미적분학 - 정확한 극한의 정의

 안녕하세요. 지난 포스팅 미적분학 - 극한 법칙을 이용하여 극한 계산하기에서는 몇 가지 규칙을 활용해서 극한값을 쉽게 구할 수 있는 방법에 대해서 소개해드렸습니다. 오늘은 극한을 좀 더 정확하게 정의해보도록 하겠습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

 일단 비유없이 바로 팩폭으로 정의하면 아래와 같습니다. 

 

 정의1.극한(limit)

함수 $f(x)$가 $a$를 포함하는 열린 집합에서 정의되었다고 가정하자. 임의의 $\epsilon > 0$에 대해서 $0 < \left|x - a\right| < \delta$일 때 $\left|f(x) - L\right| < \epsilon$를 만족하는 어떤 $\delta > 0$가 존재한다면 $x \rightarrow a$일 때 함수 $f(x)$의 극한값 $L$이라고 하고, 아래와 같이 작성한다. 

$$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$$

 

 음... 이게 대체 무슨 소리일까요? 아마 헷갈리는 부분이 바로 이 부분일 것 입니다. 

 

임의의 $\epsilon > 0$에 대해서 $0 < \left|x - a\right| < \delta$일 때 $\left|f(x) - L\right| < \epsilon$를 만족하는 어떤 $\delta > 0$가 존재...

 

 일단, 한 개씩 천천히 뜯어보도록 하죠. $\left|x - a\right|$은 $x$에서 $a$까지의 거리를 의미합니다. 그리고 $\left|f(x) - L\right|$ 역시 $f(x)$에서 $L$까지의 거리를 의미합니다. 여기서 중요한 것은 $\epsilon$과 $\delta$입니다.

 

 

 $\epsilon$은 임의의 실수로서 $\left|f(x) - L\right| < \epsilon$이 만족하는 것이죠. 이때, "임의의 = 모든"입니다. 즉, 모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\left|f(x) - L\right| < \epsilon$를 만족해야합니다. 단, 이를 만족하는 $x$는 $\left|x - a\right| < \delta$를 만족해야합니다. 이때, $\delta > 0$는 "어떤 실수"이기 때문에 한 개의 값만 존재하기만 하면 됩니다.

 

 그리고 다시 이를 극한의 관점에서 보도록 하겠습니다. 저희가 처음에 극한을 간단하게 정의할 때 $x \rightarrow a$를 어떻게 표현했는 지 기억나시나요? 저희는 그냥 "충분히 가까워진다."라고만 표현했습니다. 이를 수학적으로 적은 것이 $0 < \left|x - a\right| < \delta$가 됩니다. 그리고 $x$가 $a$에 접근하면 "함수값 $f(x)$는 극한값 $L$에 접근"하게 됩니다. 이 부분을 어떻게 쓸 수 있을까요? 아마도 거리로 받아들일 수 있지 않을까요? 즉, $x$가 $a$에 접근하면 함수값 $f(x)$와 극한값 $L$ 사이의 거리가 가까워진다. 다음 질문은 어느정도 가까워야 $f(x)$가 극한값이라고 인정될 수 있을까요? 이를 $\epsilon$으로 조정합니다. $f(x)$와 $L$ 사이의 거리가 $\epsilon$ 정도로 가까워진다면, $f(x) = L$이라고 하자! 라는 것 입니다. 따라서 이 모든 정의를 풀어서 쓰면 아래와 같습니다. 

 

모든 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $x$와 $a$ 사이의 거리가 $\delta$보다 작을 때 함수값 $f(x)$와 극한값 $L$ 사이의 거리가 $\epsilon$보다 작게 만들 수 있는 $\delta$가 존재한다면 $L$을 $f(x)$의 극한이라고 하자.

 

 이제 어느정도 이해가 되는 것 같습니다. 간단한 예제를 통해 개념을 좀 더 굳혀보도록 하겠습니다. $x \rightarrow 2$일 때 $f(x) = 4x$의 극한값이 8임을 정의를 통해 증명해보도록 하겠습니다. 증명의 핵심은 조건을 만족하는 $\delta$를 찾는 것 입니다!

 

STEP1. 임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$를 정의

즉, 저희는 아래의 식을 만족하는 $\delta$를 찾을 수 있는 지가 관건 입니다.

 

if $0 < \left|x - 2\right| < \delta$ then $\left|4x - 8\right| < \epsilon$

 

STEP2. 그렇다면 위 조건을 만족하는 $\delta$를 어떻게 찾기

일단 $\left|4x - 8\right| < \epsilon$은 저희가 증명하고자 하는 것이기 때문에 식을 이상하게 바꾸면 안됩니다. 하지만!!! 상수로 나누는 것은 부등식의 방향을 바꾸지 않기 때문에 적용해도 되겠죠? 저희는 깔끔하게 4로 양변을 나누어보도록 하겠습니다. 

 

$$\left|4x - 8\right| < \epsilon \Rightarrow \left|x - 2\right| < \frac{\epsilon}{4}$$

 

 어?! 그런데 좌항의 $\left|x - 2\right|$는 조건에 있는 항이였네요? 따라서 $\delta \le \frac{\epsilon}{4}$면 위 조건을 만족하는 $\delta$를 찾은 것입니다. 그렇다면 $\delta = \frac{\epsilon}{4}$라고 해보고 정말 위 조건을 만족하는 지 보도록 하겠습니다.

 

$0 < \left|x - 2\right| < \delta = \frac{\epsilon}{4} \Rightarrow 0 < \left|4x - 8\right| < 4\delta = \epsilon$

 

 이렇게 되면 증명이 끝나버립니다. 솔직히 이와 같은 증명을 처음보면 이게 대체 뭐지... 할 것 입니다. 하지만 기존의 방법보다 훨씬 엄밀하고 정확하게 극한을 정의할 수 있게 되었습니다. 이러한 방식을 "엡실론-델타 논법"(줄여서 엡델...)이라고 합니다! 참고로 $\delta = \frac{\epsilon}{4}$이 아니라 $0.1 \epsilon$이라고 설정해도 조건을 만족하는 것을 볼 수 있습니다. 

 

$$0 < \left|x - 2\right| < \delta = \frac{\epsilon}{10} \Rightarrow 0 < \left|4x - 8\right| < 4\delta = \frac{4}{10} \epsilon < \epsilon$$

 

 하지만 $\delta > \frac{\epsilon}{4}$인 $\delta$를 잡으면 성립하지 않습니다. 예를 들어서 $\delta = \epsilon$이라고 하죠. 

 

$$0 < \left|x - 2\right| < \delta = \epsilon \Rightarrow 0 < \left|4x - 8\right| < 4\delta = 4\epsilon \nless \epsilon$$

 

 따라서 $\delta = \frac{\epsilon}{4}$는 위 조건을 만족하는 한계점이라고 볼 수 있습니다.

 

 이제, 이 정의를 다른 방식으로 접근해보도록 하겠습니다. 저희가 위 정의에서 부등식을 풀어서 쓰는 것 입니다. $\left|x - a\right| < \delta$는 $a - \delta < x < a + \delta$로 바꿀 수 있습니다. 여기서 $0 < |x - a|$라는 조건이 있기 때문에 $x \neq a$이라는 조건이 포함됩니다. 그리고 $\left|f(x) - L\right| < \epsilon$은 $L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon$으로 바꿀 수 있죠. 따라서 위 정의는 아래와 같이 다시 쓸 수 있습니다. 

 

 정의1-1.극한(limit)

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$은 모든 $\epsilon > 0$에 대해서 우리가 $x \in (a - \delta, a + \delta)$ 선상에 존재하고 $x \neq a$일 때 $f(x) \in (L - \epsilon, L + \epsilon)$을 만족하는 $\delta > 0$를 찾을 수 있음을 의미한다.

 그리고 이를 그림으로 표현할 수 있습니다. 위 그림과 같이 $x \in (a -\delta, a + \delta)$일 때 $f(x) \in (L - \epsilon, L + \epsilon)$이라면 $x \rightarrow a$일 때 $f(x)$의 극한값은 $L$입니다.

 

 이 과정을 2차원 그래프로 투영해보도록 하겠습니다. $a$를 중심으로 $\delta$만큼 간격을 벌려서 $f(x)$로 매핑시킵니다. 그러면 $\delta$를 크게 잡으면 저희가 미리 기준을 잡은 $\epsilon$ 범위를 벗어나기 때문에 충분히 작은 $\delta$를 잡아주어야 할 것 입니다. 

 

예제1.$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x}{5} = \frac{3}{5}$임을 엡실론-델타 논법으로 증명하라.

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$이 주어졌다고 가정하자. 만약, $\delta = 5\epsilon$라면 $0 < \left|x - 3\right| < \delta$일 때 $\left|\frac{x}{5} - \frac{3}{5}\right| < \frac{\delta}{5} = \epsilon$을 만족한다. 따라서, $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x}{5} = \frac{3}{5}$이다. 

 

예제2. $\lim_{x \rightarrow 0} x^{3} = 0$임을 엡실론-델타 논법으로 증명하라.

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$이 주어졌다고 가정하자. 만약, $\delta = \sqrt[3]{x}$라면 $0 < \left|x\right| < \delta$일 때 $\left|x^{3}\right| < \delta = \epsilon$을 만족한다. 따라서, $\lim_{x \rightarrow 0} x^{3} = 0$이다. 

 

 정의2.좌극한(Left-Hand Limit)

만약 모든 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $a - \delta < x < a$일 때 $\left|f(x) - L\right| <\delta$를 만족하는 $\delta > 0$가 존재하면 $\lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) = L$이다. 

 

 정의3.우극한(Right-Hand Limit)

만약 모든 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $a < x < a + \delta$일 때 $\left|f(x) - L\right| <\delta$를 만족하는 $\delta > 0$가 존재하면 $\lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) = L$이다. 

 

 그냥 극한의 정의와 다른 점이 보이시나요? 극한은 "$\left|x- a\right| < \delta$일 때" 였지만 좌극한은 "$a - \delta < x < a$일 때"이고 우극한은 "$a < x < a + \delta$일 때" 입니다. 즉, 좌극한은 $a$의 왼쪽에서 접근할 때의 극한, 우극한은 $a$의 오른쪽에서 접근할 때의 극한이라는 것을 알 수 있습니다. 

 

예제1.$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} = 0$임을 증명하라.

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$이 주어졌다고 가정하자. 만약, $\delta = \sqrt{\epsilon}$이라면 $0 < x < \delta$일 때 $\left|x^{2}\right| = x^{2} < \delta^{2} = \epsilon$이다.

 

$\therefore$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} = 0$

 

 저희는 극한의 법칙을 몇 가지 보았습니다. 그 중에서 간단한 $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$이고 $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = M$일 때, $\lim_{x \rightarrow a} \left[f(x) + g(x)\right] = L + M$임을 증명해보도록 하겠습니다. 

 

 임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$이 주어졌다고 하겠습니다. 그러면 저희는 $0 < \left|x - a\right| < \delta$일 때 $\left|(f(x) + g(x)) - (N + M)\right| < \epsilon$을 만족하는 $\delta > 0$를 찾는 것이 목표입니다. 위 식에서 삼각부등식을 사용하면 아래와 같이 바꿀 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \left|(f(x) + g(x)) - (N + M)\right| &= \left|(f(x) - N) + (g(x) - M)\right| \\ &\le \left|f(x) - N\right| + \left|g(x) - M\right| \end{align*}$$

 

 이때, $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = N$ 그리고 $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = M$으로 수렴한다는 조건이 있기 때문에 저희는 각 극한에 대한 $\delta_{1}$과 $\delta_{2}$를 가정할 수 있습니다. 

 

 먼저, $f(x)$를 보도록 하겠습니다. $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = N$이기 때문에 $0 < \left|x - a\right| < \delta_{1}$일 때 $\left|f(x) - N\right| < \frac{\epsilon}{2}$을 만족하는 $\delta_{1} > 0$이 존재합니다. 

 

 또한, $g(x)$도 마찬가지로 $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = M$이기 때문에 $0 < \left|x - a\right| < \delta_{2}$일 때 $\left|g(x) - M\right| < \frac{\epsilon}{2}$을 만족하는 $\delta_{2} > 0$이 존재합니다. 

 

하지만 저희는 $f(x) + g(x)$의 수렴을 위한 $\delta$를 찾아야하기 때문에 $\delta_{1}$과 $\delta_{2}$를 이용해서 정의해주어야합니다. 

 

$$\delta = \min{(\delta_{1}, \delta_{2})}$$

 

위와 같이 $\delta$를 정의하면 항상 $f(x)$와 $g(x)$의 극한을 정의할 수 있게 됩니다. 따라서 저희는 아래와 같이 쓸 수 있겠죠?

 

$0 < \left|x - a\right| < \delta$일 때, $\left|f(x) - N\right| < \frac{\epsilon}{2}$이고 $\left|g(x) - M\right| < \frac{\epsilon}{2}$이다.

 

이제는 저희가 처음에 삼각부등식으로 풀었던 결과까지 하나로 풀어서 써보도록 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} 0 < \left|x - a\right| < \delta = \min{(\delta_{1}, \delta_{2})} \Rightarrow \left|(f(x) + g(x)) - (M + N)\right| &= \left|(f(x) - N) + (g(x) - M)\right| \\ &\le \left|f(x) - N\right| + \left|g(x) - M\right| \\ &\le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*}$$

 

 이렇게 하면 $\delta = \min{(\delta_{1}, \delta_{2})}$일 때 위 부등식을 만족하기 때문에 $\lim_{x \rightarrow a} \left[f(x) + g(x)\right] = L + M$임이 증명됩니다. 

 

 이와 같은 방법을 이용해서 수학과 수업 중 기초 해석학에서 엄밀한 증명을 하게 됩니다. 곱셈과 나눗셈에 대한 성질을 증명하는 것이 생각보다 복잡해서 기억에 남습니다. 하지만, 저희는 이 정도까지의 엄밀함을 추구하지는 않겠습니다. 

 

 이번에는 극한이 무한대로 발산하는 경우를 정의해보도록 하겠습니다. 

 

 정의3.양의 무한대 극한

$f$를 $a$를 포함하는 열린 집합에서 정의되었다고 가정하자. $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty$는 아래의 조건을 만족하면 성립한다.

$$\forall M > 0, \exists\delta > 0 s.t. 0 < \left|x - a\right| < \delta \Rightarrow f(x) > M$$

 

 뭔가 기호가 많이 써진 것 같죠? 간단하게 수학적인 기호도 설명할 겸 멋있게 써봤습니다. 먼저, $\forall$은 "모든"을 의미합니다. $\exists$는 "어떤"을 의미합니다. 그리고 $s.t.$은 "뒤의 조건을 만족하는"을 의미합니다. 따라서 "there is ~ s.t. condition"이란 condition을 만족하는 어떤 ~가 있다와 동일한 말 입니다. 따라서 위 말을 풀어서 쓰면 "모든 양수 $M > 0$에 대해서 $0 < \left|x - a\right| < \delta$일 때 $f(x) > M$을 만족하는 $\delta$가 존재한다면 $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty$를 의미한다."

 

 그냥 저희가 평소에 보던 극한의 정의에서 $\epsilon$이 아니라 $M$이 들어가고 $\left|f(x) - L\right| < \epsilon$이 아니라 $f(x) > M$이 들어갔습니다.  어떤 의미를 가질까요? $M$은 임의의 양수입니다. 그런데 임의의 = 모든이라고 이전에 말씀드렸습니다. 즉, $f(x)$가 모든 양수보다 크다라는 조건을 가지게 되는 것이죠. 따라서 이는 무한대임을 의미합니다. 음의 무한대도 유사하게 정의할 수 있습니다. 

 

 정의4.음의 무한대 극한

$f$를 $a$를 포함하는 열린 집합에서 정의되었다고 가정하자. $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = -\infty$는 아래의 조건을 만족하면 성립한다.

$$\forall M < 0, \exists\delta > 0 s.t. 0 < \left|x - a\right| < \delta \Rightarrow f(x) < M$$

 

 

연습문제1. 아래의 주어진 함수 $f(x) = \frac{1}{x}$의 그래프를 이용해서 $\left| x - 2 \right| < \delta$일 때 $\left| \frac{1}{x} - 0.5 \right| < 0.2$를 만족하는 $\delta$를 구하여라.

 

$$\begin{align*} \left| \frac{1}{x} - 0.5 \right| < 0.2 &\Rightarrow \frac{10}{7} < x < \frac{10}{3} \\ &\Rightarrow -\frac{4}{7} < x - 2 < \frac{4}{3} \\ &\Rightarrow \left| x - 2 \right| < \frac{4}{3}\end{align*}$$

 

따라서, $\delta = \frac{4}{3}$이다. 

 

연습문제2. $\left| x - 2 \right| < \delta$일 때 $\left| 4x - 8 \right| < \epsilon$를 만족하는 $\delta$를 $\epsilon = 0.1$과 $\epsilon = 0.01$일 때 각각 구하여라.

1). $\epsilon = 0.1$

 

$$\begin{align*} \left| 4x - 8 \right| = 4\left| x - 2 \right| < 0.1 \Rightarrow \left| x - 2 \right| < 0.025\end{align*}$$

 

 따라서, $\delta = 0.025$이다. 

 

2). $\epsilon = 0.01$

 

$$\begin{align*} \left| 4x - 8 \right| = 4\left| x - 2 \right| < 0.01 \Rightarrow \left| x - 2 \right| < 0.0025\end{align*}$$

 

 따라서, $\delta = 0.0025$이다. 

 

 

연습문제3. 아래의 함수의 극한값을 엡실론-델타 논법을 이용해서 증명하라.

 

a). $\lim_{x \rightarrow 1} \left( 2x + 3 \right) = 5$

b). $\lim_{x \rightarrow -2} \left( \frac{1}{2}x + 3 \right) = 2$

c). $\lim_{x \rightarrow -3} \left( 1 - 4x \right) = 13$

d). $\lim_{x \rightarrow 4} \left( 7 - 3x \right) = -5$

 

a). $\lim_{x \rightarrow 1} \left( 2x + 3 \right) = 5$

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = \frac{\epsilon}{2}$라고 하자. 

그러면 $\left| x - 2 \right| < \delta$ 일 때 $\left| (2x + 3) - 5 \right| = 2\left| x - 1 \right| < 2\delta = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow 1} \left( 2x + 3 \right) = 5$ 이다. 

 

b). $\lim_{x \rightarrow -2} \left( \frac{1}{2}x + 3 \right) = 2$

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = 2\epsilon$라고 하자. 

그러면 $\left| x + 2 \right| < \delta$ 일 때 $\left| (\frac{1}{2}x + 3) - 2 \right| = \frac{1}{2}\left| x + 2 \right| < \frac{1}{2}\delta = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow -2} \left( \frac{1}{2}x + 3 \right) = 2$ 이다. 

 

c). $\lim_{x \rightarrow -3} \left( 1 - 4x \right) = 13$

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = \frac{\epsilon}{4}$라고 하자. 

그러면 $\left| x + 3 \right| < \delta$ 일 때 $\left| (1 - 4x) - 13 \right| = 4\left| x + 3 \right| < 4\delta = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow -3} \left( 1 - 4x \right) = 13$ 이다. 

 

d). $\lim_{x \rightarrow 4} \left( 7 - 3x \right) = -5$

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = \frac{\epsilon}{3}$라고 하자. 

그러면 $\left| x - 4 \right| < \delta$ 일 때 $\left| (7 - 3x) + 5 \right| = 3\left| x - 4 \right| < 3\delta = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow 4} \left( 7 - 3x \right) = -5$ 이다. 

 

연습문제4. 아래의 함수의 극한값을 엡실론-델타 논법을 이용해서 증명하라.

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x}{5} = \frac{3}{5}$

(b). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} = 5$ 

(c). $\lim_{x \rightarrow a} x = a$

(d). $\lim_{x \rightarrow 0} x^{2} = 0$

(e). $\lim_{x \rightarrow 0} \left| x \right| = 0$

(f). $\lim_{x \rightarrow 2} \left( x^{2} - 4x + 5 \right) = 1$

(g). $\lim_{x \rightarrow -2} \left( x^{2} - 1 \right) = 3$

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x}{5} = \frac{3}{5}$

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = 5\epsilon$라고 하자. 

그러면 $\left| x - 3 \right| < \delta$ 일 때 $\left| \frac{x}{5} - \frac{3}{5} \right| = \frac{1}{5}\left| x - 3 \right| < \frac{1}{5}\delta = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x}{5} = \frac{3}{5}$ 이다. 

 

(b). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} = 5$ 

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = \epsilon$라고 하자. 

그러면 $\left| x - 2 \right| < \delta$ 일 때 $\left| \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} - 5 \right| = \left| \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} - 5 \right| = \left| (x + 3) - 5 \right| = \left| x - 2 \right| < \delta = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} = 5$ 이다. 

 

(c). $\lim_{x \rightarrow a} x = a$

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = \epsilon$라고 하자. 

그러면 $\left| x - a \right| < \delta$ 일 때 $\left| x - a \right| < \delta = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow a} x = a$ 이다. 

 

(d). $\lim_{x \rightarrow 0} x^{2} = 0$

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = \sqrt{\epsilon}$라고 하자. 

그러면 $\left| x - 0 \right| = \left| x \right| < \delta$ 일 때 $\left| x^{2} - 0 \right| = \left| x^{2} \right| = \left| x \right|^{2} < \left( \delta \right)^{2} = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow 0} x^{2} = 0$ 이다. 

 

(e). $\lim_{x \rightarrow 0} \left| x \right| = 0$

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = \epsilon$라고 하자. 

그러면 $\left| x - 0 \right| = \left| x \right| < \delta$ 일 때 $\left| |x| - 0 \right| = \left| |x| \right| = \left| x \right| < \delta = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow 0} \left| x \right| = 0$ 이다. 

 

(f). $\lim_{x \rightarrow 2} \left( x^{2} - 4x + 5 \right) = 1$

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = \sqrt{\epsilon}$라고 하자. 

그러면 $\left| x - 2 \right| < \delta$ 일 때 $\left| \left( x^{2} - 4x + 5 \right) - 1 \right| = \left| x^{2} - 4x + 4 \right| = \left| \left( x - 2 \right)^{2} \right| = \left| x - 2 \right|^{2} < \left( \delta \right)^{2} = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow 2} \left( x^{2} - 4x + 5 \right) = 1$ 이다. 

 

(g). $\lim_{x \rightarrow -2} \left( x^{2} - 1 \right) = 3$

 

$\left| x - 2 \right| < 1$ 이라고 가정하자.  

 

$$\begin{align*} |x - 2| < 1 &\Rightarrow -1 < x - 2 < 1 \\ &\Rightarrow 3 < x + 2 < 5 \\ &\Rightarrow |x + 2| < 5 \end{align*}$$

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = \text{min}\{1, \frac{\epsilon}{5}\}$라고 하자. 

그러면 $\left| x + 2 \right| < \delta$ 일 때 $|(x^{2} - 1) - 3| = |x^{2} - 4| = |(x + 2)(x - 2)| = |x - 2||x + 2| < 5\delta = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow -2} \left( x^{2} - 1 \right) = 3$ 이다. 

 

 

연습문제5. $\lim_{x \rightarrow a} \sqrt{x} = \sqrt{a}$ 임을 엡실론-델타 논법을 이용해서 증명하라. 

(Hint : $\left| \sqrt{x} - \sqrt{a} \right| = \frac{|x - a|}{\sqrt{x} + \sqrt{a}}$)

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = \sqrt{a}\epsilon$라고 하자. 

그러면 $\left| x - a \right| < \delta$ 일 때 $\left| \sqrt{x} - \sqrt{a} \right| = \left| \frac{|x - a|}{\sqrt{x} + \sqrt{a}} \right| \le \frac{|x - a|}{\sqrt{a}} < \frac{\delta}{\sqrt{a}} = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow a} \sqrt{x} = \sqrt{a}$ 이다. 

 

연습문제6. $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$임을 엡실론-델타 논법을 이용해서 증명하라.

 

$\left| x - 2 \right| < 1$ 이라고 가정하자.  

 

$$\begin{align*} |x - 2| < 1 &\Rightarrow -1 < x - 2 < 1 \\ &\Rightarrow 1 < x < 3 \\ &\Rightarrow \frac{1}{3} < \frac{1}{x} < 1 \\ &\Rightarrow \frac{1}{|x|} < 1 \end{align*}$$

 

임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $\delta = \text{min}\{2\epsilon, 1\}$라고 하자. 

그러면 $\left| x - 2 \right| < \delta$ 일 때 $\left| \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \right| = \left| \frac{x - 2}{2x} \right| = \frac{|x - a|}{2|x|} < \frac{1}{2} \delta = \epsilon$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ 이다. 

 

연습문제7. 함수 $f$가 아래와 같이 정의되어 있다고 하자. 

 

$$f(x) = \begin{cases} 0 &\text{ if } x \in \mathbb{Q} \\ 1 &\text{ if } x \in \mathbb{I}  \end{cases}$$

 

즉, $x$가 유리수면 $f(x) = 0$이고 $x$가 무리수면 $f(x) = 1$이다. 이때, $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$가 존재하지 않음을 증명하라.

 

$\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$가 존재한다고 가정하자. 따라서, 어떤 실수 $c$에 대해서 $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = c$이다. 그리고 $\epsilon = \frac{1}{3}$이라고 하자. 따라서, $|x - 0| = |x| < \delta$이면 $\left| f(x) - c \right| < \epsilon = \frac{1}{3}$을 만족하는 $\delta > 0$이 존재한다. 이때, 실수의 완비성으로 인해 구간 $[0, \delta)$에는 유리수 $a$와 무리수 $b$가 모두 포함되어 있다. 

 

$$|a - 0| = |a| < \delta \Rightarrow \left| f(a) - c \right| = |1 - c| < \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2}{3} < c < \frac{4}{3}$$

$$|b - 0| = |b| < \delta \Rightarrow \left| f(b) - c \right| = |0 - c| < \frac{1}{3} \Rightarrow -\frac{1}{3} < c < \frac{1}{3}$$

 

즉, $x$가 유리수 또는 무리수일 때 $f(x)$의 극한값이 다르므로 존재하지 않고 모순이다. 따라서, $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$는 존재하지 않는다. 

 

연습문제8. $\lim_{x \rightarrow -3} \frac{1}{(x + 3)^{4}} = \infty$임을 엡실론-델타 논법을 이용해서 증명하라.

 

임의의 양의 실수 $M > 0$이 주어지고 $\delta = \frac{1}{M^{\frac{1}{4}}}$라고 하자. 

그러면 $|x + 3| < \delta$ 일 때 $\left| \frac{1}{(x + 3)^{4}} \right| > \frac{1}{\delta^{4}} = M$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow -3} \frac{1}{(x + 3)^{4}} = \infty$ 이다. 

 

연습문제9. $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x) = -\infty$임을 엡실론-델타 논법을 이용해서 증명하라.

 

임의의 음의 실수 $M < 0$이 주어지고 $\delta = e^{M}$라고 하자. 

그러면 $x < \delta$ 일 때 $\left| \ln(x) \right| < \ln(\delta) = M$이다. 

따라서, $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x) = -\infty$ 이다. 

 

연습문제10. $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty$이고 $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = c \in \mathbb{R}$ 일 때 아래의 각 명제를 엡실론-델타 논법을 이용해서 증명하라.

 

(a). $\lim_{x \rightarrow a} \left[ f(x) + g(x) \right] = \infty$

(b). $c > 0$ 일 때 $\lim_{x \rightarrow a} \left[ f(x) g(x) \right] = \infty$

(c). $c < 0$ 일 때 $\lim_{x \rightarrow a} \left[ f(x) g(x) \right] = -\infty$

 

(a). $\lim_{x \rightarrow a} \left[ f(x) + g(x) \right] = \infty$

 

$\lim_{x \rightarrow a} g(x) = c$이기 때문에 임의의 양의 실수 $\epsilon > 0$에 대해서 $|x - a| < \delta_{1}$ 일 때 $\left| g(x) - c \right| < \epsilon$을 만족하는 $\delta_{1} > 0$가 존재한다. 또한, $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty$이기 때문에 임의의 실수 $M > 0$에 대해서 $|x - a| < \delta_{2}$ 일 때 $\left| f(x) \right| > M - c + \epsilon$인 $\delta_{2} > 0$가 존재한다. 

 

이때, $\delta = \min\{\delta_{1}, \delta_{2}\}$라고 하면 $|x - a| < \delta$ 일 때 $f(x) +g(x) > (M - c + \epsilon) + (c - \epsilon) = M$ 이다. 따라서, $\lim_{x \rightarrow a} \left[ f(x) + g(x) \right] = \infty$이다. 

 

(b). $c > 0$ 일 때 $\lim_{x \rightarrow a} \left[ f(x) g(x) \right] = \infty$

 

$\lim_{x \rightarrow a} g(x) = c$이기 때문에 $|x - a| < \delta_{1}$ 일 때 $\left| g(x) - c \right| < \frac{c}{2}$을 만족하는 $\delta_{1} > 0$가 존재한다. 또한, $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty$이기 때문에 임의의 실수 $M > 0$에 대해서 $|x - a| < \delta_{2}$ 일 때 $\left| f(x) \right| > \frac{2M}{c}$인 $\delta_{2} > 0$가 존재한다. 

 

이때, $\delta = \min\{\delta_{1}, \delta_{2}\}$라고 하면 $|x - a| < \delta$ 일 때 $f(x) g(x) > \left( \frac{2M}{c} \right) \cdot \left( \frac{c}{2} \right) = M$ 이다. 따라서, $c > 0$ 일 때 $\lim_{x \rightarrow a} \left[ f(x) g(x) \right] = \infty$이다. 

 

(c). $c < 0$ 일 때 $\lim_{x \rightarrow a} \left[ f(x) g(x) \right] = -\infty$

 

$\lim_{x \rightarrow a} g(x) = c$이기 때문에 $|x - a| < \delta_{1}$ 일 때 $\left| g(x) - c \right| < \frac{c}{2}$을 만족하는 $\delta_{1} > 0$가 존재한다. 또한, $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty$이기 때문에 임의의 실수 $M < 0$에 대해서 $|x - a| < \delta_{2}$ 일 때 $\left| f(x) \right| > \frac{2M}{c}$인 $\delta_{2} > 0$가 존재한다. 

 

이때, $\delta = \min\{\delta_{1}, \delta_{2}\}$라고 하면 $|x - a| < \delta$ 일 때 $f(x) g(x) < \left( \frac{2M}{c} \right) \cdot \left( \frac{c}{2} \right) = M$ 이다. 따라서, $c < 0$ 일 때 $\lim_{x \rightarrow a} \left[ f(x) g(x) \right] = -\infty$이다. 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)

 

변경사항

22.07.27 : 미적분학 - 정확한 극한의 정의 - 1과 2를 하나로 합침

22.07.27 : 연습문제1-5 추가

22.07.27 : 연습문제6-10 추가