미적분학 - 다항함수와 지수함수의 미분

 안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수 미분에서는 기존의 미분을 구하는 법을 확장하여 일반적인 함수의 미분을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 하지만 항상 정의를 사용하여 미분하게 되면 비효율적이기 때문에 몇 가지 대표적인 함수들에 대한 미분은 미리 정의해놓고 사용하는 편입니다. 특히 오늘은 가장 대표적인 다항함수와 지수함수의 미분을 일반적으로 어떻게 하는 지 알아보도록하겠습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.

 

 정의1. 상수함수 (Constant Functions)

상수함수은 $f(x) = c$인 함수로 정의된 모든 정의역에서 동일한 값을 유지하는 함수이다. 

 

 정리1. 상수함수의 미분

$\forall x \in \text{dom}(f)$에 대해서 상수함수 $f(x) = c$일 때 $f^{'}(x) = 0$이다.

 

증명

해당 정리의 증명은 아주 간단합니다. 저희가 보았던 함수 미분의 정의만 기억하면 쉽게 증명할 수 있죠. 함수 $f$가 정의된 모든 정의역에 대해서 $f(x) = c$라고 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{c - c}{h} = 0\end{align*}$$

 

앞으로 증명할 몇 가지 미분 규칙들은 모두 함수 미분의 정의를 적절하게 활용하면 쉽게 증명할 수 있습니다.

 

 정의2. 거듭제곱함수( Power Function)

거듭제곱함수 $f(x) = x^{a}$로 $a$ 값의 범위에 따라 그 모양이 변하는 함수이다. 

 

 정리2. 거듭제곱함수의 미분 

1). $f(x) = x \Rightarrow f^{'}(x) = 1$

2). $f(x) = x^{n} \Rightarrow f^{'}(x) = nx^{n - 1}$

 

증명

상수함수의 미분과 마찬가지로 정의를 이용하면 쉽게 증명할 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x + h) - x}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{h} = 1\end{align*}$$

 

$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x + h)^{n} - x^{n}}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[x^{n} + nx^{n - 1}h + \frac{n(n - 1)}{2}x^{n - 2}h^{2} + \cdots + nxh^{n - 1} + h^{n}\right] - x^{n}}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{nx^{n- 1} + \cdots + h^{n}}{n} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left(nx^{n - 1} + \cdots + h^{n - 1}\right) = nx^{n - 1}\end{align*}$$

 

 정리3. 미분의 성질

 

1). $\frac{d}{dx}\left[cf(x)\right] = c\frac{d}{dx}f(x)$

2). $\frac{d}{dx}\left[f(x) + g(x)\right] = \frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x)$

 

증명

해당 정리들은 앞으로 만날 새로운 함수에 대한 미분을 할 때 쉽게 미분할 수 있는 도구로 사용될 수 있습니다. 

 

1). 증명 : $g(x) = cf(x)$라고 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} g^{'}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{cf(x + h) - cf(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} c \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= c\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = cf^{'}(x)\end{align*}$$

 

2). 증명 : $F(x) = f(x) + g(x)$라고 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} F^{'}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[f(x + h) + g(x + h)\right] - \left[f(x) + g(x)\right]}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[f(x + h) - f(x)\right] + \left[g(x + h) - g(x)\right]}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(x + h) - g(x)}{h}\right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} = f^{'}(x) + g^{'}(x)\end{align*}$$

 

 

 정의4. 지수함수(Exponential Function)

지수함수 $f(x) = a^{x}$ 꼴의 함수이다. 

 

 정리4. 지수함수의 미분

 

$f(x) = a^{x} \Rightarrow f^{'}(x) = f^{'}(0)a^{x}$

 

증명

 

$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x + h} - a^{x}}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x}(a^{h} - 1)}{h} \\ &= a^{x}\lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{h} - 1}{h} = f^{'}(0)a^{x}\end{align*}$$

 

연습문제1. 각 주어진 함수들의 미분하라.

 

(a). $f(x) = 186.5$

(b). $f(t) = 2 - \frac{2}{3}t$

(c). $f(x) = x^{3} - 4x + 6$

(d). $f(t) = \frac{1}{4}(t^{4} + 8)$

(e). $f(x) = x^{-\frac{5}{2}}$

(f). $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

 

(a). $f(x) = 186.5 \rightarrow f^{'}(x) = 0$

 

(b). $f(t) = 2 - \frac{2}{3}t \rightarrow f^{'}(t) = -\frac{2}{3}$

 

(c). $f(x) = x^{3} - 4x + 6 \rightarrow f^{'}(x) = 3x^{2} - 4$

 

(d). $f(t) = \frac{1}{4}(t^{4} + 8) \rightarrow f^{'}(t) = t^{3}$

 

(e). $f(x) = x^{-\frac{5}{2}} \rightarrow f^{'}(x) = -\frac{5}{2}x^{-\frac{7}{2}}$

 

(f). $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^{3} \rightarrow V^{'}(r) = 4\pi r^{2}$

 

연습문제2. 각 주어진 함수들과 점에 대한 접선의 방정식과 접선의 방정식에 수직인 법선을 구하여라.

 

(a). $y = \sqrt[4]{x}, (1, 1)$

(b). $y = x^{4} + 2x^{2} - x, (1, 2)$

(c). $y = x^{4} + 2e^{x}, (0, 2)$

(d). $y = (1 + 2x)^{2}, (1, 9)$

 

(a). $y = \sqrt[4]{x}, (1, 1)$

 

먼저, 주어진 함수에 대한 미분을 통해 접선의 방정식 $y = mx + b$의 기울기를 구한다. 

 

$$m = \frac{dy}{dx}_{x = 1} = (\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}})_{x = 1} = \frac{1}{4}$$

 

이제, 접선의 방정식의 $y$ 절편을 접선이 지나는 점을 대입하여 구한다. 

 

$$y = \frac{1}{4}x + b \rightarrow 1 = \frac{1}{4} + b \rightarrow b = \frac{3}{4}$$

 

따라서, 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식은 $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$이다. 마지막으로 법선을 구하기 위해 수직인 두 직선의 기울기의 곱이 -1이라는 성질을 이용하면 법선의 기울기는 $-1$임을 알 수 있으므로 $y = -x + b$에서 $(1, 1)$을 대입하여 법선의 방정식을 구할 수 있다. 

 

$$y = -x + b \rightarrow 1 = -1 + b \rightarrow b = 2$$

 

따라서, 주어진 함수와 점에 대한 법선의 방정식은 $y = -x + 2$이다. 

 

(b). $y = x^{4} + 2x^{2} - x, (1, 2)$

 

먼저, 주어진 함수에 대한 미분을 통해 접선의 방정식 $y = mx + b$의 기울기를 구한다. 

 

$$m = \frac{dy}{dx}_{x = 1} = (4x^{3} + 4x - 1)_{x = 1} = 7$$

 

이제, 접선의 방정식의 $y$ 절편을 접선이 지나는 점을 대입하여 구한다. 

 

$$y = 7x + b \rightarrow 2 = 7 + b \rightarrow b = -5$$

 

따라서, 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식은 $y = 7x - 5$이다. 마지막으로 법선을 구하기 위해 수직인 두 직선의 기울기의 곱이 -1이라는 성질을 이용하면 법선의 기울기는 $-\frac{1}{7}$임을 알 수 있으므로 $y = -\frac{1}{7}x + b$에서 $(1, 2)$을 대입하여 법선의 방정식을 구할 수 있다. 

 

$$y = -\frac{1}{7}x + b \rightarrow 2 = -\frac{1}{7} + b \rightarrow b = \frac{15}{7}$$

 

따라서, 주어진 함수와 점에 대한 법선의 방정식은 $y = -\frac{1}{7}x + \frac{15}{7}$이다. 

 

(c). $y = x^{4} + 2e^{x}, (0, 2)$

 

먼저, 주어진 함수에 대한 미분을 통해 접선의 방정식 $y = mx + b$의 기울기를 구한다. 

 

$$m = \frac{dy}{dx}_{x = 0} = (4x^{3} + 2e^{x})_{x = 0} = 2$$

 

이제, 접선의 방정식의 $y$ 절편을 접선이 지나는 점을 대입하여 구한다. 

 

$$y = 2x + b \rightarrow 2 = 2 + b \rightarrow b = 0$$

 

따라서, 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식은 $y = 2x$이다. 마지막으로 법선을 구하기 위해 수직인 두 직선의 기울기의 곱이 -1이라는 성질을 이용하면 법선의 기울기는 $-\frac{1}{2}$임을 알 수 있으므로 $y = -\frac{1}{2}x + b$에서 $(0, 2)$을 대입하여 법선의 방정식을 구할 수 있다. 

 

$$y = -\frac{1}{2}x + b \rightarrow 2 = b \rightarrow b = 2$$

 

따라서, 주어진 함수와 점에 대한 법선의 방정식은 $y = -\frac{1}{2}x + 2$이다. 

 

(d). $y = (1 + 2x)^{2}, (1, 9)$

 

먼저, 주어진 함수에 대한 미분을 통해 접선의 방정식 $y = mx + b$의 기울기를 구한다. 

 

$$m = \frac{dy}{dx}_{x = 1} = 4(1 + 2x)_{x = 1} = 12$$

 

이제, 접선의 방정식의 $y$ 절편을 접선이 지나는 점을 대입하여 구한다. 

 

$$y = 12x + b \rightarrow 9 = 12 + b \rightarrow b = -3$$

 

따라서, 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식은 $y = 12x - 3$이다. 마지막으로 법선을 구하기 위해 수직인 두 직선의 기울기의 곱이 -1이라는 성질을 이용하면 법선의 기울기는 $-\frac{1}{12}$임을 알 수 있으므로 $y = -\frac{1}{12}x + b$에서 $(1, 9)$을 대입하여 법선의 방정식을 구할 수 있다. 

 

$$y = -\frac{1}{12}x + b \rightarrow 9 = -\frac{1}{12}b \rightarrow b = \frac{109}{12}$$

 

따라서, 주어진 함수와 점에 대한 법선의 방정식은 $y = -\frac{1}{12}x + \frac{109}{12}$이다. 

 

 

연습문제3. 주어진 함수들의 미분을 구하여라.

 

(a). $f(x) = e^{x} - 5x$

(b). $f(x) = 3x^{5} - 20x^{3} + 50x$

(c). $f(x) = 3x^{15} - 5x^{3} + 3$

(d). $f(x) = x + \frac{1}{x}$

 

(a). $f(x) = e^{x} - 5x \rightarrow f^{'}(x) = e^{x} - 5$

 

(b). $f(x) = 3x^{5} - 20x^{3} + 50x \rightarrow f^{'}(x) = 15x^{4} - 60x^{2} + 50$

 

(c). $f(x) = 3x^{15} - 5x^{3} + 3 \rightarrow f^{'}(x) = 45x^{4} - 15x^{2}$

 

(d). $f(x) = x + \frac{1}{x} = x + x^{-1} \rightarrow f^{'}(x) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

 

연습문제4. 주어진 함수들의 일계도함수와 이계도함수를 구하여라.

 

(a). $f(x) = x^{4} - 3x^{3} + 16x$

(b). $G(r) = \sqrt{r} + \sqrt[3]{r}$

 

(a). $f(x) = x^{4} - 3x^{3} + 16x$

 

1). 일계도함수 : $f^{'}(x) = 4x^{3} - 9x^{2} + 16$ 

2). 이계도함수 : $f^{''}(x) = 12x^{2} - 18x$

 

(b). $G(r) = \sqrt{r} + \sqrt[3]{r} = r^{\frac{1}{2}} + r^{\frac{1}{3}}$

 

1). 일계도함수 :$G^{'}(r) = \frac{1}{2}r^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{3}r^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{r}} + \frac{1}{3\sqrt[3]{r^{2}}}$

2). 이계도함수 : $G^{''}(r) = -\frac{1}{4}r^{-\frac{3}{2}} - \frac{2}{9}r^{-\frac{5}{3}} = -\frac{1}{4r\sqrt{r}} - \frac{2}{9r\sqrt[3]{r^{2}}}$

 

연습문제5. 곡선 $y = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 1$의 접선들 중 기울기가 수평인 점을 찾으시오.

 

$\frac{dy}{dx} = 6x^{2} + 6x - 12 = 0$라고 하면 $x = 1$과 $x = -2$를 얻을 수 있다. 따라서, 두 점 $(1, -6)$과 $(-2, 21)$에서 접선이 수평하다. 

 

연습문제6. $P(2) = 5, P^{'}(2) = 3$ 그리고 $P^{''}(2) = 2$를 만족하는 이차 다항식 $P$를 구하여라.

 

이차다항식 $P(x) = ax^{2} + bx + c$라고 하자. 이때, $P^{'}(x) = 2ax + b$이고 $P^{''}(x) = 2a$이다. 주어진 조건에 의해 $P^{''}(2) = 2a = 2$이므로 $a = 1$이고 $P^{'}(2) = 4a + b = 4 + b = 3$이므로 $b = -1$이다. 마지막으로 $P(2) = 4a + 2b + c = 4 - 2 + c = 2 + c = 5$이므로 $c = 3$이다. 따라서, 조건에 맞는 이차다항식은 $P(x) = x^{2} - x + 3$이다. 

 

연습문제7. 두 점 $(-2, 6)$과 $(2, 0)$에서 수평인 기울기를 같은 3차 다항식 $Q(x)$를 구하여라.

 

삼차다항식 $Q(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$라고 하자. 이때, $Q^{'}(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$이고 두 점 $(-2, 6)$과 $(2, 0)$에서 기울기가 0이므로 아래의 연립방정식을 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{cases} &Q^{'}(-2) = 12a - 4b + c = 0 \\ &Q^{'}(2) = 12a + 4b + c = 0 \\ &Q(-2) = -8a + 4b - 2c + d = 6 \\ &Q(2) = 8a + 4b + 2c + d = 0\end{cases}$$

 

위 연립방정식을 풀면, $a = \frac{3}{16}, b = 0, c = -\frac{9}{4}, d = 3$을 얻을 수 있다. 따라서, 조건에 맞는 삼차다향식은 $Q(x) = \frac{3}{16}x^{3} - \frac{9}{4}x + 3$이다. 

 

연습문제8. $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{1000} - 1}{x - 1}$을 구하여라.

 

$f(x) = x^{1000}$이라고 하자. 그러면 주어진 식을 아래와 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{1000} - 1}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f^{'}(1) = 1000$$

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)

 

변경사항

22.08.30 : 전체적인 스타일 수정

22.08.30 : 연습문제1-5 추가

22.08.31 : 연습문제6-8 추가