미적분학 - 연쇄 법칙

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 삼각함수 미분에서는 다양한 미분기법들(곱의 미분, 몫의 미분)을 활용해서 더 복잡한 형태의 삼각함수를 미분하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분에서 굉장히 중요한 연쇄법칙(Chain Rule)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 오늘은 예제를 중심으로 연쇄법칙을 연습하시면 더욱 쉽게 이해하실 수 있습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.

 

 정리1. 연쇄법칙(Chain Rule)

함수 $g$가 $x$에서 미분가능하고 $f$가 $g(x)$에서 미분가능할 때 합성함수 $F = f \circ g$의 $x$에서 미분 $F^{'}(x)$은 아래와 같이 계산된다. 

$$F^{'}(x) = f^{'}(g(x)) \cdot g^{'}(x)$$

라이프니츠 표기법에서는 $y = f(u)$이고 $u = g(x)$라고 했을 때 아래와 같이 쓸 수 있다. 

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ 

 

예제1. $F(x) = \sqrt{x^{2} + 1}$일 때, $F^{'}(x)$을 구하여라.

$f(x) = \sqrt{x}$ 그리고 $g(x) = x^{2} + 1$이라고 했을 때 $F(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))$라고 쓸 수 있다. 연쇄법칙에 의해 $F^{'}(x)$는 아래와 같이 구한다. 

 

$$\begin{align*} F^{'}(x) &= f^{'}(g(x)) \cdot g^{'}(x) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\end{align*}$$

 

예제2. $F(x) = \sin{(x^{2})}$일 때, $F^{'}(x)$를 구하여라.

$f(x) = \sin{(x)}$ 그리고 $g(x) = x^{2}$이라고 했을 때 $F(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))$라고 쓸 수 있다. 연쇄법칙에 의해 $F^{'}(x)$는 아래와 같이 구한다. 

 

$$\begin{align*} F^{'}(x) &= f^{'}(g(x)) \cdot g^{'}(x) \\ &= \cos{(x^{2})} \cdot 2x = 2x\cos{(x^{2})} \end{align*}$$

 

예제3. $F(x) = \sin^{2}{(x)}$일 때, $F^{'}(x)$를 구하여라.

$f(x) = x^{2}$ 그리고 $g(x) = \sin{(x)}$이라고 했을 때 $F(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))$라고 쓸 수 있다. 연쇄법칙에 의해 $F^{'}(x)$는 아래와 같이 구한다. 

 

$$\begin{align*} F^{'}(x) &= f^{'}(g(x)) \cdot g^{'}(x) \\ &= 2\sin{(x)} \cdot \cos{(x)} = 2\sin{(x)}\cos{(x)} = \sin{(2x)} \end{align*}$$

 

예제4. $F(x) = e^{\sin{(x)}}$일 때, $F^{'}(x)$를 구하여라.

$f(x) = e^{x}$ 그리고 $g(x) = \sin{(x)}$이라고 했을 때 $F(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))$라고 쓸 수 있다. 연쇄법칙에 의해 $F^{'}(x)$는 아래와 같이 구한다. 

 

$$\begin{align*} F^{'}(x) &= f^{'}(g(x)) \cdot g^{'}(x) \\ &= e^{\sin{(x)}} \cdot \cos{(x)} = \cos{(x)}e^{\sin{(x)}} \end{align*}$$

 

연습문제1. 주어진 함수들을 합성함수 $f(g(x))$의 꼴로 표현하고 연쇄법칙을 이용해서 도함수를 구하여라.

 

(a). $y = \sin(4x)$

(b). $y = \sqrt{4 + 3x}$

(c). $y = (1 - x^{2})^{10}$

(d). $y = \tan(\sin(x))$

(e). $y = e^{\sqrt{x}}$

(f). $y = \sin(e^{x})$

 

(a). $y = \sin(4x) \rightarrow f(x) = \sin(x), g(x) = 4x \rightarrow y = f(g(x)) \rightarrow \frac{dy}{dx} = 4\cos(4x)$

 

(b). $y = \sqrt(4 + 3x) \rightarrow f(x) = \sqrt{x}, g(x) = 4 + 3x \rightarrow y = f(g(x)) \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2\sqrt{4 + 3x}}$

 

(c). $y = (1 - x^{2})^{10} \rightarrow f(x) = x^{10}, g(x) = 1 - x^{2} \rightarrow y = f(g(x)) \rightarrow \frac{dy}{dx} = -20x(1 - x^{10})^{9}$

 

(d). $y = \tan(\sin(x)) \rightarrow f(x) = \tan(x), g(x) = \sin(x) \rightarrow y = f(g(x)) \rightarrow \frac{dy}{dx} = \cos(x)\sec^{2}(\sin(x))$

 

(e). $y = e^{\sqrt{x}} \rightarrow f(x) = e^{x}, g(x) = \sqrt{x} \rightarrow y = f(g(x)) \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}}$

 

(f). $y = \sin(e^{x}) \rightarrow f(x) = \sin(x), g(x) = e^{x} \rightarrow y = f(g(x)) \rightarrow \frac{dy}{dx} = e^{x}\cos(e^{x})$

 

연습문제2. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.

 

(a). $F(x) = (x^{4} + 3x^{2} - 2)^{5}$

(b). $F(x) = \sqrt[4]{1 + 2x + x^{3}}$

(c). $g(t) = \frac{1}{(t^{4} + 1)^{3}}$

(d). $y = \cos(a^{3} + x^{3})$

(e). $y = xe^{-kx}$

(f). $g(x) = (1 + 4x)^{5}(3 + x - x^{2})^{8}$

(g). $y = (2x - 5)^{5}(8x^{2} - 5)^{-3}$

 

(a). $F(x) = (x^{4} + 3x^{2} - 2)^{5} \rightarrow F^{'}(x) = 5(4x^{3} + 6x)(x^{4} + 3x^{2} - 2)^{4}$

 

(b). $F(x) = \sqrt[4]{1 + 2x + x^{3}} \rightarrow F^{'}(x) = \frac{2 + 3x^{2}}{4\sqrt[4]{(1 + 2x + x^{3})^{3}}}$

 

(c). $g(t) = \frac{1}{(t^{4} + 1)^{3}} \rightarrow g^{'}(t) = -\frac{12t^{3}}{(t^{4} + 1)^{4}}$

 

(d). $y = \cos(a^{3} + x^{3}) \rightarrow \frac{dy}{dx} = -3x^{2}\sin(a^{3} + x^{3})$

 

(e). $y = xe^{-kx} \rightarrow \frac{dy}{dx} = e^{-kx} - kxe^{-kx} = (1 - kx)e^{-kx}$

 

(f). $g(x) = (1 + 4x)^{5}(3 + x - x^{2})^{8} \rightarrow g^{'}(x) = 20(1 + 4x)^{4}(3 + x - x^{2})^{8} + 8(1 - 2x)(1 + 4x)^{5}(3 + x - x^{2})7$

 

(g). $y = (2x - 5)^{5}(8x^{2} - 5)^{-3} \rightarrow \frac{dy}{dx} = 10(2x - 5)^{4}(8x^{2} - 5)^{-3} -48x(2x - 5)^{4}(8x^{2} - 5)^{-4}$

 

연습문제3. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.

 

(a). $F(x) = (4x - x^{2})^{100}$

(b). $f(x) = (1 + x^{4})^{2/3}$

(c). $f(t) = \sqrt[3]{t + \tan(t)}$

(d). $y = a^{3} + \cos^{3}(x)$

(e). $y = 3\cot(n\theta)$

(f). $h(t) = (t^{4} - 1)^{3}(t^{3} + 1)^{4}$

(g). $y = (x^{2} + 1)\sqrt[3]{x^{2} + 2}$

 

(a). $F(x) = (4x - x^{2})^{100} \rightarrow F^{'}(x) = 100(4 - 2x)(4x - x^{2})^{99}$

 

(b). $f(x) = (1 + x^{4})^{2/3} \rightarrow f^{'}(x) = \frac{8x^{3}}{3\sqrt(1 + x^{4})^{1/3}}$

 

(c). $f(t) = \sqrt[3]{t + \tan(t)} \rightarrow f^{'}(t) = \frac{\sec^{2}(t)}{3\sqrt[3]{1 + \tan(t)}}$

 

(d). $y = a^{3} + \cos^{3}(x) \rightarrow \frac{dy}{dx} = -3\sin(x)\cos^{2}(x)$

 

(e). $y = 3\cot(n\theta) \rightarrow \frac{dy}{d\theta} = -3n\csc^{2}(n\theta)$

 

(f). $h(t) = (t^{4} - 1)^{3}(t^{3} + 1)^{4} \rightarrow h^{'}(t) = 12t^{3}(t^{4} - 1)^{2}(t^{3} + 1)^{4} + 12t^{2}(t^{4} - 1)^{3}(t^{3} + 1)^{3}$

 

(g). $y = (x^{2} + 1)\sqrt[3]{x^{2} + 2} \rightarrow \frac{dy}{dx} = 2x\sqrt[3]{x^{2} + 2} + \frac{2x(x^{2} + 1)}{\sqrt[3]{(x^{2} + 2)^{2}}}$

 

연습문제4. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.

 

(a). $y = \left( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} \right)^{3}$

(b). $y =e^{-5x}\cos(3x)$

(c). $y = e^{x\cos(x)}$

(d). $y = 10^{1 - x^{2}}$

(e). $F(z) = \sqrt{\frac{z - 1}{z + 1}}$

(f). $G(y) = \frac{(y - 1)^{4}}{(y^{2} + 2y)^{5}}$

(g). $y = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + 1}}$

(h). $y = \frac{e^{u} - e^{-u}}{e^{u} + e^{-u}}$

(i). $y = \sin(\tan(2x))$

(j). $G(y) = \left( \frac{y^{2}}{y + 1} \right)^{5}$

(k). $y = 2^{\sin(\pi x)}$

(l). $y = \tan^{2}(3\theta)$

(m). $y = \sec^{2}(x) + \tan^{2}(x)$

(n). $y = x\sin \left( \frac{1}{x} \right)$

 

(a). $y = \left( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} \right)^{3} \rightarrow \frac{dy}{dx} = 3\frac{2x(x^{2} - 1) - 2x(x^{2} + 1)}{(x^{2} - 1)^{2}} \cdot \left( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} \right)^{2} = -\frac{12x}{(x^{2} - 1)^{2}}\left( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} \right)^{2} $

 

(b). $y =e^{-5x}\cos(3x) \rightarrow \frac{dy}{dx} = -5e^{-5x}\cos(3x) - 3e^{-5x}\sin(3x) = -e^{-5x}(5\cos(3x) + 3\sin(3x))$

 

(c). $y = e^{x\cos(x)} \rightarrow \frac{dy}{dx} = (\cos(x) - x\sin(x))e^{x\cos(x)}$

 

(d). $y = 10^{1 - x^{2}} \rightarrow \frac{dy}{dx} = -2x10^{1 - x^{2}}\ln(10)$

 

(e). $F(z) = \sqrt{\frac{z - 1}{z + 1}} \rightarrow F^{'}(z) = \frac{1}{2}\left( \frac{z - 1}{z + 1} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{(z + 1) - (z - 1)}{(z + 1)^{2}} = \left( \frac{z - 1}{z + 1} \right)^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{(z + 1)^{2}}$

 

(f). $G(y) = \frac{(y - 1)^{4}}{(y^{2} + 2y)^{5}} \rightarrow G^{'}(y) = \frac{4(y - 1)^{3}(y^{2} + 2y)^{5} - 10(y + 1)(y - 1)^{4}(y^{2} + 2y)^{4}}{(y^{2} + 2y)^{10}}$

 

(g). $y = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + 1}} \rightarrow \frac{dy}{dr} = \frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{2r}{\sqrt{r^{2} + 1}}}{r^{2} + 1} = \frac{r^{2} - r + 1}{\sqrt{(r^{2} + 1)^{3}}}$

 

(h). $y = \frac{e^{u} - e^{-u}}{e^{u} + e^{-u}} \rightarrow \frac{dy}{du} = \frac{(e^{u} + e^{-u})^{2} - (e^{u} - e^{-u})^{2}}{(e^{u} + e^{-u})^{2}} = \left( \frac{2}{e^{u} + e^{-u}} \right)$

 

(i). $y = \sin(\tan(2x)) \rightarrow \frac{dy}{dx} = 2\sec^{2}(2x)\cos(\tan(2x))$

 

(j). $G(y) = \left( \frac{y^{2}}{y + 1} \right)^{5} \rightarrow G^{'}(y) = 5\frac{2y(y + 1) - y^{2}}{(y + 1)^{2}} \left( 

\frac{y^{2}}{y + 1} \right)^{4} = \frac{5(y^{2} + 2y)}{(y + 1)^{2}} \left( \frac{y^{2}}{y + 1} \right)^{4}$

 

(k). $y = 2^{\sin(\pi x)} \rightarrow \frac{dy}{dx} = \pi\cos(\pi x) 2^{\sin(\pi x)} \ln(2)$

 

(l). $y = \tan^{2}(3\theta) \rightarrow \frac{dy}{d\theta} = 6\sec^{2}(3\theta)\tan(3\theta)$

 

(m). $y = \sec^{2}(x) + \tan^{2}(x) \rightarrow \frac{dy}{dx} = 2\tan(x)\sec(x) + 2\tan(x)\sec^{2}(x) = 2\tan(x)\sec(x)(1 + \sec(x))$

 

(n). $y = x\sin \left( \frac{1}{x} \right) \rightarrow \frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{1}{x} \right) - x \cdot \frac{1}{x^{2}} \cos \left( \frac{1}{x} \right) = \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{x} \cos \left( \frac{1}{x} \right)$

 

연습문제5. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.

 

(a). $y = \cos \left( \frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \right)$

(b). $f(t) = \sqrt{\frac{t}{t^{2} + 4}}$

(c). $y = \cot^{2}(\sin(\theta))$

(d). $y = e^{k\tan(\sqrt{x})}$

(e). $f(t) = \tan(e^{t}) + e^{\tan(t)}$

(f). $y = \sin(\sin(\sin(x)))$

(g). $f(t) = \sin^{2}(e^{\sin^{2}(t)})$

(h). $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$

(i). $g(x) = (2ra^{rx} + n)^{p}$

(j). $y = 2^{3^{x^{2}}}$

(k). $y = \cos (\sqrt{\sin(\tan(\pi x))})$

(l). $y = \left[ x + (x + \sin^{2}(x))^{3} \right]^{4}$

 

(a). $y = \cos \left( \frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \right) \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-2e^{2x}(1 + e^{2x}) - 2e^{2x}(1 - e^{-2x})}{(1 + e^{2x})^{2}} \sin \left( \frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}} \right)$

 

(b). $f(t) = \sqrt{\frac{t}{t^{2} + 4}} \rightarrow f^{'}(t) = \frac{(t^{2} + 4) - 2t^{2}}{(t^{2} + 4)^{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{t}{t^{2} + 4} \right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{-(t^{2} - 4)}{2(t^{2} + 4)^{2}} \left( \frac{t}{t^{2} + 4} \right)^{-\frac{1}{2}}$

 

(c). $y = \cot^{2}(\sin(\theta)) \rightarrow \frac{dy}{d\theta} = -2\cos(\theta)\csc(\sin(\theta))\cot(\sin(\theta))$

 

(d). $y = e^{k\tan(\sqrt{x})} \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{k\sec^{2} (\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} e^{k\tan(\sqrt{x})}$

 

(e). $f(t) = \tan(e^{t}) + e^{\tan(t)} \rightarrow f^{'}(t) = e^{t}\sec^{2}(e^{t}) + \sec^{2}(t)e^{\tan(t)}$

 

(f). $y = \sin(\sin(\sin(x))) \rightarrow \frac{dy}{dx} = \cos(x)\cos(\sin(x))\cos(\sin(\sin(x)))$

 

(g). $f(t) = \sin^{2}(e^{\sin^{2}(t)}) \rightarrow f^{'}(t) = \sin(2t)e^{\sin^{2}(t)}\sin(2e^{\sin^{2}(t)})$

 

(h). $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \cdot \left( x + \sqrt{x + \sqrt{x}} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} (1 + \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}}) \cdot (x + \sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} (1 + \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} (1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}))$

 

(i). $g(x) = (2ra^{rx} + n)^{p} \rightarrow g^{'}(x) = 2r^{2}p\ln(a) a^{rx}(a^{rx} + n)^{p - 1}$

 

(j). $y = 2^{3^{x^{2}}} \rightarrow \frac{dy}{dx} = (3^{x^{2}})^{'} 2^{3^{x^{2}}} \ln(2) = (x^{2})^{'} 3^{x^{2}} 2^{3^{x^{2}}} \ln(2) \ln(3) = 2\ln(2)\ln(3)x 3^{x^{2}} 2^{3^{x^{2}}}$

 

(k). $y = \cos (\sqrt{\sin(\tan(\pi x))})$

 

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= (\sqrt{\sin(\tan(\pi x))})^{'} \cdot (-\sin(\sqrt{\sin(\tan(\pi x))})) \\ &= (\sin(\tan(\pi x)))^{'} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\sin(\tan(\pi x))}} \cdot (-\sin(\sqrt{\tan(\pi x)})) \\ &= (\tan(\pi x))^{'} \cdot \cos(\tan(\pi x)) \cdot \frac{1}{2\sqrt{\sin(\tan(\pi x))}} \cdot (-\sin(\sqrt{\tan(\pi x)})) \\ &= \pi\sec^{2}(\pi x) \cdot \cos(\tan(\pi x)) \cdot \frac{1}{2\sqrt{\sin(\tan(\pi x))}} \cdot (-\sin(\sqrt{\tan(\pi x)})) \\ &= -\frac{\pi \sec^{2}(\pi x) \cos(\tan(\pi x)) \sin(\sqrt{\tan(\pi x)})}{2\sqrt{\sin(\tan(\pi x))}}\end{align*}$$

 

(l). $y = \left[ x + (x + \sin^{2}(x))^{3} \right]^{4}$

 

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= (x + (x + \sin^{2} (x))^{3})^{'} \cdot 4[x + (x + \sin^{2}(x))^{3}]^{3} \\ &= (x + \sin^{2} (x))^{'} \cdot [1 + 3(x + \sin^{2} (x))^{2}] \cdot 4[x + (x + \sin^{2}(x))^{3}]^{3} \\ &= (1 + 2\sin(x)\cos(x)) \cdot [1 + 3(x + \sin^{2} (x))^{2}] \cdot 4[x + (x + \sin^{2}(x))^{3}]^{3} \\ &= 4(1 + \sin(2x))[1 + 3(x + \sin^{2} (x))][x + (x + \sin^{2}(x))^{3}]^{3} \end{align*}$$

 

연습문제6. 주어진 함수들의 일계도함수와 이계도함수를 구하여라.

 

(a). $h(x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

(b). $y = xe^{cx}$

(c). $y = e^{\alpha x}\sin(\beta x)$

(d). $y = e^{e^{x}}$

 

(a). $h(x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

 

1). 일계도함수 

 

$$\begin{align*} h^{'}(x) &= \frac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\end{align*}$$

 

2). 이계도함수

 

$$\begin{align*} h^{''}(x) &= \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + 1} \\ &= \frac{x^{2} - x + 1}{(x^{2} + 1)\sqrt{x^{2} + 1}} \end{align*}$$

 

(b). $y = xe^{cx}$

 

1). 일계도함수 

 

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= e^{cx} + cxe^{cx} = (cx + 1)e^{cx} \end{align*}$$

 

2). 이계도함수

 

$$\begin{align*} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} &= ce^{cx} + (c^{2}x + c)e^{cx} = (c^{2}x + 2c)e^{cx} \end{align*}$$

 

(c). $y = e^{\alpha x}\sin(\beta x)$

 

1). 일계도함수 

 

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \alpha e^{\alpha x} \sin(\beta x) + \beta e^{\alpha x} \cos(\beta x) \\ &= e^{\alpha x} (\alpha \sin(\beta x) + \beta \cos(\beta x)) \end{align*}$$

 

2). 이계도함수

 

$$\begin{align*} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} &= \alpha e^{\alpha x} (\alpha \sin(\beta x) + \beta \cos(\beta x)) + e^{\alpha x} (\alpha \beta \cos(\beta x) - \beta^{2} \sin(\beta x)) \\ &= e^{\alpha x} [(\alpha^{2} - \beta^{2}) \sin(\beta x) +2\alpha \beta \cos(\beta x) ] \end{align*}$$

 

(d). $y = e^{e^{x}}$

 

1). 일계도함수 

 

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= e^{x}e^{e^{x}} = e^{x + e^{x}} \end{align*}$$

 

2). 이계도함수

 

$$\begin{align*} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} &= (1 + e^{x}) e^{x + e^{x}} \end{align*}$$

 

 

연습문제7. 주어진 함수와 점에 대해서 접선의 방정식을 구하여라.

 

(a). $y = (1 + 2x)^{10}, (0, 1)$

(b). $y = \sin(x) + \sin^{2}(x), (0, 0)$

(c). $y = \sin(\sin(x)), (\pi, 0)$

(d). $y = x^{2}e^{-x}, (1, \frac{1}{e})$

 

(a). $y = (1 + 2x)^{10}, (0, 1)$

 

먼저 주어진 함수의 도함수를 구한다. 

 

$$\frac{dy}{dx} = 20(1 + 2x)^{9}$$

 

다음으로 도함수에 주어진 점을 대입하면 $\frac{dy}{dx}_{(0, 1)} = 20$이 주어진 점에서의 접선의 기울기가 된다. 마지막으로 접선의 방정식을 $y = 20x + b$라고 할 때 $(0, 1)$을 대입하면 $y$ 절편이 $1$임을 알 수 있다. 따라서, 접선의 방정식은 $y = 20x + 1$이다. 

 

(b). $y = \sin(x) + \sin^{2}(x), (0, 0)$

 

먼저 주어진 함수의 도함수를 구한다. 

 

$$\frac{dy}{dx} = \cos(x) + 2\cos(x)\sin(x) = \cos(x) + \sin(2x)$$

 

다음으로 도함수에 주어진 점을 대입하면 $\frac{dy}{dx}_{(0, 0)} = 1$이 주어진 점에서의 접선의 기울기가 된다. 마지막으로 접선의 방정식을 $y = x + b$라고 할 때 $(0, 0)$을 대입하면 $y$ 절편이 $0$임을 알 수 있다. 따라서, 접선의 방정식은 $y = x$이다. 

 

(c). $y = \sin(\sin(x)), (\pi, 0)$

 

먼저 주어진 함수의 도함수를 구한다. 

 

$$\frac{dy}{dx} = \cos(x)\cos(\sin(x))$$

 

다음으로 도함수에 주어진 점을 대입하면 $\frac{dy}{dx}_{(\pi, 0)} = -1$이 주어진 점에서의 접선의 기울기가 된다. 마지막으로 접선의 방정식을 $y = -x + b$라고 할 때 $(\pi, 0)$을 대입하면 $y$ 절편이 $\pi$임을 알 수 있다. 따라서, 접선의 방정식은 $y = -x + \pi$이다. 

 

(d). $y = x^{2}e^{-x}, (1, \frac{1}{e})$

 

먼저 주어진 함수의 도함수를 구한다. 

 

$$\frac{dy}{dx} = 2xe^{-x} - x^{2}e^{-x} = (2x - x^{2})e^{-x}$$

 

다음으로 도함수에 주어진 점을 대입하면 $\frac{dy}{dx}_{(1, \frac{1}{e})} = \frac{1}{e}$이 주어진 점에서의 접선의 기울기가 된다. 마지막으로 접선의 방정식을 $y = \frac{1}{e}x + b$라고 할 때 $(1, \frac{1}{e})$을 대입하면 $y$ 절편이 $0$임을 알 수 있다. 따라서, 접선의 방정식은 $y = \frac{1}{e}x$이다. 

 

연습문제8. 주어진 함수들에 대해서 접선의 기울기가 0인 모든 점을 구하여라.

 

(a). $f(x) = 2\sin(x) + \sin^{2}(x)$

(b). $g(x) = \sin(2x) - \sin(x)$

 

(a). $f(x) = 2\sin(x) + \sin^{2}(x)$

 

먼저, 주어진 함수의 도함수를 구한다. 

 

$$f^{'}(x) = 2\cos(x) + 2\sin(x)\cos(x) = 2\cos(x)(1 + \sin(x))$$

 

$x = a$일 때 $f^{'}(x) = 0$라고 두고 방정식을 풀어주면 된다. 

 

$$f^{'}(a) = 2\cos(a)(1 + \sin(a)) = 0$$

 

따라서, 두 조건을 만족하는 점을 구하면 된다. 

 

1). $\cos(a) = 0 \rightarrow a = \dots, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots \rightarrow a = \pm \frac{(2n - 1)\pi}{2}$

2). $\sin(a) = -1 \rightarrow a = \dots, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \dots \rightarrow a = \frac{(4n - 1)\pi}{2}$

 

(b). $g(x) = \sin(2x) - \sin(x)$

 

먼저, 주어진 함수의 도함수를 구한다. 

 

$$g^{'}(x) = 2\cos(2x) - \cos(x) = 2(2\cos^{2}(a) - 1) - 2\cos(a) = 4\cos^{2}(a) -2\cos(a) - 2$$

 

$x = a$일 때 $g^{'}(x) = 0$라고 두고 방정식을 풀어주면 된다. 

 

$$g^{'}(a) = 4\cos^{2}(a) - 2\cos(a) - 2 =2(2\cos(a) + 1)(\cos(a) - 1) = 0$$

 

따라서, 두 조건을 만족하는 점을 구하면 된다. 

 

1). $\cos(a) = -\frac{1}{2} \rightarrow a =\frac{2(3n - 1)\pi}{3}$

2). $\cos(a) = 1 \rightarrow a = 2n\pi$

 

연습문제9.  $F(x) = f(g(x))$로 정의되고 $f(-2) = 8, f^{'}(-2) = 4, f^{'}(5) = 3, g(5) = -2$ 그리고 $g^{'}(5) = 6$이라고 할 때 $F^{'}(5)$를 구하여라.

 

$$F^{'}(x) = f^{'}(g(x))g^{'}(x) \rightarrow F^{'}(5) = f^{'}(g(5))g^{'}(5) = 24$$

 

연습문제10. 함수 $y = Ae^{-x} + Bxe^{-x}$가 미분방정식 $y^{''} + 2y^{'} + y  = 0$의 해임을 보여라.

 

1). 일계도함수 : $y^{'} = -Ae^{-x} + (Be^{-x} - Bxe^{-x}) = -Ae^{-x} - Be^{-x}(x - 1)$

2). 이계도함수 : $y^{''} = Ae^{-x} - Be^{-x}(1 - x) - Be^{-x} = Ae^{-x} + Be^{-x}(x - 2)$

 

이제, 일계도함수와 이계도함수를 주어진 미분방정식에 대입한다. 

 

$$\begin{align*} y^{''} + 2y^{'} + y &= (Ae^{-x} + Be^{-x}(x - 2)) + 2(-Ae^{-x} - Be^{-x}(x - 1)) + (Ae^{-x} + Bxe^{-x}) = 0 \end{align*}$$

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)

 

변경사항

22.09.11 : 전체적인 스타일 수정

22.09.11 : 연습문제1-5 추가

22.09.12 : 연습문제6-10 추가