미분방정식[17].2계 선형 미분방정식의 급수해 6

안녕하세요. 지난 포스팅의 미분방정식[16].2계 선형 미분방정식의 급수해 5에서 오일러 방정식의 일반해를 경우에 따라 조사해보았습니다. 그런데 지난 포스팅을 보신 분들이라면 조금 의아하실텐데요. 제가 급수해를 구하는 부분에서 그냥 이전에 배웠던 특성방정식 기법을 도입해서 일반해를 구했습니다. 그 이유가 오늘 포스팅할 내용인데요. 오일러 방정식의 일반해를 구했던 아이디어를 기반으로 정칙 특이점 주변의 해를 구할 수 있기 때문입니다. 

 

먼저 $P(x)y^{''}+Q(x)y^{'}+R(x)y=0\ (1)$을 생각해보겠습니다. 문제를 간단하게 만들기위해서 $x_{0}=0$이 정칙 특이점이라고 가정하겠습니다. 그러므로 $x\frac{Q(x)}{P(x)}=xp(x)$, $x^{2}\frac{R(x)}{P(x)}=x^{2}q(x)$은 정칙 특이점 $x=0$에서 해석적입니다. 즉, 급수형태로 표현할 수 있다는 것이죠! 그러므로 위의 두개의 식은 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

$$xp(x)=\sum_{n=0}^{\infty} p_{n}x^{n}$$

$$x^{2}q(x)=\sum_{n=0}^{\infty} q_{n}x^{n}$$

 

물론 위 식은 수렴 반경 $|x| < \rho$에서만 성립합니다.

 

그 다음으로 $(1)$에 $x^{2}$을 곱하면

 

$$P(x)x^{2}y^{''} + Q(x)x^{2}y^{'} + R(x)x^{2}y = 0$$

$$\Rightarrow x^{2}y^{''} + x(xp(x))y^{'} + (x^{2}q(x))y = 0$$

$$\Rightarrow x^{2}y^{''} + x(p_{0} + p_{1}x + \dots)y^{'} + (q_{0} + q_{1}x + \dots)y = 0\ (2)$$

 

식 $(2)$에서 만약 $p_{0}, q_{0}$을 제외한 모든 $n$에 대해서 $p_{n}, q_{n}$이 0이라면 $x^{2}y^{''} + p_{0}xy^{'} + q(x)y = 0$이므로 오일러 방정식이 되는 것을 알 수 있습니다. 따라서 오일러 방정식의 해를 구하기 위해서 $y(x)=x^{r}$이라고 가정했던 것처럼 이번에도 $y(x)$를 미리 어떤 함수로 가정하고 싶습니다. 이 경우에는 $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+r}, a_{0} \neq 0$이라고 가정합니다.

 

정리하면 정칙 특이점을 가지는 미분방정식에서는 $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+r}, a_{0} \neq 0$라고 가정하고 $a_{n}$을 구하는 것이 최종 목표가 될 것입니다!!!