안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한대 극한에서는 $x \rightarrow \infty$이거나 $x \rightarrow -\infty$일 때 $\pm \infty$로 발산하는 경우와 이에 대한 정확한 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미적분학의 꽃이라고 할 수 있는 미분에 대해서 간단하게 설명해보도록 하겠습니다.
미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.
1. 접선 (Tangent)
직교평면에 어떤 곡선 $C$가 있다고 가정하겠습니다. 그리고 저희는 이 곡선이 $y = f(x)$로 나타낼 수 있다고 하면 점 $P(a, f(a))$에서 곡선 $C$의 접선(Tangent)를 찾는 것이 목표입니다.
문제를 간단하게 하기 위해서 일단 점 $P$ 근방의 임의의 점 $Q(x, f(x))$를 고려해보도록 하겠습니다. 이때, $Q$는 $P$의 근방이기 때문에 $x \neq a$이여야 합니다. 그러면 저희는 두 개의 점을 얻었기 때문에 두 점을 지나는 직선의 방정식의 기울기를 쉽게 얻을 수 있습니다.
$$m_{PQ} = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$
저희가 지금까지 극한을 배워왔으니 점 $Q$를 $P$로 무한히 가깝게 접근시키면 어떻게 될까요? 일단, 점 $Q$는 현재 $x$에 머무르고 있기 때문에 $a$를 향해 이동시키면 $x \rightarrow a$가 됩니다. 이를 정리하면 아래와 같이 쓸 수 있겠네요.
$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = m$$
물론!! 수렴할지 안할지는 아직은 모르겠지만 지금은 어떤 수 $m$으로 수렴한다고 가정하겠습니다. 즉, 두 점을 지나는 직선의 기울기였던 $m_{PQ}$에서 $Q$를 $P$로 접근시켰을 때의 기울기가 $m$이 됩니다. 그리고 저희는 이 $m$을 접선(Tangent)의 기울기라고 부릅니다.
정의1. 접선의 기울기 (Tangent)
곡선 $C$가 $y = f(x)$로 나타날 때 점 $P(a, f(a))$에서의 접선의 기울기는 수렴한다면 $m = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$이다.
예제1. 포물선 $y = x^{2}$의 점 $P(1, 1)$에서의 접선의 기울기를 구하여라.
$$\begin{align*} m &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x) - f(1)}{x- 1} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow 1} (x + 1) = 2\end{align*}$$
여기서 곡선의 기울기를 다르게 표현할 수 있습니다. $h = x - a$이라고 정의한다면 $x = a + h$라고 할 수 있습니다. 따라서 점 $P$와 $Q$를 지나는 직선의 기울기는 아래와 같이 다시 표현됩니다.
$$m_{PQ} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$
그리고 $x \rightarrow a$의 극한을 취한다는 것은 $h \rightarrow 0$과 동치이기 때문에 곡선의 기울기 $m$은 아래과 같이 표현됩니다.
$$m = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$
예제2. 쌍곡선 $y = \frac{3}{x}$의 점 $P(3, 1)$에서의 접선을 구하여라.
$$\begin{align*} m &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(3 + h) - f(3)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{3}{3 + h} - 1}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{3- (3 + h)}{3 + h}}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{h(3 + h)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{3 + h} = -\frac{1}{3}\end{align*}$$
$y = \frac{3}{x}$의 점 $P(3, 1)$에서의 접선의 기울기가 $-\frac{1}{3}$이기 때문에 접선을 구하기 위해서는 $y = -\frac{1}{3}x + b$이므로 $b$만 구하면 된다. 해당 직선은 점 $P$를 지나기 때문에 $P$의 좌표를 대입하여 방정식을 계산한다.
$$1 = -1 + b \Rightarrow b = 2$$
따라서, 접선은 $y = -\frac{1}{3}x + 2$ 또는 $3x + y - 6 = 0$이다.
2. 미분 (Derivative)
그렇다면 미분은 무엇일까요? 미분은 접선과 아주 큰 관련이 있습니다. 이전 절에서 설명드린 접선은 단순히 한 개의 점에서의 기울기를 구하는 작업이였다면 미분은 주어진 함수의 모든 정의역에서의 접선의 기울기를 구하는 작업으로 좀 더 일반화되었습니다. 따라서 함수의 미분을 구하는 과정 자체는 접선의 기울기를 구하는 것과 큰 차이점이 없습니다. 다만 점 $P$가 임의의 점이라는 것이죠.
정의2. 함수의 미분 (Derivative)
함수 $f$의 $x = a$에서의 미분 $f^{'}(a)$는 극한이 존재한다면 아래와 같이 정의된다.
$$f^{'}(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$
예제3. 함수 $f(x) = x^{2} - 8x + 9$의 $x = a$에서의 미분을 구하여라.
$$\begin{align*} f^{'}(a) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[(a + h)^{2} -8(a + h) + 9\right] - \left[a^{2} - 8a + 9\right]}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{2} + 2ah + h^{2} -8a -8h + 9 - a^{2} + 8a - 9}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2ah + h^{2} -8h}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} (2a + h - 8) = 2a - 8\end{align*}$$
연습문제1. 함수와 함수를 지나는 점이 주어졌을 때 그 점의 접선을 구하여라.
(a). $y = \frac{x - 1}{x - 2}, (3, 2)$
(b). $y = 2x^{3} - 5x, (-1, 3)$
(c). $y = \sqrt{x}, (1, 1)$
(d). $y = \frac{2x}{(x + 1)^{2}}, (0, 0)$
(a). $y = \frac{x - 1}{x - 2}, (3, 2)$
먼저 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 기울기를 구한다. $f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}$라고 하자.
$$\begin{align*} m &= \lim_{x \rightarrow 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} \\ &= \lim_{x \rightarrow 3} \frac{\frac{x - 1}{x - 2} - 2}{x - 3} \\ &= \lim_{x \rightarrow 3} \frac{(x - 1) - 2(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 3} \frac{-(x - 3)}{(x - 3)(x - 2)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 3} -\frac{1}{x - 2} = -1 \end{align*}$$
따라서, 접선의 방정식이 $l : y = -x + b$라고 할 때 접선 $l$은 점 $(3, 2)$를 지나므로 $2 = -3 + b \rightarrow b = 5$이다. 따라서, 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식은 $y = -x + 5$이다.
(b). $y = 2x^{3} - 5x, (-1, 3)$
먼저 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 기울기를 구한다. $f(x) = 2x^{3} - 5x$라고 하자.
$$\begin{align*} m &= \lim_{x \rightarrow -1} \frac{f(x) - f(-1)}{x + 1} \\ &= \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(2x^{3} - 5x) - 3}{x + 1} \\ &= \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x + 1)(2x^{2} + 2x - 3)}{(x + 1)} \\ &= \lim_{x \rightarrow -1} (2x^{2} + 2x - 3) = -3 \end{align*}$$
따라서, 접선의 방정식이 $l : y = -3x + b$라고 할 때 접선 $l$은 점 $(-1, 3)$를 지나므로 $3 = 3 + b \rightarrow b = 0$이다. 따라서, 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식은 $y = -3x$이다.
(c). $y = \sqrt{x}, (1, 1)$
먼저 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 기울기를 구한다. $f(x) = \sqrt{x}$라고 하자.
$$\begin{align*} m &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2} \end{align*}$$
따라서, 접선의 방정식이 $l : y = \frac{1}{2}x + b$라고 할 때 접선 $l$은 점 $(1, 1)$를 지나므로 $1 = \frac{1}{2} + b \rightarrow b = \frac{1}{2}$이다. 따라서, 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식은 $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$이다.
(d). $y = \frac{2x}{(x + 1)^{2}}, (0, 0)$
먼저 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 기울기를 구한다. $f(x) = \frac{2x}{(x + 1)^{2}}$라고 하자.
$$\begin{align*} m &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{2x}{(x + 1)^{2}}}{x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2}{(x + 1)^{2}} = 2 \end{align*}$$
따라서, 접선의 방정식이 $l : y = 2x + b$라고 할 때 접선 $l$은 점 $(0, 0)$를 지나므로 $0 = 0 + b \rightarrow b = 0$이다. 따라서, 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식은 $y = 2x$이다.
연습문제2. 곡선 $y = 3 + 4x^{2} - 2x^{3}$에 대해서 점 $x = a$에서의 접선의 기울기를 구하여라.
$f(x) = 3 + 4x^{2} - 3x^{3}$라고 하자.
$$\begin{align*} m &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(3 + 4x^{2} - 3x^{3}) - (3 + 4a^{2} - 3a^{3})}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{-2x^{3} + 4x^{2} + 2a^{3} - 4a^{2}}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(x - a)(-2x^{2} + (4 - 2a)x - 2a^{2} + 4a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} (-2x^{2} + (4 - 2a)x - 2a^{2} + 4a) = -6a^{2} + 8a \end{align*}$$
연습문제3. 함수와 함수를 지나는 점이 주어졌을 때 그 점의 접선을 구하여라.
(a). $f(x) = 3x^{2} - 5x, a = 2$
(b). $g(x) = 1 - x^{3}, a = 0$
(a). $f(x) = 3x^{2} - 5x, a = 2$
먼저 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 기울기를 구한다.
$$\begin{align*} m &= \lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \\ &= \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(3x^{2} - 5x) - 2}{x - 2} \\ &= \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x - 2)(3x + 1)}{x - 2} \\ &= \lim_{x \rightarrow 2} (3x + 1) = 7 \end{align*}$$
따라서, 접선의 방정식이 $l : y = 7x + b$라고 할 때 접선 $l$은 점 $(2, 2)$를 지나므로 $2 = 14 + b \rightarrow b = -12$이다. 따라서, 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식은 $y = 7x - 12$이다.
(b). $g(x) = 1 - x^{3}, a = 0$
먼저 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 기울기를 구한다.
$$\begin{align*} m &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x) - g(0)}{x - 0} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 - x^{3}) - 1}{x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x^{3}}{x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} -x^{2} = 0 \end{align*}$$
따라서, 접선의 방정식이 $l : y = 0x + b = b$라고 할 때 접선 $l$은 점 $(0, 1)$를 지나므로 $1 = b \rightarrow b = 1$이다. 따라서, 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식은 $y = 1$이다.
연습문제4. 각 함수들의 $f^{'}(a)$를 구하여라.
(a). $f(x) = 3 - 2x + 4x^{2}$
(b). $f(x) = x^{4} - 5x$
(c). $f(x) = \frac{2x + 1}{x + 3}$
(a). $f(x) = 3 - 2x + 4x^{2}$
$$\begin{align*} f^{'}(a) &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(3 - 2x + 4x^{2}) - (3 - 2a + 4a^{2})}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{-2(x - a) + 4(x^{2} - a^{2})}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{-2(x - a) + 4(x - a)(x + a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} (-2 + 4(x + a)) = -2 + 8a \end{align*}$$
(b). $f(x) = x^{4} - 5x$
$$\begin{align*} f^{'}(a) &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(x^{4} - 5x) - (a^{4} - 5a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(x^{4} - a^{4}) - 5(x - a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(x^{2} + a^{2})(x + a)(x - a) - 5(x - a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} ((x^{2} + a^{2})(x + a) - 5) = 4a^{3} - 5 \end{align*}$$
(c). $f(x) = \frac{2x + 1}{x + 3}$
$$\begin{align*} f^{'}(a) &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{\frac{2x + 1}{x + 3} - \frac{2a + 1}{a + 3}}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(2x + 1)(a + 3) - (2a + 1)(x + 3)}{(x - a)(x + 3)(a + 3)} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(2at + 6t + a + 3) - (2at + 6a + t + 3)}{(x - a)(x + 3)(a + 3)} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{5(x - a)}{(x - a)(x + 3)(a + 3)} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{5}{(x + 3)(a + 3)}= \frac{5}{(a + 3)^{2}} \end{align*}$$
연습문제5. 각 함수들의 $f^{'}(a)$를 구하여라.
(a). $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 2}$
(b). $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$
(c). $f(x) = \sqrt{3x + 1}$
(a). $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 2}$
$$\begin{align*} f^{'}(a) &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{\frac{x^{2} + 1}{x - 2} - \frac{a^{2} + 1}{a - 2}}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(x^{2} + 1)(a - 2) - (a^{2} + 1)(x - 2)}{(x - a)(x - 2)(a - 2)} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} -\frac{x - a}{(x - a)(x - 2)(a - 2)} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} -\frac{1}{(x - 2)(a - 2)} = -\frac{1}{(a - 2)^{2}} \end{align*}$$
(b). $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$
$$\begin{align*} f^{'}(a) &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 2}} - \frac{1}{\sqrt{a + 2}}}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} -\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{a + 2}}{(x - a)\sqrt{(x + 2)(a + 2)}} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} - \frac{(\sqrt{x + 2} - \sqrt{a + 2})(\sqrt{x + 2} + \sqrt{a + 2})}{(x - a)\sqrt{(x + 2)(a + 2)}(\sqrt{x + 2} + \sqrt{a + 2})} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} -\frac{x - a}{(x - a)\sqrt{(x + 2)(a + 2)}(\sqrt{x + 2} + \sqrt{a + 2})} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} -\frac{1}{\sqrt{(x + 2)(a + 2)}(\sqrt{x + 2} + \sqrt{a + 2})} = -\frac{1}{2(a + 2)\sqrt{a + 2}}\end{align*}$$
(c). $f(x) = \sqrt{3x + 1}$
$$\begin{align*} f^{'}(a) &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{3x + 1} - \sqrt{3a + 1}}{x - a} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(\sqrt{3x + 1} - \sqrt{3a + 1})(\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3a + 1})}{(x - a)(\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3a + 1})} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{3(x - a)}{(x - a)(\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3a + 1})} \\ &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{3}{\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3a + 1}} = \frac{3}{2\sqrt{3a + 1}} \end{align*}$$
연습문제6. 각 함수들의 $f^{'}(0)$이 존재하는 지 결정하시오.
(a). $f(x) = \begin{cases} x\sin(\frac{1}{x}) &\text{ if } x \neq 0 \\ 0 &\text{ if } x = 0 \end{cases}$
(b). $f(x) = \begin{cases} x^{2}\sin(\frac{1}{x}) &\text{ if } x \neq 0 \\ 0 &\text{ if } x = 0 \end{cases}$
(a). $f(x) = \begin{cases} x\sin(\frac{1}{x}) &\text{ if } x \neq 0 \\ 0 &\text{ if } x = 0 \end{cases}$
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x\sin(\frac{1}{x})}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \sin(\frac{1}{x})$$
$\lim_{x \rightarrow 0} \sin(\frac{1}{x})$는 진동하기 때문에 극한값이 존재하지 않는다. 그러므로 $f^{'}(0)$은 존재하지 않는다.
(b). $f(x) = \begin{cases} x^{2}\sin(\frac{1}{x}) &\text{ if } x \neq 0 \\ 0 &\text{ if } x = 0 \end{cases}$
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}\sin(\frac{1}{x})}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} x\sin(\frac{1}{x}) = 0$$
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
변경사항
22.08.12 : 전체적인 스타일 수정
22.08.12 : 연습문제1-4 추가
22.08.16 : 연습문제5-6 추가
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