미분방정식[21].라플라스 변환 4

안녕하세요. 지난 포스팅에는 미분방정식[20].라플라스 변환 3에서 $g(t)$가 계단 함수의 꼴을 가지는 경우에 라플라스 변환을 어떻게 해야하는 지에 대해서 알아보았습니다. 오늘도 비슷하게 계단함수의 꼴을 가지지만 더 특이한 함수인 충격 함수(Impulse function)에 대한 라플라스 변환을 하는 법을 알아보도록 하겠습니다.

 

먼저 일반적인 비제차 2계 선형 미분방정식 꼴을 보도록 하겠습니다. 

 

$$ay^{''} + by^{'} + cy = g(t)$$

 

여기서 $g(t)$를 강제 함수(forcing function, forcing term)이라고 하겠습니다. 강제 함수의 특징은 굉장히 짧은 구간 $t_{0} - \tau < t < t_{0} + \tau$에서 큰 값을 가지고 나머지 구간에서는 값이 0인 함수를 말합니다. 여기서 $\tau$가 굉장히 작은 값이 됩니다. 그러면 $t_{0} - \tau < t < t_{0} + \tau$이 짧은 구간이 되기 때문이죠. 물론 무작정 큰 값이라고 하기에는 기준이 좀 애매합니다. 그래서 아래와 같은 방법으로 제한을 둡니다. 

 

$$I(\tau) = \int_{t_{0}-\tau}^{t_{0}+\tau} g(t) \; dt = \int_{-\infty}^{\infty} g(t) \; dt$$

 

라고 $I(\tau)$를 정의했을 때 $\tau$의 값에 관계없이 $I(\tau)=1$이여야합니다. 이를 충격 함수(impulse function)이라고 합니다.

 

특히, $t_{0}=0$이라면 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

 

$$ g(t) = d_{\tau}(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2\tau} & \quad -\tau < t < \tau \\ 0 & \quad otherwise \end{array} \right. $$

 

위 함수의 특징은 크게 2가지입니다. $\lim_{\tau \to 0} d_{\tau}(t)=0(t \neq 0)$ 이고 $\lim_{\tau \to 0} I(\tau) =1$ 입니다. 

 

여기서도 단위 충격 함수(unit impulse function)을 정의합니다. 그런데 들어보신분들을 아실만한 굉장히 유명한 함수입니다. 바로 다이락-델타 함수(Dirac-Delta function)입니다. 이 함수는 $t \neq 0$에서 $\delta(t)=0$이고 $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \; dt = 1$입니다. 그림을 그리면 아래와 같습니다.

 

정확히 $t=0$에서만 위로 치솟고 있는 것을 볼 수 있습니다. 함수의 그림을 보면 알다싶이 다이락-델타 함수는 저희가 기존에 알고 있던 정상 함수(ordinal function)이 아닌 것을 알 수 있습니다. 이 함수는 함수의 정의를 확장한 일반화된 함수(generalized function)이라고 부르기도 합니다. 이때 다이락-델타 함수는 x축에서 자유롭게 이동하며 정의될 수 있습니다. 즉, $t \neq t_{0}$에서 $\delta(t-t_{0})=0$이고 $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-t_{0}) \; dt = 1$

 

참고로 이 함수는 이미지 프로세싱에서 신호 샘플링에서 굉장히 중요한 함수 중에 하나입니다. 혹시라도 이미지 프로세싱을 공부하실 분들을 꼭 기억하시길 바랍니다.

 

이제 이 함수에 라플라스 변환을 적용해보겠습니다!! 먼저, $L(\delta(t-t_{0})) = \lim_{\tau \to 0} L(d_{\tau}(t-t_{0}))$라고 정의하겠습니다.

 

일단 $L(d_{\tau}(t-t_{0}))$부터 계산을 하도록 하겠습니다. 라플라스 변환의 정의와 $d_{\tau}$ 함수의 정의를 활용하면 쉽게 계산할 수 있습니다.

 

$$L(d_{\tau}(t-t_{0}))=\int_{0}^{\infty}e^{-st}d_{\tau}(t-t_{0}) \; dt = \int_{t_{0}-\tau}^{t_{0}+\tau} e^{-st}\frac{1}{2\tau} \; dt = \frac{1}{2\tau}\int_{t_{0}-\tau}^{t_{0}+\tau} e^{-st} \; dt = e^{-st_{0}}\frac{\sinh{(s\tau)}}{s\tau}$$

 

그 다음으로 $L(\delta(t-t_{0}))$를 계산하도록 하겠습니다. 이것은 방금 정의한 $L(\delta(t-t_{0})) = \lim_{\tau \to 0} L(d_{\tau}(t-t_{0}))$ 이 식을 따르면 됩니다.

 

$$L(\delta(t-t_{0}))=\lim_{\tau \to 0} L(d_{\tau}(t-t_{0}))=e^{-st_{0}}\lim_{\tau \to 0} \frac{\sinh{(s\tau)}}{s\tau} = e^{-st_{0}}$$

 

따라서 $L(\delta(t)) = \lim_{t_{0} \to 0} L(\delta(t-t_{0})) = \lim_{t_{0} \to 0} e^{-st_{0}} = 1$입니다.

 

오늘은 간단하게 다이락-델타 함수에 대해서 소개하고 라플라스 변환을 적용해보았습니다. 다음 포스팅에서는 미분방정식을 어떤식으로 풀 수 있는 지 보도록 하겠습니다.