미적분학 - 무한대 극한

  안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 연속 함수에서는 연속 함수에 대한 정의와 성질, 중간값 정리에 대해서 알아보았습니다. 지금까지의 극한은 $x$가 특정값 $a$로 접근했을 때 변화를 알아보았다면 오늘은 $x$가 무한히 커지거나 작아지는 극한에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.

 

 간단한 예시로 $f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} +1}$의 그림을 보도록 하겠습니다. 

 

위와 같이 $x$가 커지면 커질수록 $f(x)$가 $y = 1$에 접근하는 것을 관찰할 수 있습니다. 저희는 이를 아래와 같이 쓰도록 하겠습니다. 

 

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 1$$

 

 일반적인 기호로는 아래와 같이 씁니다. 

 

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L$$

 

 위의 그림들은 $x \rightarrow \infty$일 때 $y = L$로 접근하는 다양한 예시들을 보여주고 있습니다. 이때, $y = L$은 "수평점근선(horizontal asymptote)"라고 합니다. 따라서 $f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$의 수평점근선은 $y = 1$입니다. 

 

 이번에는 실제로 계산하기 위해서 쉬운 예제들에서 시작해보도록 하겠습니다. $r > 0$일 때 $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{r}}$을 고려해보도록 하죠. $r = 1$이라고 했을 때 $\frac{1}{x}$는 $\frac{1}{1}, \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \dots$로 점점 0에 가까워집니다. 따라서 $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}= 0$ 입니다. 이는 $r \neq 1$인 모든 양수에 해당하기 때문에 아래의 식을 만족합니다. 

 

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{r}} = 0$$

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x^{r}} = 0$$

 

예제1.$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^{2} - x - 2}{5x^{2} + 4x + 1}$를 계산하라.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^{2} - x - 2}{5x^{2} + 4x + 1} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3 -1/x -2/x^{2}}{5 + 4/x + 1/x^{2}} \\ &= \frac{\lim_{x \rightarrow \infty} \left(3 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}\right)}{\lim_{x \rightarrow \infty} \left(5 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{3}{5}\end{align*}$$

 

예제2.$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2x^{2} + 1}}{3x - 5}$를 계산하라.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2x^{2} + 1}}{3x - 5} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2 + 1/x^{2}}}{3 - 5/x} \\ &= \frac{\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}\right)}{\lim_{x \rightarrow \infty}\left(3 - \frac{5}{x}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{3}\end{align*}$$

 

예제3.$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\sqrt{x^{2} + 1} - x\right)$를 계산하라.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \left(\sqrt{x^{2} + 1} - x\right) &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - x\right)\left(\sqrt{x^{2} + 1} + x\right)}{\left(\sqrt{x^{2} + 1} + x\right)} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1/x}{\sqrt{1 + 1/x^{2}} + 1/x} = \frac{0}{\sqrt{1 + 0} + 0} = 0\end{align*}$$

 

다음으로 저희는 $\infty$나 $-\infty$로 수렴하지 않는 경우를 따져보도록 하겠습니다. 즉, 아래의 4가지 경우를 다루게 됩니다. 

 

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = -\infty$$

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \infty$$

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$$

 

가장 단순한 예로 $f(x) = x^{3}$을 고려해보도록 하겠습니다. 이 함수는 $x = 1, 10, 100, 1000, ...$으로 커질 때 마다 $f(x) = 1, 10^{3}, 100^{3}, 1000^{3}, ...$로 아주 빠른 속도로 커지게 되고 끊임없이 커지게 될 것 입니다. 따라서 이 경우에는 $\lim_{x \rightarrow \infty} x^{3} = \infty$임을 알 수 있죠. 이와 반대로 $x = -1, -10, -100, -1000, ...$로 작아질 수록 $f(x)$ 역시 무한히 작아진다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $\lim_{x \rightarrow -\infty} x^{3} = -\infty$ 임을 쉽게 알 수 있죠. 

 

 만약 $f(x) = -x^{3}$으로 바꾼다면 $\lim_{x \rightarrow \infty} = -\infty$, $\lim_{x \rightarrow -\infty} = \infty$임을 쉽게 알 수 있습니다. 

 

예제4.$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} + x}{3- x}$를 계산하라.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} + x}{3- x} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x + 1}{\frac{3}{x} - 1} &= -\infty \end{align*}$$

 

 위 식에서 분모 $\frac{3}{x} - 1$은 $x \rightarrow \infty$임에 따라서 -1로 수렴하지만 분자 $x + 1$은 무한히 커진다. 따라서, 해당 극한은 음의 무한대로 발산한다.

 

 정의1. $x$가 무한히 커질 때 $f(x)$가 수렴하는 경우

$f$를 어떤 구간 $(a, \infty)$에서 정의된 함수라고 가정하자. 그러면 $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L$은 임의의 $\epsilon > 0$에 대해서 $x > N$일 때 $|f(x) - L| < \epsilon$을 만족하는 수 $N$이 존재하는 것이다.

 

설명

 

 

 

 해당 정의는 위 그림과 함께 간단하게 생각해보면 됩니다. 우리가 어떤 함수 $f(x)$에서 $x$를 무한히 키웠다고 가정해보도록 하겠습니다. 그럼 이 함수가 $L$로 수렴한다는 것은 분명히 어느 시점에서 $f(x)$와 $L$ 사이의 차이가 아주 작아진다는 것을 의미합니다. 만약, 충분히 작아지는 시점인 $N$이 존재한다면 해당 함수는 $L$로 수렴한다고 볼 수 있는 것이죠. 

 

 정의2. $x$가 무한히 작아질 때 $f(x)$가 수렴하는 경우

$f$를 어떤 구간 $(-\infty, a)$에서 정의된 함수라고 가정하자. 그러면 $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = L$은 임의의 $\epsilon > 0$에 대해서 $x < N$일 때 $|f(x) - L| < \epsilon$을 만족하는 수 $N$이 존재하는 것이다.

 

설명

 

 위 정의는 커질때와 큰 차이가 없습니다. 다만, $x < N$으로 바뀌었다는 것이죠. 왜냐하면 $x$는 계속 작아져야 하니까요!

 

 정의3. $x$가 무한히 커질 때 $f(x)$가 무한대로 발산하는 경우

$f$를 어떤 구간 $(a, \infty)$에서 정의된 함수라고 가정하자. 그러면 $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$은 임의의 양의 실수 $M$에 대해서 $x > N$일 때 $f(x) > M$을 만족하는 수 $N$이 존재하는 것이다.

 

설명

 

 위 정의 역시 그림과 함께 설명해보도록 하겠습니다. $x$가 무한히 커질 때 $f(x)$가 무한대로 발산한다는 것은 어떠한 양수 $M$을 가져와도 $M$보다 커지게 하는 $x$값 $N$을 찾을 수 있다는 것을 의미합니다. 아주 간단하죠? 추가적으로 $x$가 무한히 작아질 때 $f(x)$가 무한히 작아지는 경우에 대한 엄밀한 정의는 연습문제9에 남겨두었으니 확인해보시길 바랍니다!!

 

연습문제1. 그래프가 주어졌을 때 그림에 대한 질문에 답하여라.

 

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$

(b). $\lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)$

(c). $\lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)$

(d). $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$

(e). $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$

(f). 함수 $f$의 점근선

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 2} f(x) = \infty$

 

(b). $\lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x) = \infty$

 

(c). $\lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x) = -\infty$

 

(d). $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1$

 

(e). $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 2$

 

(f). 함수 $f$의 점근선 : $x = -1, x = 2, y = 2, y = 1$

 

연습문제2. 각 주어진 극한의 극한값을 구하시오.

 

(a). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{2x + 3}$

(b). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x + 5}{x - 4}$

(c). $\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1 - x - x^{2}}{2x^{2} - 7}$

(d). $\lim_{y \rightarrow \infty} \frac{2 - 3y^{2}}{5y^{2} + 4y}$

(e). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3} + 5x}{2x^{3} - x^{2} + 4}$

(f). $\lim_{t \rightarrow -\infty} \frac{t^{2} + 2}{t^{3} + t^{2} - 1}$

(g). $\lim_{u \rightarrow \infty} \frac{4u^{4} + 5}{(u^{2} - 2)(2u^{2} - 1)}$

(h). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{9x^{2} + 1}}$

(i). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{9x^{6} - x}}{x^{3} + 1}$

(j). $\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{9x^{6} - x}}{x^{3} + 1}$

 

(a). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{2x + 3} = 0$

 

(b). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x + 5}{x - 4} = 3$

 

(c). $\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1 - x - x^{2}}{2x^{2} - 7} = -\frac{1}{2}$

 

(d). $\lim_{y \rightarrow \infty} \frac{2 - 3y^{2}}{5y^{2} + 4y} = -\frac{3}{5}$

 

(e). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3} + 5x}{2x^{3} - x^{2} + 4} = \frac{1}{2}$

 

(f). $\lim_{t \rightarrow -\infty} \frac{t^{2} + 2}{t^{3} + t^{2} - 1} = 0$

 

(g). $\lim_{u \rightarrow \infty} \frac{4u^{4} + 5}{(u^{2} - 2)(2u^{2} - 1)} = 2$

 

(h). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{9x^{2} + 1}} = \frac{1}{3}$

 

(i). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{9x^{6} - x}}{x^{3} + 1} = 3$

 

(j). $\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{9x^{6} - x}}{x^{3} + 1} = -3$

 

연습문제3. 각 주어진 극한의 극한값을 구하시오.

 

(a). $\lim_{x \rightarrow \infty} ( \sqrt{9x^{2} + x} - 3x )$

(b). $\lim_{x \rightarrow -\infty} ( x + \sqrt{x^{2} + 2x} )$

(c). $\lim_{x \rightarrow \infty} ( \sqrt{x^{2} + ax} - \sqrt{x^{2} + bx} )$

(d). $\lim_{x \rightarrow \infty} \cos(x)$

(e). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x + x^{3} + x^{5}}{1 - x^{2} + x^{4}}$

(f). $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2} + 1}$

(g). $\lim_{x \rightarrow -\infty} ( x^{4} + x^{5} )$

(h). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3} - 2x + 3}{5 - 2x^{2}}$

(i). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1 - e^{x}}{1 + 2e^{x}}$

(j). $\lim_{x \rightarrow \infty} \arctan(x^{2} - x^{4})$

(k). $\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-2x}\cos(x)$

(l). $\lim_{x \rightarrow (\pi/2)^{+}} e^{\tan(x)}$

 

(a). $\lim_{x \rightarrow \infty} ( \sqrt{9x^{2} + x} - 3x ) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{( \sqrt{9x^{2} + x} - 3x )( \sqrt{9x^{2} + x} + 3x )}{\sqrt{9x^{2} + x} + 3x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(9x^{2} + x) - 9x^{2}}{\sqrt{9x^{2} + x} + 3x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{9x^{2} + x} + 3x} = \frac{1}{6}$

 

(b). $\lim_{x \rightarrow -\infty} ( x + \sqrt{x^{2} + 2x} ) = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{( \sqrt{x^{2} + 2x} + x )( \sqrt{x^{2} + 2x} - x )}{\sqrt{x^{2} + 2x} - x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{(x^{2} + 2x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2x} - x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^{2} + 2x} - x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{2x}{|x|\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x} = -2$

 

(c). $\lim_{x \rightarrow \infty} ( \sqrt{x^{2} + ax} - \sqrt{x^{2} + bx} ) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{( \sqrt{x^{2} +ax} - \sqrt{x^{2} + bx} )( \sqrt{x^{2} + ax} + \sqrt{x^{2} + bx} )}{\sqrt{x^{2} + ax} + \sqrt{x^{2} + bx}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x(a - b)}{\sqrt{x^{2} + ax} + \sqrt{x^{2} + bx}} = \frac{a - b}{2}$

 

(d). $\lim_{x \rightarrow \infty} \cos(x)$ : 진동하기 때문에 극한값이 존재하지 않는다.

 

(e). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x + x^{3} + x^{5}}{1 - x^{2} + x^{4}} = \infty$

 

(f). $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2} + 1} = \infty$

 

(g). $\lim_{x \rightarrow -\infty} ( x^{4} + x^{5} ) = \lim_{x \rightarrow -\infty} x^{4}(1 + x) = -\infty$

 

(h). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3} - 2x + 3}{5 - 2x^{2}} = \infty$

 

(i). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1 - e^{x}}{1 + 2e^{x}} = -\frac{1}{2}$

 

(j). $\lim_{x \rightarrow \infty} \arctan(x^{2} - x^{4}) = \arctan( \lim_{x \rightarrow \infty} (x^{2} - x^{4}) )= \lim_{z \rightarrow -\infty} \arctan(z) = -\frac{\pi}{2}$

 

(k). $\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-2x}\cos(x)$

 

$-1 \le \cos(x) \le 1$이고 모든 실수에 대해서 $e^{-2x} > 0$이기 때문에 $-e^{-2x} \le e^{-2x}\cos(x) \le e^{-2x}$가 성립한다. 이때, $\lim_{x \rightarrow \infty} (-e^{-2x})= \lim_{x \rightarrow \infty} e^{-2x} = 0$이므로 샌드위치 정리에 의해 $\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-2x}\cos(x) = 0$이다. 

 

(l). $\lim_{x \rightarrow (\pi/2)^{+}} e^{\tan(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow (\pi / 2)^{+}} \tan(x)} = \lim_{y \rightarrow -\infty} e^{y} = 0$

 

연습문제4. 주어진 함수들의 점근선을 구하여라.

 

(a). $y = \frac{2x + 1}{x - 2}$

(b). $y = \frac{x^{2 + 1}}{2x^{2} - 3x - 2}$

(c). $y = \frac{2x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

(d). $y = \frac{1 +x^{4}}{x^{2} - x^{4}}$

(e). $y = \frac{x^{3} - x}{x^{2} - 6x + 5}$

(f). $y = \frac{2e^{x}}{e^{x} - 5}$

 

(a). $y = \frac{2x + 1}{x - 2} = 2 + \frac{5}{x - 2} \rightarrow y = -2, x = 2$

 

(b). $y = \frac{x^{2 + 1}}{2x^{2} - 3x - 2} = \frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{2}x + 2}{2x^{2} - 3x - 2} = \frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{2}x + 2}{(2x + 1)(x - 2)} \rightarrow y = \frac{1}{2}, x = 2, x = -\frac{1}{2}$

 

(c). $y = \frac{2x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2} = 2 - \frac{x - 3}{x^{2} + x - 2} = 3 - \frac{x - 3}{(x + 2)(x - 1)} \rightarrow y = 3, x = -2, x = 1$

 

(d). $y = \frac{1 +x^{4}}{x^{2} - x^{4}} = -1 + \frac{x^{2} + 1}{x^{2}(1 - x)(1 +x)} \rightarrow y = -1, x = 0, x = -1, x = 1$

 

(e). $y = \frac{x^{3} - x}{x^{2} - 6x + 5} = (x + 6) + \frac{30}{x - 5} \rightarrow y = x + 6, x = 5$

 

(f). $y = \frac{2e^{x}}{e^{x} - 5}$

 

$z = e^{x}$라고 하면 $y = \frac{2z}{z - 5}$의 점근선을 먼저 찾는다. 

 

$y = \frac{2z}{z - 5} = 2 + \frac{10}{z - 5} = 2 + \frac{10}{e^{x} - 5} \rightarrow y = 2, z = 5 \rightarrow y = 2, x = \ln(5)$

 

연습문제5. $\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = 0$임을 증명하시오.

 

$x = -h$라고 하자. 그러면 우리가 증명해야하는 극한은 $\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = -\lim_{h \rightarrow \infty} \frac{1}{h} = 0$이 된다. 임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $N = \frac{1}{\epsilon}$이라고 하자. 그러면 $h > N$일 때, $\left| \frac{1}{h} - 0 \right| = \left| \frac{1}{h} \right| = \frac{1}{h} < \frac{1}{N} = \epsilon$이므로 $\lim_{h \rightarrow \infty} \frac{1}{h} = 0$이다.  

 

연습문제6. $\lim_{x \rightarrow \infty} x^{3} = \infty$임을 증명하시오.

 

임의의 양의 실수 $M > 0$에 대해 $N = \sqrt[3]{M}$이라고 하자. 그러면 $x > N$일 때 $x^{3} > N^{3} = M$이므로

$\lim_{x \rightarrow \infty} x^{3} = \infty$이다. 

 

연습문제7. $\lim_{x \rightarrow \infty} e^{x} = \infty$임을 증명하시오.

 

임의의 양의 실수 $M > 0$에 대해 $N = \ln(M)$이라고 하자. 그러면 $x > N$일 때 $e^{x} > e^{N} = M$이므로

$\lim_{x \rightarrow \infty} e^{x} = \infty$이다. 

 

연습문제8. $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$의 극한의 정의로 명시하고 $\lim_{x \rightarrow -\infty} (1 + x^{3}) = -\infty$임을 증명하시오.

 

1). $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$의 엄밀한 정의

 

임의의 음의 실수 $M < 0$에 대해서 $x < N$일 때 $f(x) < M$을 만족하는 $N$이 존재하면 $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$이다.

 

2). $\lim_{x \rightarrow -\infty} (1 + x^{3}) = -\infty$ 증명

 

임의의 음의 실수 $M < 0$에 대해서 $N = \sqrt[3](M - 1)$이라고 하자. 그러면 $x < N$일 때 $1 + x^{3} < 1 + N^{3} = M$이므로 . $\lim_{x \rightarrow -\infty} (1 + x^{3}) = -\infty$이다.

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)

 

변경사항

22.08.10 : 전체적인 스타일 수정

22.08.10 : 연습문제1-5 추가

22.08.11 : 연습문제6-8 추가