미적분학 - 기울기벡터

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 방향미분에서는 함수 $f$가 주어졌을 때 점 $(x_{0}, y_{0})$에서 벡터 $\mathbf{u} = <a, b>$로의 방향미분 $D_{\mathbf{u}} f(x, y)$를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 여기서 방향미분은 기존에 보았던 편미분 $f_{x}$와 $f_{y}$의 일반화된 미분임을 알게 되었습니다. 오늘은 이어서 기울기벡터(Gradient)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 기울기벡터(Gradient)

함수 $f$가 $(x, y)$에 대한 이변수 함수일 때 함수 $f$의 기울기벡터는 $\nabla f(x, y) = <f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)>$로 정의된다. 

 

예제1. 함수 $f(x, y) = \sin(x) + e^{xy}$일 때 기울기벡터를 구하여라.

$$\begin{align*} \nabla f(x, y) &= <f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)> \\ &= <\cos(x) + ye^{xy}, xe^{xy}>\end{align*}$$

 

 정리1.

함수 $f$가 $(x, y)$에 대한 이변수 함수일 때, $D_{\mathbf{u}} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf{u}$이다. 

 

예제2. 함수 $f(x, y) = x^{2}y^{3} - 4y$일 때 기울기벡터를 통해 점 $(2, -1)$에서 $\mathbf{v} = <2, 5>$로의 방향미분을 구하여라.

먼저, 함수 $f$의 기울기벡터를 구한다. 

 

$$\begin{align*} \nabla f(x, y) &= <f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)> \\ &= <2xy^{3}, 3x^{2}y^{2} - 4> \end{align*} \tag{1}$$

 

따라서, $\nabla f(2, -1) = <-4, 8>$이다. 다음으로 정리1을 통해 방향미분을 구한다. 이때, $\mathbf{v}$가 단위벡터가 아니기 때문에 $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = <\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{5}{\sqrt{29}}>$에 대한 방향미분을 구한다. 

 

$$\begin{align*} D_{\mathbf{u}} f(2, -1) &= \nabla f(2, -1) \cdot \mathbf{u} \\ & = <-4, 8> \cdot <\frac{2}{29}, \frac{5}{29}> \\ &= \frac{32}{\sqrt{29}} \end{align*}$$

 

 정리2. 

함수 $f$가 $\mathbf{x}$에 대해서 미분가능한 다변수 함수라고 하자. 함수 $f$의 방향미분 $D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{x})$의 최대값은 $\left|\nabla f(\mathbf{x})\right|$이고 이때 방향벡터 $\mathbf{u}$의 방향과 기울기벡터 $\nabla f(x, y)$의 방향이 서로 일치한다. 

 

증명

방향미분과 기울기벡터 사이의 관계식(정리1)을 이용한다. 

 

$$D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{x}) = \nabla f \cdot \mathbf{u} = \left|\nabla f\right|\left|\mathbf{u}\right|\cos(\theta) = |\nabla f|\cos(\theta) \tag{1}$$

 

이때, $\mathbf{u}$는 단위벡터이기 때문에 $|\mathbf{u}| = 1$이고 $\tag{1}$이 최댓값이 되기 위해서는 $\cos(\theta) = 1$, 즉 $\theta = 0$이 되어야한다. 여기서 $\theta$는 두 벡터 $\nabla f$와 $\mathbf{u}$ 사이의 각도를 의미하기 때문에 두 벡터가 동일한 방향이여야 방향미분이 최댓값 $|\nabla f|$를 가진다.