미적분학 - 삼각함수 미분

 안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곱의 미분과 몫의 미분에서는 두 함수의 곱과 나누기의 형태로 주어졌을 때 미분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이에 이어서 삼각함수(Trigometric function)의 미분에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.

 

 삼각함수 미분에 있어서 가장 많이 활용되는 식은 "합차 공식"입니다. 

 

• $\sin{(x \pm y)} = \sin{(x)}\cos{(y)} \pm \sin{(y)}\cos{(x)}$
• $\cos{(x \pm y)} = \cos{(x)}\cos{(y)} \mp \sin{(x)}\sin{(y)}$

 

본격적으로 미분을 구하기 전 삼각함수 미분의 재밌는 특성은 삼각함수도 주기적이지만 그 미분 역시 주기적이라는 것입니다. 

 

 

 이를 토대로 삼각함수 $f(x) = \sin{(x)}$의 도함수를 유도해보도록 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{(x + h)} - \sin{x}}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[\sin{(x)}\cos{(h)} + \cos{(x)}\sin{(h)}\right] - \sin{(x)}}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{\sin{(x)}\cos{(h)} - \sin{(x)}}{h} + \frac{\cos{(x)}\sin{(h)}}{h}\right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0 } \left(\sin{(x)}\frac{\cos{(h)} - 1}{h} + \cos{(x)} \frac{\sin{(h)}}{h} \right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \sin{(x)} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{(h)} - 1}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \cos{(x)} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{(h)}}{h}\\ &= \sin{(x)} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{(h)} - 1}{h} + \cos{(x)} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{(h)}}{h}\end{align*}$$

 

 일단, 저희가 아는 한 위의 마지막 수식까지 유도할 수 있습니다. 이제 남은 것은 $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{(h)} - 1}{h}$과 $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{h}}{h}$의 수렴값을 찾는 것입니다. 여기서, 증명은 생략하고 $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{(h)}}{h} = 1$라는 사실만 알고 진행하도록 하겠습니다. 이를 기반으로 저희는 $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{h} - 1}{h}$를 얻을 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{(h)} - 1}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{\cos{(h)} - 1}{h} \cdot \frac{\cos{(h)} + 1}{\cos{(h)} + 1}\right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos^{2}{(h)} - 1}{h(\cos{(h)} + 1)} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-\sin^{2}{h}}{h(\cos{(h)} + 1)} \\ &= -\lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{\sin{(h)}}{h} \cdot \frac{\sin{(h)}}{\cos{(h)} + 1}\right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{(h)}}{h} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{(h)}}{\cos{(h)} + 1} = - 1 \cdot 0 = 0\end{align*}$$

 

 다시 $f(x) = \sin{(x)}$의 미분 유도로 돌아가면 아래와 같이 정리될 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \sin{(x)} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{(h)} - 1}{h} + \cos{(x)} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{(h)}}{h} \\ &= \sin{(x)} \cdot 0 + \cos{(x)} \cdot 1 = \cos{(x)}\end{align*}$$

 

 따라서 $\frac{d}{dx}(\sin{(x)}) = \cos{(x)}$입니다. 이를 기반으로 더 복잡한 형태의 함수의 도함수까지 유도할 수 있습니다. 

 

예제1. $f(x) = x^{2} \sin{(x)}$의 도함수를 구하여라.

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}(f(x)) &= \frac{d}{dx}(x^{2}) \cdot \sin{(x)} + \frac{d}{dx} (\sin{(x)}) \cdot x^{2} \\ &= 2x\sin{(x)} + x^{2}\cos{(x)}\end{align*}$$

 

이와 유사한 방법으로 $f(x) = \cos{(x)}$의 도함수 역시 유도할 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{(x + h)} - \cos{x}}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[\cos{(x)}\cos{(h)} - \sin{(x)}\sin{(h)}\right] - \cos{(x)}}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{\cos{(x)}\cos{(h)} - \cos{(x)}}{h} - \frac{\sin{(x)}\sin{(h)}}{h}\right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0 } \left(\cos{(x)}\frac{\cos{(h)} - 1}{h} - \sin{(x)} \frac{\sin{(h)}}{h} \right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \cos{(x)} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{(h)} - 1}{h} - \lim_{h \rightarrow 0} \sin{(x)} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{(h)}}{h}\\ &= \cos{(x)} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{(h)} - 1}{h} - \sin{(x)} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{(h)}}{h} = \cos{(x)} \cdot 0 - \sin{(x)} \cdot 1 = -\sin{(x)}\end{align*}$$

 

이제 더 복잡한 삼각함수의 도함수를 유도해보도록 하겠습니다.

 

 먼저, $\tan{(x)}$입니다. $\tan{(x)} = \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}$로 정의되며 저희가 기존에 배웠던 몫의 미분과 기초 삼각함수 미분을 활용하면 쉽게 유도할 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left(\tan{(x)}\right) &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}\right) \\ &= \frac{\cos{(x)} \cdot \frac{d}{dx} \left(\sin{(x)}\right) - \sin{(x)} \cdot \frac{d}{dx} \left(\cos{(x)}\right)}{\cos^{2}{(x)}} \\ &= \frac{\cos{(x)}\cos{(x)} + \sin{(x)}\sin{(x)}}{\cos^{2}{(x)}} \\ &= \frac{1}{\cos^{2}{(x)}} = \sec^{2}{(x)}\end{align*}$$

 

 여기서 $\sec{(x)} = \frac{1}{\cos{(x)}}$로 코사인 함수의 역수 함수를 의미합니다. 이번에는 역수 함수들의 미분을 알아보도록 하겠습니다. $\sin{(x)}, \cos{(x)}, \tan{(x)}$의 역수 함수는 각각 $\csc{(x)}, \sec{(x)}, \cot{(x)}$로 표기합니다.

 

 먼저, $\csc{(x)} = \frac{1}{\sin{(x)}}$의 도함수를 유도해보도록 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left(\csc{(x)}\right) &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\sin{(x)}}\right) \\ &= \frac{-\frac{d}{dx} \left(\sin{(x)}\right)}{\sin^{2}{(x)}} \\ &= \frac{-\cos{(x)}}{\sin^{2}{(x)}} = -\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}} \cdot \frac{1}{\sin{(x)}} \\ &= -\frac{1}{\tan{(x)}} \frac{1}{\sin{(x)}} = -\cot{(x)}\csc{(x)}\end{align*}$$

 

 다음으로 $\sec{(x)} = \frac{1}{\cos{x}}$의 도함수를 유도해보도록 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left(\sec{(x)}\right) &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos{(x)}}\right) \\ &= \frac{-\frac{d}{dx} \left(\cos{(x)}\right)}{\cos^{2}{(x)}} \\ &= \frac{\sin{(x)}}{\cos^{2}{(x)}} = \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}} \cdot \frac{1}{\cos{(x)}} \\ &= \tan{(x)} \frac{1}{\cos{(x)}} = \tan{(x)}\sec{(x)}\end{align*}$$

 

 마지막으로 $\cot{(x)} = \frac{1}{\tan{(x)}}$의 도함수를 유도해보도록 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left(\cot{(x)}\right) &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\tan{(x)}}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}\right) \\ &= \frac{\sin{(x)} \cdot \frac{d}{dx} \left(\cos{(x)}\right) - \cos{(x)} \cdot \frac{d}{dx} \left(\sin{(x)}\right)}{\sin^{2}{(x)}} \\ &= \frac{\sin{(x)} \cdot (-\sin{(x)}) - \cos{(x)} \cdot \cos{(x)}}{\sin^{2}{(x)}} \\ &= \frac{-(\sin^{2}{(x)} + \cos^{2}{(x)})}{\sin^{2}{(x)}} = -\frac{1}{\sin^{2}{(x)}} = -\csc^{2}{(x)}\end{align*}$$

 

따라서 기초 삼각함수부터 고급 삼각함수까지의 미분을 하나로 정리하면 아래와 같습니다. 

 

 

연습문제1. 주어진 함수의 도함수를 구하시오.

 

(a). $f(x) = 3x^{2} - 2\cos(x)$

(b). $f(x) = \sqrt{x}\sin(x)$

(c). $f(x) = \sin(x) + \frac{1}{2}\cot(x)$

(d). $y = 2\csc(x) + 5\cos(x)$

(e). $g(t) = t^{3}\cos(t)$

(f). $g(t) = 4\sec(t) + \tan(t)$

 

(a). $f(x) = 3x^{2} - 2\cos(x) \rightarrow f^{'}(x) = 6x + 2\sin(x)$

 

(b). $f(x) = \sqrt{x}\sin(x) \rightarrow f^{'}(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos(x)$

 

(c). $f(x) = \sin(x) + \frac{1}{2}\cot(x) \rightarrow f^{'}(x) = \cos(x) - \frac{1}{2}\csc^{2}(x)$

 

(d). $y = 2\csc(x) + 5\cos(x) \rightarrow \frac{dy}{dx} = -\csc(x)\cot(x) - 5\sin(x)$

 

(e). $g(t) = t^{3}\cos(t) \rightarrow g^{'}(t) = 3t^{2}\cos(t) - t^{3}\sin(t)$

 

(f). $g(t) = 4\sec(t) + \tan(t) \rightarrow g^{'}(t) = 4\sec(t)\tan(t) + \sec^{2}(t)$

 

연습문제2. 주어진 함수의 도함수를 구하시오.

 

(a). $h(\theta) = \csc(\theta) + e^{\theta}\cot(\theta)$

(b). $y = e^{u}(\cos(u) + cu)$

(c). $y = \frac{x}{2 - \tan(x)}$

(d). $y = \frac{1 + \sin(x)}{x + \cos(x)}$

(e). $f(\theta) = \frac{\sec(\theta)}{1 + \sec(\theta)}$

(f). $y = \frac{1 - \sec(x)}{tan(x)}$

(g). $y = \frac{\sin(x)}{x^{2}}$

(h). $y = \csc(\theta) (\theta + \cot(\theta))$

(i). $f(x) = xe^{x}\csc(x)$

(j). $y = x^{2}\sin(x)\tan(x)$

 

(a). $h(\theta) = \csc(\theta) + e^{\theta}\cot(\theta) \rightarrow h^{'}(\theta) = -\csc(\theta)\cot(\theta) + e^{\theta}\cot(\theta) - e^{\theta}\csc^{2}(\theta)$

 

(b). $y = e^{u}(\cos(u) + cu) \rightarrow \frac{dy}{du} = e^{u}(\cos(u) + cu) + e^{u}(-\sin(u) + c) = e^{u}(\cos(u) - \sin(u) + cu + c)$

 

(c). $y = \frac{x}{2 - \tan(x)} \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{(2 - \tan(x)) + x\sec^{2}(x)}{(2 - \tan(x))^{2}}$

 

(d). $y = \frac{1 + \sin(x)}{x + \cos(x)} \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x)(x + \cos(x)) - (1 + \sin(x))(1 - \sin(x))}{(x + \cos(x))^{2}} = \frac{x\cos(x)}{(x + \cos(x))^{2}}$

 

(e). $f(\theta) = \frac{\sec(\theta)}{1 + \sec(\theta)} \rightarrow f^{'}(\theta) = \frac{\sec(\theta)\tan(\theta)(1 + \sec(\theta)) - \sec(\theta)\sec(\theta)\tan(\theta)}{(1 + \sec(\theta))^{2}} = \frac{\tan(\theta)\sec(\theta)}{(1 + \sec(\theta))^{2}}$

 

(f). $y = \frac{1 - \sec(x)}{tan(x)} \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-\sec(x)\tan(x)\tan(x) - (1 - \sec(x))\sec^{2}(x)}{\tan^{2}(x)} = \frac{\tan^{2}(x)\sec(x) - \sec^{2}(x) + \sec^{3}(x)}{\tan^{2}(x)}$

 

(g). $y = \frac{\sin(x)}{x^{2}} \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}\cos(x) - 2x\sin(x)}{x^{4}} = \frac{x\cos(x) - 2\sin(x)}{x^{3}}$

 

(h). $y = \csc(\theta) (\theta + \cot(\theta)) \rightarrow \frac{dy}{d\theta} = -\csc(\theta)\cot(\theta)(\theta + \cot(\theta)) + \csc(\theta) (1 - \csc^{2}(\theta))$

 

(i). $f(x) = xe^{x}\csc(x) \rightarrow f^{'}(x) = e^{x}\csc(x) + xe^{x}\csc(x) - xe^{x}\csc(x)\cot(x)$

 

(j). $y = x^{2}\sin(x)\tan(x) \rightarrow \frac{dy}{dx} = 2x\sin(x)\tan(x) + x^{2}\cos(x)\tan(x) + x^{2}\sin(x)\sec^{2}(x)$

 

연습문제3. 주어진 함수들과 점에 대한 접선의 방정식을 구하여라.

 

(a). $y = \sec(x), (\frac{\pi}{3}, 2)$

(b). $y = e^{x}\cos(x), (0, 1)$

(c). $y = x + \cos(x), (0, 1)$

(d). $y = \frac{1}{\sin(x) + \cos(x)}, (0, 1)$

 

(a). $y = \sec(x), (\frac{\pi}{3}, 2) \rightarrow y = 2\sqrt{3}x + \left(2 - \frac{2\pi}{\sqrt{3}}\right)$

 

주어진 함수의 도함수는 $\frac{dy}{dx} = \sec(x)\tan(x)$이므로 $m = \sec{\frac{\pi}{3}}\tan(\frac{\pi}{3}) = 2\sqrt{3}$이다. 따라서, 접선의 방정식을 $y = 2\sqrt{3}x + b$라고 했을 때 점 $(\frac{\pi}{3}, 2)$를 대입하여 $y$ 절편을 구하면 $b = 2 - \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$이다. 

 

(b). $y = e^{x}\cos(x), (0, 1) \rightarrow y = x + 1$

 

주어진 함수의 도함수는 $\frac{dy}{dx} = e^{x}(\cos(x) - \sin(x))$이므로 $m = e^{0}(\cos(0) - \sin(0)) = 1$이다. 따라서, 접선의 방정식을 $y = x + b$라고 했을 때 점 $(0, 1)$를 대입하여 $y$ 절편을 구하면 $b = 1$이다. 

 

(c). $y = x + \cos(x), (0, 1) \rightarrow y = x + 1$

 

주어진 함수의 도함수는 $\frac{dy}{dx} = 1 - \sin(x)$이므로 $m = 1 - \sin(0) = 1$이다. 따라서, 접선의 방정식을 $y = x + b$라고 했을 때 점 $(0, 1)$를 대입하여 $y$ 절편을 구하면 $b = 1$이다. 

 

(d). $y = \frac{1}{\sin(x) + \cos(x)}, (0, 1) \rightarrow y = -x + 1$

 

주어진 함수의 도함수는 $\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos(x) - \sin(x)}{(\sin(x) + \cos(x))^{2}}$이므로 $m = -\frac{\cos(0) - \sin(0)}{(\sin(0) + \cos(0))^{2}} = -1$이다. 따라서, 접선의 방정식을 $y = -x + b$라고 했을 때 점 $(0, 1)$를 대입하여 $y$ 절편을 구하면 $b = 1$이다. 

 

연습문제4. $H(\theta) = \theta\sin(\theta)$라고 할 때, $H^{'}(\theta)$와 $H^{''}(\theta)$를 구하여라.

 

1). 일계도함수 : $H^{'}(\theta) = \sin(\theta) + \theta\cos(\theta)$

2). 이계도함수 : $H^{''}(\theta) = \cos(\theta) + \cos(\theta) - \theta\sin(\theta) = 2\cos(\theta) - \theta\sin(\theta)$

 

연습문제5. $f(\frac{\pi}{3}) = 4$이고 $f^{'}(\frac{\pi}{3}) = -2$라고 할 때 $g(x) = f(x)\sin(x)$와 $h(x) = \frac{\cos(x)}{f(x)}$로 정의되는 두 함수에 대해서 $g^{'}(\frac{\pi}{3})$와 $h^{'}(\frac{\pi}{3})$을 구하여라.

 

1). $g^{'}(x) = f^{'}(x)\sin(x) + f(x)\cos(x) \rightarrow g^{'}(\frac{\pi}{3}) = f^{'}(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{3}) + f(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} + 2$

 

2). $h^{'}(x) = \frac{-\sin(x)f(x) - \cos(x)f^{'}(x)}{(f(x))^{2}} \rightarrow h^{'}(\frac{\pi}{3}) = \frac{-\sin(\frac{\pi}{3})f(x) - \cos(\frac{\pi}{3})f^{'}(\frac{\pi}{3})}{(f(\frac{\pi}{3}))^{2}} = \frac{-2\sqrt{3} + 1}{16}$

 

연습문제6. 주어진 극한을 계산하시오.

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{x}$

(b). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(4x)}{\sin(6x)}$

(c). $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\tan(6t)}{\sin(2t)}$

(d). $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos(\theta) - 1}{\sin(\theta)}$

(e). $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\cos(\theta))}{\sec(\theta)}$

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{3x}{x} = 3$

 

(b). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(4x)}{\sin(6x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(4x)}{4x} \cdot \frac{6x}{\sin(6x)} \cdot \frac{4x}{6x} = \frac{2}{3}$

 

(c). $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\tan(6t)}{\sin(2t)} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(6t)}{\cos(6t)\sin(2t)} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(6t)}{6t} \cdot \frac{2t}{\sin(2t)} \frac{1}{\cos(6t)} \cdot \frac{2t}{6t} = \frac{1}{3}$

 

(d). $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos(\theta) - 1}{\sin(\theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{(\cos(\theta) - 1)(\cos(\theta) + 1)}{\sin(\theta)(\cos(\theta) + 1)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos^{2}(\theta) - 1}{\sin(\theta)(\cos(\theta) + 1)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} -\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta) + 1} = 0$

 

(e). $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\cos(\theta))}{\sec(\theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\cos(\theta))}{\cos(\theta)} \cdot \frac{\cos(\theta)}{\sec(\theta)} = 1$

 

연습문제7. 주어진 극한을 계산하시오.

 

(a). $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin^{2}(3t)}{t^{2}}$

(b). $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta + \tan(\theta)}$

(c). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x^{2})}{x}$

(d). $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1 - \tan(x)}{\sin(x) - \cos(x)}$

(e). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin(x - 1)}{x^{2} + x - 2}$

 

(a). $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin^{2}(3t)}{t^{2}} = \lim_{t \rightarrow 0} \left(\frac{\sin(3t)}{3t}\right)^{2} \cdot \frac{9t^{2}}{t^{2}} = 9$

 

(b). $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta + \tan(\theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} \cdot \frac{\theta}{\theta + \tan(\theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{1 + \frac{\tan(\theta)}{\theta}} = \frac{1}{2}$

 

(c). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x^{2})}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} x = 0$

 

(d). $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1 - \tan(x)}{\sin(x) - \cos(x)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} -\frac{\frac{\sin(x) - \cos(x)}{\cos(x)}}{\sin(x) - \cos(x)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} -\frac{1}{\cos(x)} = -\sqrt{2}$

 

(e). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin(x - 1)}{x^{2} + x - 2} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin(x - 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{(x + 2)(x - 1)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{3}$

 

연습문제8. 아래 그림과 같이 선 $PQ$를 지름으로 가지는 반원과 이등변 삼각형 $\Delta PQR$이 있다고 하자. $A(\theta)$와 $B(\theta)$를 각각 반원과 이등변삼각형의 넓이라고 했을 때 $\lim_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{A(\theta)}{B(\theta)}$를 구하여라.

 

 

이등변삼각형의 꼭지점 $R$에서 선분 $PQ$로의 수선의 발을 $M$이라고 할 때 두 선분 $PQ$와 $RM$은 서로 수직이므로 삼각비의 정의에 의해 반원의 반지름은 $10\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$임을 알 수 있다.  따라서, $A(\theta) = \left(10\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^{2} \pi \frac{1}{2} = 50\pi\sin^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)$이다. 

 

다음으로 이등변삼각형의 높이는 $10\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$이므로 삼각형의 넓이는 $B(\theta) = \frac{1}{2} \cdot 10\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot 20\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 200\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$이다. 

 

$$\begin{align*} \lim_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{A(\theta)}{B(\theta)} &= \lim_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{50\pi\sin^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}{200\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)} \\ &= \lim_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{4\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)} \\ &= \lim_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\frac{\theta}{2}} \cdot \frac{\frac{\theta}{2}}{4\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)} = 0 \end{align*}$$

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)

 

변경사항

22.09.06 : 전체적인 스타일 수정

22.09.06 : 연습문제1-5 추가

22.09.07 : 연습문제6-8 추가