미적분학 - 편미분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 극한과 연속에서는 다변수 함수에서의 극한과 연속의 정의에 대해서 알아보았습니다. 이를 통해서 단변수 함수와의 차이점과 공통점 역시 꼭 알아두셨으면 좋겠습니다. 오늘은 다변수 함수의 편미분(partial derivative)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 

편미분에 대해서 설명하기 위해서 일상생활에서 쓸 수 있는 표를 하나 준비하였습니다. 열 지표(heat index)는 온도(Temperature)와 습도(Humidity)에 큰 영향을 받는다고 알려져 있습니다. 따라서, 정확한 함수는 모르지만 $I = f(T, H)$라고 쓸 수 있겠죠?

 

이제부터 저희는 위 표의 열 중 진한 노란색 부분을 신경쓰도록 하겠습니다. 해당 열은 습도 $H = 70$임을 의미합니다. 따라서, 저희는 $I = f(T, 70) = g(T)$이라고 쓸 수 있고 이것은 $T$에 대한 단변수 함수와 동일합니다. 즉, $g(T)$란 $H = 70$일 때 열 지표 $I$가 온도 $T$에 대해서 얼마나 영향을 받는 지를 서술하고 있습니다. 

 

이제 $T = 96$일 때 온도에 대한 열 지표의 변화율을 계산해보도록 하겠습니다. 즉, $g^{'}(96)$을 계산하는 것이죠. 저희는 미적분학 - 함수 미분에서 단변수 함수의 미분 정의에 대해서 알아보았습니다. 이를 동일하게 적용해보도록 하죠. 

 

$$g^{'}(96) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(96 + h) - g(96)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(96 + h, 70) - f(96, 70)}{h}$$

 

이때, $h = 2$ 그리고 $h = -2$라고 하겠습니다. 

 

$$h = 2 \Rightarrow g^{'}(96) \approx \frac{g(98) - g(96)}{2} = \frac{f(98, 70) - f(96, 70)}{2} = \frac{133 - 125}{2} = 4$$

$$h = -2 \Rightarrow g^{'}(96) \approx \frac{g(94) - g(96)}{-2} = \frac{f(94, 70) - f(96, 70)}{-2} = \frac{118 - 125}{-2} = 3.5$$

 

그리고 두 값의 평균이 $g^{'}(96)$의 근삿값이 됩니다. 

 

$$g^{'}(96) = \frac{4 + 3.5}{2} = 3.75$$

 

즉, $H = 70$일 때 온도가 올라가면 열 지표는 $3.75$정도 올라간다는 의미입니다. 이와 같이 어떤 변수를 고정하고 다른 변수에 대한 미분을 계산하는 것을 편미분이라고 합니다. 

 

 정의1. 편미분(partial derivative)

함수 $f(x, y)$가 이변수 함수라고 했을 때 함수 $f$의 편미분 $f_{x}$와 $f_{y}$은 아래와 같이 정의된다. 

 

- $x$에 대한 편미분 : $f_{x}(x, y) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}$

- $y$에 대한 편미분 : $f_{y}(x, y) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h}$

 

편미분에 대한 기호들은 아래와 같다. 

 

- $x$에 대한 편미분 : $f_{x}(x, y) = f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x} f(x, y)$

- $y$에 대한 편미분 : $f_{y}(x, y) = f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y} f(x, y)$

 

설명

편미분을 쉽게 생각하면 미분하고자 하는 변수를 제외하고는 전부 상수로 생각하는 것입니다. 예를 들어, $f(x, y) = x + y$와 같은 함수가 있다고 생각하겠습니다. 이 함수의 $x$에 대한 편미분을 계산하고자 하면 $y$를 상수 취급하면 됩니다. $f_{x}(x, y) = 1$이 되는 것이죠. 왜냐하면 $y$는 $x$에 대한 편미분을 진행하면 상수로 생각이 되고 상수를 미분하면 0이 되니까요!! 다른 예로 $f(x, y) = xy$와 같은 함수가 있어도 마찬가지입니다. $x$에 대한 미분을 한다고 하면 $y$를 상수취급하면 $f_{x}(x, y) = y$가 됩니다. 

 

예제1. $f(x, y) = x^{3} + x^{2}y^{3} - 2y^{2}$의 $f_{x}$와 $f_{y}$를 구하여라.

1). $f_{x}(x, y) = 3x^{2} + 2xy^{3}$

2). $f_{y}(x, y) = 3x^{2}y^{2} - 4y$ 

 

예제2. $f(x, y) = \sin\left(\frac{x}{1 + y}\right)$의 $f_{x}$와 $f_{y}$를 구하여라.

1). $f_{x}(x, y) = \frac{1}{1 + y}\cos\left(\frac{x}{1 + y}\right)$

2). $f_{x}(x, y) = -\frac{x}{(1 + y)^{2}}\cos\left(\frac{x}{1 + y}\right)$

 

편미분을 이해하셨다면 고계 편미분 역시 쉽게 이해할 수 있습니다. 예를 들어 $f(x, y)$라는 함수가 있다고 쳤을 때 $f_{x}(x, y)$와 $f_{y}(x, y)$ 두 개의 일계 편미분이 존재하게 됩니다. 그렇다면 이계 편미분은 어떨까요? 먼저, $f_{x}$를 다시한번 $x$와 $y$에 대해서 각각 편미분을 진행하게 되면 $f_{xx}$와 $f_{xy}$를 얻을 수 있습니다. 다음으로 $f_{y}$를 $x$와 $y$에 대해서 각각 편미분을 진행하면 됩니다. 그러면 $f_{yx}$와 $f_{yy}$를 얻을 수 있죠. 따라서, 함수 $f$의 이계 편미분은 $f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}$로 총 4개의 도함수를 얻을 수 있습니다. 잠깐 여기서 궁금한 점이 있습니다. $f_{xy}$와 $f_{yx}$는 편미분하는 변수의 순서만 바꾼건데 같을 수도 있지 않을까요? 이런 생각을 하셨다면 아주 훌륭합니다. 바로 클레로 정리를 소개시켜드리도록 하죠.

 

 정리1. 클레로 정리(Clairaut's Thoerem)

함수 $f$를 점 $(a, b)$를 포함하는 정의역 $D$에서 정의되었다고 하자. 만약, 함수 $f$의 이계 도함수 $f_{xy}$와 $f_{yx}$가 존재하고 정의역 $D$에서 연속할 때 $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$이다.