미적분학 - 다변수 함수의 미분가능성

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 접평면과 선형근사에서는 일변수 함수의 선형근사의 개념을 다변수 함수로 확장하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수의 미분가능성에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

 정의1. 미분가능성(Differentiability)

함수 $z = f(x, y)$가 있다고 했을 때 $\Delta z = f_{x}(a, b)\Delta x + f_{y}(a, b)\Delta y + \epsilon_{1} \Delta x + \epsilon_{2} \Delta y$으로 표현된다면 함수 $f$는 점 $(a, b)$에서 미분가능하다. 

 

설명

다변수 함수의 미분가능성에 대해서 설명하기 위해 간단한 예시를 들어보도록 하겠습니다. 일단, 함수 $z = f(x, y)$가 연속이라고 가정하겠습니다. 이때, 저희가 궁금한 것은 $f$의 일계 편도함수인 $f_{x}$와 $f_{y}$ 가 연속이 아닐 때 입니다. 이에 대한 대표적인 함수를 예시로 들어보겠습니다. 

 

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} &\text{ if } (x, y) \neq (0, 0)\\ 0 &\text{ if } (x, y) = (0, 0)\end{cases}$$

 

참고로 이 함수는 $(0, 0)$에서 일계 편도함수가 존재하지만 $f_{x}$와 $f_{y}$는 연속이 아닙니다. 실제로 $f(x, y) \approx 0$이지만 $y = x$인 직선 상에서는 $f(x, y) = \frac{1}{2}$입니다. 즉, 편도함수의 존재성이 미분 가능성을 시사하지는 않습니다. 이를 해결하는 방법을 생각해보도록 하겠습니다. 

 

다시 돌아가서 단변수 함수 $y = f(x)$를 생각해보겠습니다. 그리고 미분의 정의를 다시 생각해보도록 하죠. 미분이라는 것은 기하학적으로 아주 작은 차이에서 발생하는 함수의 기울기를 의미합니다. 따라서, $x = a$와 아주 작은 차이 $\Delta x$가 발생하는 $x = a + \Delta x$를 고려하겠습니다. 이때, 저희는 $y$의 증분(increment)를 생각할 수 있습니다. 

 

$$\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$$

 

한편, 미분의 정의에 의해서 저희는 $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f^{'}(a)$를 얻을 수 있습니다. 여기서 눈여겨볼점은 좌항의 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 같은 경우에는 여전히 $f^{'}(a)$와 약간의 차이가 발생하게 됩니다. 저희는 이 차이를 $\epsilon$이라고 두겠습니다.

 

$$\epsilon = \frac{\Delta y}{\Delta x} - f^{'}(a) \Rightarrow \Delta y = f^{'}(a)\Delta x + \epsilon \Delta x$$ 

 

위 식을 잘 뜯어보시면 $\Delta x$가 감소할 수록 $\epsilon$ 역시 감소하고 있다는 것을 볼 수 있습니다. 즉, $\epsilon$은 $\Delta x$를 변수로 가지는 함수라는 것을 의미하죠. 따라서, 저희는 미분가능성에 대한 내용을 다시 한번 바꾸어서 쓸 수 있습니다. 

 

$$\Delta y = f^{'}(a)\Delta x + \epsilon \Delta x$$

 

여기서 $\Delta x \rightarrow 0$일 때 $\epsilon \rightarrow 0$입니다. 이와 같이 함수의 증분을 표현할 수 있다면 점 $x = a$에서 함수 $f$는 미분가능하다는 것이죠. 이제 이를 다변수 함수에 적용해보겠습니다. $z = f(x, y)$라고 할 때 함수의 증분 $\Delta z$는 아래와 같이 표현가능합니다. 

 

$$\Delta z = f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a, b)$$

 

즉, 점 $(a, b)$에서 약간 변화한 점 $(a + \Delta x, b + \Delta y)$에 대한 함수값의 차이가 되는 것이죠. 이를 다시 한번 다변수 함수의 미분에 대입하여 유도하면 저희는 정의에서 보았던 수식을 얻을 수 있게 되는 것입니다. 

 

 정리1. 

일계 편도함수 $f_{x}$와 $f_{y}$가 점 $(a, b)$ 근방에서 존재하고 연속이라고 하면 점 $(a, b)$에서 함수 $f$는 연속이다. 

 

 정의2. 전미분(Total Differential)

함수 $z = f(x, y)$의 전미분 $dz$은 아래와 같이 정의된다. 

 

$$dz = f_{x}(x, y) dx + f_{y}(x, y) dy = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$$

 

예제1. 함수 $z = f(x, y) = x^{2} + 3xy - y^{2}$의 전미분 $dz$를 구하여라.

$$\begin{align*} dz &= \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \\ &= (2x + 3y) dx + (3x - 2y)dy \end{align*}$$