미분방정식[22].라플라스 변환 5

안녕하세요. 지난 포스팅의 미분방정식[21].라플라스 변환 4에서는 다이락-델타 함수의 라플라스 변환법을 알아보았습니다. 오늘은 복잡한 식의 라플라스 변환을 좀 더 쉽게 바꿀 수 있는 합성곱 적분(convolutional integral)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 아마 이번 포스팅이 라플라스 변환의 마지막 포스팅이 될 거 같네요.

 

합성곱 적분을 소개하기 전에 아래의 간단한 정리를 먼저 소개하겠습니다. 이 정리가 합성곱을 설명해주고 있습니다.

 

$F(s) = L(f(t)), G(s) = L(g(t))$가 모두 $s > a \geq 0$에서 존재한다면 두 함수의 곱 $F(s)$, $G(s)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$H(s)=F(s) \cdot G(s) = L(h(t))\ for\ s > a$$
이때 $h(t) = \int_{0}^{t} f(t - \tau)g(\tau) \; d\tau = \int_{0}^{t} f(\tau)f(t-\tau) \; d\tau$입니다.

이때 위 정리에서 $h(t)$를 함수 $f$와 $g$의 합성곱이라고 부르고 기호로는 $h(t) = (f * g)(t)$라고 합니다. 이제 이 합성곱을 라플라스 변환법을 알아보도록 하겠습니다. 사실 이것은 위의 정리에서 다 설명해주고 있습니다. 바로 아래와 같습니다.

 

$$L((f * g)(t)) = F(s) \cdot G(s) = L(f(t)) \cdot L(g(t))$$

$$L^{-1}(F(s) \cdot G(s)) = h(t) = (f * g)(t)$$

 

합성곱 계산하는 것을 보면 적분이 들어가서 만만치 않은 일입니다. 물론 직접 적분을 풀어서 라플라스 변환을 할 수도 있겠지만 너무 효율이 떨어지고 오래걸릴겁니다. 여기서는 위와 같은 식을 사용해서 복잡한 함수의 라플라스 변환을 각 함수에 라플라스 변환을 적용한 뒤 곱하기만 하면 되기때문에 직접 합성곱을 계산하는 것보다 빠르게 얻을 수 있습니다.