미적분학 - 곱의 미분과 몫 미분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다항함수와 지수함수의 미분에서는 다항함수와 지수함수의 미분 규칙에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 함수끼리 곱셈의 미분과 몫의 미분을 계산하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.

 

 정리1. 곱의 미분 (Product Differentiation Rule)

만약 $f$와 $g$가 모두 미분가능하면 아래의 식을 만족한다.

$$\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] = f(x)\frac{d}{dx}\left[g(x)\right] + g(x)\frac{d}{dx}\left[f(x)\right]$$

 

 

예제1. $f(x) = xe^{x}$일 때, $f^{'}(x)$과 $f^{n}(x)$을 구하여라.

1). $$\begin{align*} f^{'}(x) &= \frac{d}{dx}(xe^{x}) = x\frac{d}{dx}(e^{x}) + e^{x} \frac{d}{dx}(x) \\ &= xe^{2} + e^{x} \cdot 1 = (x + 1)e^{x}\end{align*}$$

 

2). $$\begin{align*} f^{''}(x) &= \frac{d}{dx}((x + 1)e^{x}) = (x + 1)\frac{d}{dx}(e^{x}) + e^{x} \frac{d}{dx}(x + 1) \\ &= (x + 1)e^{2} + e^{x} \cdot 1 = (x + 2)e^{x}\end{align*}$$

 

$$\begin{align*} f^{'''}(x) &= \frac{d}{dx}((x + 2)e^{x}) = (x + 2)\frac{d}{dx}(e^{x}) + e^{x} \frac{d}{dx}(x + 2) \\ &= (x + 2)e^{2} + e^{x} \cdot 1 = (x + 3)e^{x}\end{align*}$$

 

따라서, $f^{''}(x) = (x + 2)e^{x}$이고 $f^{'''}(x) = (x + 3)e^{x}$이기 때문에 $f^{(n)}(x) = (x + n)e^{x}$이다. 

 

 정리2. 몫의 미분 (Quotient Differentiation Rule)

 

만약 $f$와 $g$가 모두 미분가능하면 아래의 식을 만족한다. 

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{g(x)\frac{d}{dx}\left[f(x)\right] - f(x)\frac{d}{dx}\left[g(x)\right]}{\left[g(x)\right]^{2}}$$

 

 

예제2. $f(x) = \frac{e^{x}}{1 + x^{2}}$일 때, $f^{'}(x)$를 구하여라.

$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \frac{(1 + x^{2})\frac{d}{dx}(e^{x})- e^{x} \frac{d}{dx}(1 + x^{2})}{(1 + x^{2})^{2}} \\ &= \frac{(1 + x^{2})e^{x} - 2xe^{x}}{(1 + x^{2})^{2}} = \frac{e^{x}(1 - x)^{2}}{(1 + x^{2})^{2}} \end{align*}$$

 

연습문제1. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.

 

(a). $f(x) = (x^{3} + 2x)e^{x}$

(b). $y = \frac{e^{x}}{x}$

(c). $g(x) = \frac{3x - 1}{2x + 1}$

(d). $V(x) = (2x^{3} + 3)(x^{4} - 2x)$

(e). $Y(u) = (u^{-2} + u^{-3})(u^{5} - 2u^{2})$

(f). $F(y) = \left( \frac{1}{y^{2}} - \frac{3}{y^{4}} \right)(y + 5y^{3})$

 

(a). $f(x) = (x^{3} + 2x)e^{x}$

 

$$\begin{align*} f^{'}(x) = (3x^{2} + 2)e^{x} + (x^{3} + 2x)e^{x} &= (x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2)e^{x} \end{align*}$$

 

(b). $y = \frac{e^{x}}{x}$

 

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} = \frac{e^{x}x} - 2xe^{x}{x^{4}} &= \frac{(x - 2)e^{x}}{x^{3}} \end{align*}$$

 

(c). $g(x) = \frac{3x - 1}{2x + 1}$

 

$$\begin{align*} g^{'}(x) = \frac{2(3x - 1) - 3(2x + 1)}{(2x + 1)^{2}} &= -\frac{5}{(2x + 1)^{2}} \end{align*}$$

 

(d). $V(x) = (2x^{3} + 3)(x^{4} - 2x)$

 

$$\begin{align*} V^{'}(x) = 6x^{2}(x^{4} - 2x) + (4x^{3} - 2)(2x^{3} + 3) \end{align*}$$

 

(e). $Y(u) = (u^{-2} + u^{-3})(u^{5} - 2u^{2})$

 

$$\begin{align*} Y^{'}(u) = (-2u^{-3} - 3u^{-4})(u^{5} - 2u^{2}) + (u^{-2} + u^{-3})(5u^{4} - 4u) \end{align*}$$

 

(f). $F(y) = \left( \frac{1}{y^{2}} - \frac{3}{y^{4}} \right)(y + 5y^{3})$

 

$$\begin{align*} F^{'}(y) = (-2y^{-3} + 12y^{-5})(y + 5y^{3}) + (y^{-2} - 3y^{-4})(1 +15y^{2}) \end{align*}$$

 

연습문제2. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.

 

(a). $g(x) = \sqrt{x}e^{x}$

(b). $y = \frac{e^{x}}{1 + x}$

(c). $f(t) = \frac{2t}{4 + t^{2}}$

(d). $y = \frac{x + 1}{x^{3} + x - 2}$

(e). $y = \frac{t}{(t - 1)^{2}}$

(f). $y = \frac{1}{s + ke^{s}}$

 

(a). $g(x) = \sqrt{x}e^{x}$

 

$$\begin{align*} g^{'}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}e^{x} + \sqrt{x}e^{x} \end{align*}$$

 

(b). $y = \frac{e^{x}}{1 + x}$

 

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} = \frac{e^{x}(1 + x) - e^{x}}{(1 + x)^{2}} &= \frac{xe^{x}}{(1 + x)^{2}} \end{align*}$$

 

(c). $f(t) = \frac{2t}{4 + t^{2}}$

 

$$\begin{align*} f^{'}(t) = \frac{2(4 + t^{2}) - 2t \cdot 2t}{(4 + t^{2})^{2}} &= \frac{(8 + 2t^{2}) - 4y^{2}}{(4 + t^{2})^{2}} \\ &= \frac{2(2 - t)(2 + t)}{(4 + t^{2})^{2}} \end{align*}$$

 

(d). $y = \frac{x + 1}{x^{3} + x - 2}$

 

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} = \frac{(x^{3} + x - 2) - (x + 1)(3x^{2} + 1)}{(x^{3} + x - 2)^{2}} &= \frac{(x^{3} + x - 2) - (3x^{3} + 3x^{2} + x + 1)}{(x^{3} + x - 2)^{2}} \\ &= \frac{-2x^{3} - 3x^{2} - 3}{(x^{3} + x - 2)^{2}} \end{align*}$$

 

(e). $y = \frac{t}{(t - 1)^{2}}$

 

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} = \frac{(t - 1)^{2}  - 2(t - 1)t}{(t - 1)^{4}} &= \frac{(t^{2} - 2t + 1) - 2(t^{2} - t)}{(t - 1)^{4}} \\ &= \frac{-t^{2} + 1}{(t - 1)^{4}} \\ &= -\frac{(t - 1)(t + 1)}{(t - 1)^{4}} \\ &= -\frac{t + 1}{(t - 1)^{3}} \end{align*}$$

 

(f). $y = \frac{1}{s + ke^{s}}$

 

$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} = -\frac{1 + ke^{s}}{(s + ke^{s})^{2}}\end{align*}$$

 

 

연습문제3. 주어진 함수들의 일계도함수와 이계도함수를 구하여라.

 

(a). $f(x) = x^{4}e^{x}$

(b). $f(x) = x^{5/2}e^{x}$

(c). $f(x) = \frac{x^{2}}{1 + 2x}$

(d). $f(x) = \frac{x}{3 + e^{x}}$

 

(a). $f(x) = x^{4}e^{x}$

 

1). 일계도함수 : $f^{'}(x) = 4x^{3}e^{x} + x^{4}e^{x} = (4 + x)x^{3}e^{x}$

2). 이계도함수 : $f^{''}(x) = (12x^{2}e^{x} + 4x^{3}e^{x}) + (4x^{3}e^{x} + x^{4}e^{x})  = (12x^{2} + 8x^{3} + x^{4})e^{x} = (12 + 8x + x^{2})x^{2}e^{x}$

 

(b). $f(x) = x^{5/2}e^{x}$

 

1). 일계도함수 : $f^{'}(x) = \frac{5}{2}e^{3/2}e^{x} + x^{5/2}e^{x} = \left( \frac{5}{2} + x \right)x^{3 / 2} e^{x}$

2). 이계도함수 : $f^{''}(x) = \frac{15}{4}x^{1 / 2}e^{x} + \frac{5}{2}x^{3 / 2}e^{x} + \frac{5}{2}x^{3 / 2}e^{x} + x^{5 / 2}e^{x} = \left( \frac{15}{4} + 5x + x^{2} \right)x^{1/2}e^{x} $

 

(c). $f(x) = \frac{x^{2}}{1 + 2x}$

 

1). 일계도함수 : $f^{'}(x) = \frac{2x(1 + 2x) - 2x^{2}}{(1 + 2x)^{2}} = \frac{2x + 4x^{2} - 2x^{2}}{(1 +2x)^{2}} = \frac{2x + 2x^{2}}{(1 + 2x)^{2}}$

2). 이계도함수 : $f^{''}(x) = \frac{(2 + 4x)(1 + 2x^{2})^{2} - 4(1 + 2x)(2 + 2x^{2})}{(1 + 2x)^{4}} $

 

(d). $f(x) = \frac{x}{3 + e^{x}}$

 

1). 일계도함수 : $f^{'}(x) = \frac{(3 + e^{x}) - xe^{x}}{(3 + e^{x})^{2}} = \frac{3 + (1 - x)e^{x}}{(3 + e^{x})^{2}}$

2). 이계도함수 : $f^{''}(x) = \frac{(-e^{x} - xe^{x})(3 + e^{x}) - 2e^{x}(3 + e^{x})(3 + (1 - x)e^{x})}{(3 + e^{x})^{4}} $

 

연습문제4. 주어진 함수와 점에서의 접선의 방정식을 구하여라.

 

(a). $y = \frac{2x}{x + 1}, (1, 1)$

(b). $y = \frac{e^{x}}{x}, (1, e)$

 

(a). $y = \frac{2x}{x + 1}, (1, 1)$

 

STEP1. 주어진 점에서의 접선의 기울기 구하기.

먼저, $\frac{dy}{dx}$를 구한다. 

 

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x + 1) - 2x}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{(x + 1)^{2}}$$

 

위 식에서 $(1, 1)$을 대입한 접선의 기울기는 $m = \frac{1}{2}$이다. 

 

STEP2. 접선의 $y$ 절편 구하기.

직선의 방정식은 $y = mx + b$이므로 주어진 함수의 해당 점에서의 접선의 방정식은 $y = \frac{1}{2}x + b$이다. 이제 접선의 $y$ 절편을 구해야하므로 접선이 점 $(1, 1)$을 지나간다는 것을 활용하면 $1 = \frac{1}{2} + b \rightarrow b = \frac{1}{2}$이다. 따라서, 접선의 방정식은 $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$이다. 

 

(b). $y = \frac{e^{x}}{x}, (1, e)$

 

STEP1. 주어진 점에서의 접선의 기울기 구하기.

먼저, $\frac{dy}{dx}$를 구한다. 

 

$$\frac{dy}{dx} = \frac{xe^{x} - e^{x}}{x^{2}} = \frac{(x - 1)e^{x}}{x^{2}}$$

 

위 식에서 $(1, e)$을 대입한 접선의 기울기는 $m = 0$이다. 

 

STEP2. 접선의 $y$ 절편 구하기.

직선의 방정식은 $y = mx + b$이므로 주어진 함수의 해당 점에서의 접선의 방정식은 $y = b$이다. 이제 접선의 $y$ 절편을 구해야하므로 접선이 점 $(1, e)$을 지나간다는 것을 활용하면 $e = b \rightarrow b = e$이다. 따라서, 접선의 방정식은 $y = e$이다. 

 

위와 같이 접선의 방정식의 기울기가 0인 경우, 수평접선 (Horizontal Tangent Line)이라고 한다. 

 

연습문제5. $g(x) = \frac{x}{e^{x}}$라고 할 때 $g^{(n)}(x)$를 구하여라.

 

이와 같은 문제는 직접 함수를 미분해보면서 규칙성을 찾아야한다. 

 

$$\begin{align*} g(x) &= \frac{x}{e^{x}} \\ g^{'}(x) &= \frac{e^{x} - xe^{x}}{e^{2x}} = \frac{1 - x}{e^{x}} \\ g^{''}(x) &= \frac{-e^{x} - (1 - x)e^{x}}{e^{2x}} = \frac{x - 2}{e^{x}} \\ g^{'''}(x) &= \frac{e^{x} - (x - 2)e^{x}}{e^{2x}} = \frac{3 - x}{e^{x}}  \end{align*}$$

 

함수 $g$를 3번 정도 미분해보면 분모는 항상 $e^{x}$임을 알 수 있다. 이때, 변화하는 부분은 분자로 미분의 횟수가 늘어남에 따라 $1 - x \rightarrow x - 2 \rightarrow 3 - x \rightarrow \cdots$가 됨을 볼 수 있다. 따라서, $n$번째 미분을 하게 되면 $(-1)^{n}(x - n)$이 됨을 알 수 있다. 

 

$$g^{(n)}(x) = \frac{(-1)(x - n)}{e^{x}}$$

 

 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)

 

변경사항

22.09.02 : 전체적인 스타일 수정

22.09.05 : 연습문제1-5 추가