미적분학 - 다변수 함수의 극한과 연속

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수에서는 다변수 함수의 정의와 정의역, 치역에 대해서 알아보았습니다. 또한 이와 관련된 그래프(graph)와 등고선(level curve)에 대해서 알아보았습니다. 미적분학 - 함수의 극한과 미적분학 - 연속 함수에서는 단변수 함수의 극한과 연속성에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수에서 극한(limit)과 연속성(continuity)이 어떻게 정의되는 지 알아보도록 하겠습니다. 

 

1. 다변수 함수의 극한

본격적으로 시작하기 전에 두 함수를 보도록 하겠습니다. 

 

$$f(x, y) = \frac{\sin(x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}, g(x) = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$$

 

왼쪽과 오른쪽 표는 각각 $f(x, y)$과 $g(x, y)$의 수치적 결과를 보여주고 있습니다. 두 함수의 공통적인 차이점은 $(0, 0)$에서 분모가 0 되기 때문에 정의되지 않는다는 점이죠. 하지만, 그 주변에서의 경향성은 확연히 다릅니다. $f(x, y)$ 같은 경우에 $(0, 0)$의 주변인 $(-0.2, 0), (+0.2, 0), (0, -0.2), (0, +0.2)$에서는 전부 $f(x, y) = 1$입니다. 그와 반면에 $g(x, y)$는 $(-0.2, 0), (+0.2, 0)$에서는 1이지만, $(0, -0.2), (0, +0.2)$에서는 -1입니다. 해당 테이블이 다변수 함수의 극한에 대한 개념을 여실히 드러내고 있습니다. 즉, $(0, 0)$의 극한값이 존재한다는 것은 $(0, 0)$ 주변의 모든 값들이 동일한 값으로 일치해야한다는 것을 의미하죠. 

 

 정의1. 다변수 함수의 극한

함수 $f$가 정의역 $D$에서 정의되었다고 하자. 함수 $f(x, y)$의 $(a, b) \in D$로의 극한은 임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $(x, y) \in D$와 $0 < \sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}} < \delta$일 때 $|f(x, y) - L| < \epsilon$를 만족하는 $\delta > 0$가 존재하면 다변수 함수 $f(x, y)$의 극한이 존재하고 $\lim_{(x, y) \rightarrow (a, b)} f(x, y) = L$라 표기한다. 

 

설명

정의1의 개념을 이해하기 위해서 위의 그림을 보면서 설명하도록 하겠습니다. 기본적인 개념은 미적분학 - 정확한 극한의 정의 1과 동일합니다. 상기해보면 함수 $f(x)$의 $x \rightarrow a$로의 극한이 존재한다는 것은 $x \rightarrow a$의 두 가지 방향(우극한과 좌극한)이 동일한 값을 가진다는 것 입니다. 하지만, 이제부터 저희는 다변수 함수를 다루기 때문에 $(a, b)$를 중심으로 $\delta > 0$를 반지름으로 하는 원을 하나 잡고 해당 원의 모든 정의역들이 동일한 값을 가진다면 함수 $f(x, y)$의 극한이 존재하게 되는 것 입니다.

 

이번에는 반대로 생각해보겠습니다. 만약, 함수 $f(x, y)$의 극한이 존재하지 않는다라는 것을 어떻게 보일 수 있을까요? 방법은 간단합니다. 다시 정의로 돌아와서 극한이 존재하기 위해서는 $(a, b)$로 들어오는 모든 방향의 극한이 동일해야합니다. 즉, 만약 어떤 방향의 극한이 존재하지 않거나 다른 방향의 극한들과 다른 값을 가지게 된다면 극한이 존재하지 않는다고 볼 수 있습니다. 간단한 예로 시작해보겠습니다. 

 

$$\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$$

 

위 극한에서 $f(x, y) = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$이라고 하겠습니다. 이때, $y = 0$이라고 하면 $f(x, 0) = 1$이지만, $x = 0$이라고 하면 $f(0, y) = -1$입니다. 이와 같은 형태는 가장 처음보았던 Table2와 동일합니다. 즉, $x$-축 방향에서 접근하면 그 극한값은 1이지만, $y$-축 방향에서 접근하면 극한값은 -1이기 때문에 $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$는 존재하지 않습니다. 

 

예제1. $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}$이 존재하는 지 확인하라.

$f(x, y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}$이라고 하자. 이때, $x = 0$이면 $f(0, y) = 0$ 이고 $y = 0$이면 $f(x, 0) = 0$이다. 하지만, $x = y$라고 하면 $f(x, x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + x^{2}} = \frac{1}{2}$이기 때문에 극한값이 존재하지 않는다. 

 

2. 다변수 함수의 연속성

 정의2. 다변수 함수의 연속성

함수 $f$가 $\lim_{(x, y) \rightarrow (a, b)} f(x, y) = f(a, b)$를 만족하면 함수 $f$가 점 $(a, b)$에서 연속한다고 한다. 이때, 함수 $f$가 정의된 모든 정의역 $D$에서 성립하면 함수 $f$가 정의역 $D$에서 연속한다고 한다. 

 

설명

다변수 함수의 연속성은 단변수 함수와 동일합니다. 해당점에서 극한값이 존재하고 함숫값과 동일하면 연속이 되는 것이죠. 따라서, 쉽게 이해하실 수 있습니다.