한하기 때문에 $x=-1$은 정칙 특이점임을 알 수 있습니다.

 

예제2. $2x(x-2)^{2}y^{''} + 3xy^{'} + (x-2)y=0$

먼저, 주어진 미분방정식의 특이점은 특이점의 정의에 의해서 $2x(x-2)^{2} = 0$을 만족하는 점 $x$가 특이점이 되겠습니다. 따라서 $x=0, 2$이 주어진 미분방정식의 특이점입니다.

 

그 다음으로 각 특이점이 정칙 특이점의 정의를 사용하여 정칙 특이점인지 확인합니다.

 

$$\lim_{x \to 0} (x-0)\frac{3x}{2x(x-2)^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2(x-2)^{2}} = 0$$

$$\lim_{x \to 0} (x-0)^{2}\frac{(x-2)}{2x(x-2)^{2}} = \lim_{x \to 0} x\frac{1}{2(x-2)} = 0$$

 

따라서 각 극한이 유한하기 때문에 $x=0$은 정칙 특이점임을 알 수 있습니다. 다음으로 $x=2$을 확인합니다.

 

$$\lim_{x \to 2} (x-2)\frac{3x}{2x(x-2)^{2}} = \lim_{x \to 2} \frac{3x}{2x(x-2)} = \infty$$

 

이번에는 $x=2$에서 극한이 유한하지 않기 때문에 비정칙 특이점임을 알 수 있습니다.

 

그렇다면 왜 특이점을 나누는 걸까요? 그 이유는 다음 포스팅에서 확인할 수 있지만 특이점 중에서도 정칙 특이점에서만 주어진 미분방정식을 해결할 수 있기 때문이죠. 다음 포스팅에서는 그 대표적인 예시인 오일러 방정식에 대해서 알아보도록 하겠습니다.