미적분학 - 극한 법칙을 이용한 극한 계산하기

 안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수의 극한에서는 극한을 간단하게 정의하고 계산해보았습니다. 오늘은 극한 법칙과 이를 활용한 극한 계산법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

 일단 $\lim_{x \rightarrow a}f(x)$와 $\lim_{x \rightarrow a} g(x)$가 존재한다고 가정하겠습니다. 그러면 아래의 법칙들이 성립합니다. 

 

1. $\lim_{x \rightarrow a} \left[f(x) \pm g(x)\right] = \lim_{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
2. $\lim_{x \rightarrow a} \left[cf(x)\right] = c\lim_{x \rightarrow} f(x)$
3. $\lim_{x \rightarrow a} \left[f(x) g(x)\right] = \left[\lim_{x \rightarrow a}f(x)\right]\left[\lim_{x \rightarrow a} g(x)\right]$
4. $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \rightarrow a} f(x)}{\lim_{x \rightarrow a} g(x)}$(이때, $\lim_{x \rightarrow g(x)} \neq 0$ 이여야 합니다!)
5. $\lim_{x \rightarrow a} \left[f(x)\right]^{n} = \left[\lim_{x \rightarrow a} f(x)\right]^{n}$
6. $\lim_{x \rightarrow a} c = c$
7. $\lim_{x \rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow a} f(x)}$

예제1.$\lim_{x \rightarrow 2} f(x) = 4, \lim_{x \rightarrow 2} g(x) = -2, \lim_{x \rightarrow 2} h(x) = 0$이라고 할 때 아래의 식을 계산하시오.

 

1. $\lim_{x \rightarrow 2} \left[f(x) + 5g(x)\right]$
2. $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{3f(x)}{g(x)}$
3. $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{g(x)}{h(x)}$

1. $$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 2} \left[f(x) + 5g(x)\right] &= \lim_{x \rightarrow 2} f(x) + \lim_{x \rightarrow 2 } 5g(x) \\ &= \lim_{x \rightarrow 2} f(x) + 5\lim_{x \rightarrow 2} g(x) \\ &= 4 + 5 \cdot (-2) = -6\end{align}$$

 

2. $$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 2} \frac{3f(x)}{g(x)}&= \frac{\lim_{x \rightarrow 2} 3f(x)}{\lim_{x \rightarrow 2}g(x)} \\ &= \frac{3\lim_{x \rightarrow 2} f(x)}{\lim_{x \rightarrow 2}g(x)} \\ &= \frac{3 \cdot 4}{-2} = -6\end{align}$$

 

3. $\lim_{x \rightarrow 2} h(x) = 0$이기 때문에 극한은 정의되지 않는다.

 

예제2.$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{6 - x} - 2}{\sqrt{3 - x} - 1}$을 계산하라.

$$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{6 - x} - 2}{\sqrt{3 - x} - 1} &= \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\left(\sqrt{6 - x} - 2\right)\left(\sqrt{3 - x} + 1\right)}{\left(\sqrt{3 - x} - 1\right)\left(\sqrt{3 - x} + 1\right)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(\sqrt{6 - x} - 2)(\sqrt{3 - x} + 1)}{2 - x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(\sqrt{6 - x} - 2)}{2 - x} \cdot (\sqrt{3 - x} + 1) \\ &= \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{6 - x} - 2}{2 - x} \lim_{x \rightarrow 2} (\sqrt{3 - x} + 1) \\ &= 2\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{6 - x} - 2}{2 - x} \\ &= 2\lim_{x \rightarrow 2} \frac{(\sqrt{6 - x} - 2)(\sqrt{6 - x} + 2)}{(2 - x)(\sqrt{6 - x} + 2)} \\ &= 2\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2 - x}{(2 - x)(\sqrt{6 - x} + 2)} \\ &= 2 \lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{\sqrt{6 - x} + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\end{align}$$

 

또한 만약 두 함수 사이의 대소 관계가 명확하면 아래의 법칙들도 성립합니다. $f(x) \le h(x) \le g(x)$라고 가정하겠습니다. 

 

• $\lim_{x \rightarrow a} f(x) \le \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
• $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = L \Rightarrow \lim_{x \rightarrow a} h(x) = L$

 

연습문제1. 각 함수 $f, g, h$에 대해서 $\lim_{x \rightarrow 2} f(x) = 4, \lim_{x \rightarrow 2} g(x) = -2, \lim_{x \rightarrow 2} h(x) = 0$이 성립한다고 가정했을 때 아래의 식들을 구하여라.

 

1). $\lim_{x \rightarrow 2} \left[f(x)+ 5g(x)\right]$

2). $\lim_{x \rightarrow 2} \left[g(x)\right]^{3}$

3). $\lim_{x \rightarrow 2} \sqrt{f(x)}$

4). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{3f(x)}{g(x)}$

5). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{g(x)}{h(x)}$

6). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{g(x)h(x)}{f(x)}$

 

1). $\lim_{x \rightarrow 2} \left[f(x)+ 5g(x)\right] = \lim_{x \rightarrow 2} f(x) +5\lim_{x \rightarrow 2} g(x) = 4 + 5 \cdot (-2) = -6$

 

2). $\lim_{x \rightarrow 2} \left[g(x)\right]^{3} = \left[\lim_{x \rightarrow 2} g(x)\right]^{3} = (-2)^{3} = -8$

 

3). $\lim_{x \rightarrow 2} \sqrt{f(x)} = \sqrt{\lim_{x \rightarrow 2} f(x)} = \sqrt{4} = 2$

 

4). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{3f(x)}{g(x)} = \frac{3\lim_{x \rightarrow 2} f(x)}{\lim_{x \rightarrow 2} g(x)} = -6$

 

5). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{g(x)}{h(x)}$ : $\lim_{x \rightarrow 2} h(x) = 0$이기 때문에 정의되지 않는다. 

 

6). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{g(x)h(x)}{f(x)} = \frac{\left[\lim_{x \rightarrow 2} g(x) \right] \left[\lim_{x \rightarrow 2} h(x)\right]}{\lim_{x \rightarrow 2} f(x)} = \frac{(-2) \cdot 0}{4}=0$

 

연습문제2. 각 함수 $f$와 $g$가 아래의 그래프로 주어져있을 때 아래의 식들을 구하여라.

 

1). $\lim_{x \rightarrow 2} \left[f(x) + g(x)\right]$

2). $\lim_{x \rightarrow 1} \left[f(x) + g(x)\right]$

3). $\lim_{x \rightarrow 0} \left[f(x)g(x)\right]$

4). $\lim_{x \rightarrow -1} \frac{f(x)}{g(x)}$

5). $\lim_{x \rightarrow 2} \left[x^{3}f(x)\right]$

6). $\lim_{x \rightarrow 1} \sqrt{3 + f(x)}$

 

 

1). $\lim_{x \rightarrow 2} \left[f(x) + g(x)\right] = \lim_{x \rightarrow 2} f(x) + \lim_{x \rightarrow 2} g(x) = 2 + 0 = 2$

 

2). $\lim_{x \rightarrow 1} \left[f(x) + g(x)\right] : $\lim_{x \rightarrow 1} g(x)$의 좌극한과 우극한이 달라 극한값이 정의되지 않는다. 

 

3). $\lim_{x \rightarrow 0} \left[f(x)g(x)\right] = \left[\lim_{x \rightarrow 0} f(x)\right] \left[\lim_{x \rightarrow 0} g(x) \right] = 0 \cdot \lim_{x \rightarrow 2} g(x) = 0$

 

4). $\lim_{x \rightarrow -1} \frac{f(x)}{g(x)}$ : $\lim_{x \rightarrow -1} g(x) = 0$이기 때문에 극한값이 정의되지 않는다. 

 

5). $\lim_{x \rightarrow 2} \left[x^{3}f(x)\right] = \left[\lim_{x \rightarrow 2} x^{3}\right] \left[\lim_{x \rightarrow 2} f(x)\right]= 8 \cdot 2 = 16$

 

6). $\lim_{x \rightarrow 1} \sqrt{3 + f(x)} = \sqrt{3 + \lim_{x \rightarrow 1} f(x)} = \sqrt{4}= 2$

 

연습문제3. 극한값이 존재한다면 아래의 식들에 대한 극한값을 구하여라.

 

1). $\lim_{x \rightarrow -2} (3x^{4} + 2x^{2} - x + 1)$

2). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2x^{2}+ 1}{x^{2} + 6x + 4}$

3). $\lim_{x \rightarrow 8} (1 + \sqrt[3]{x})(2 - 6x^{2} + x^{3})$

4). $\lim_{t \rightarrow -1} (t^{2} + 1)^{3}(t + 3)^{5}$

5). $\lim_{x \rightarrow 1} \left(\frac{1+ 3x}{1 + 4x^{2} + 3x^{4}}\right)^{3}$

6). $\lim_{u \rightarrow -2} \sqrt{u^{4} + 3u + 6}$

7). $\lim_{x \rightarrow 4^{-}} \sqrt{16 - x^{2}}$

 

1). $\lim_{x \rightarrow -2} (3x^{4} + 2x^{2} - x + 1) = 3 \cdot (-2)^{4} + 2 \cdot (-2)^{2} - (-2) + 1 = 59$

 

2). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2x^{2}+ 1}{x^{2} + 6x + 4} = \frac{2 \cdot 2^{2} + 1}{2^{2} + 6 \cdot 2 + 1} = \frac{3}{4}$

 

3). $\lim_{x \rightarrow 8} (1 + \sqrt[3]{x})(2 - 6x^{2} + x^{3}) = (1 + \sqrt[3]{8})(1 - 6 \cdot 8^{2} + 8^{3}) =390$

 

4). $\lim_{t \rightarrow -1} (t^{2} + 1)^{3}(t + 3)^{5} = ((-1)^{2} + 1)^{3})((-1) + 3)^{5} = 2^{3}2^{5} = 2^{8} = 256$

 

5). $\lim_{x \rightarrow 1} \left(\frac{1+ 3x}{1 + 4x^{2} + 3x^{4}}\right)^{3} = \left(\frac{1 + 3}{1 + 4 + 3}\right)^{3}= \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{8}{27}$

 

6). $\lim_{u \rightarrow -2} \sqrt{u^{4} + 3u + 6} = \sqrt{(-2)^{4} + 3 \cdot (-2) + 6} = \sqrt{16} = 4$

 

7). $\lim_{x \rightarrow 4^{-}} \sqrt{16 - x^{2}} = 0$

 

연습문제4. 극한값이 존재한다면 아래의 식들에 대한 극한값을 구하여라.

 

1). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2}$

2). $\lim_{x \rightarrow -4} \frac{x^{2} + 5x + 4}{x^{2} + 3x - 4}$

3). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} - x + 6}{x - 2}$

4). $\lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^{2} - 4x}{x^{2} - 3x - 4}$

5). $\lim_{t \rightarrow 3} \frac{t^{2} - 9}{2t^{2} + 7t + 3}$

6). $\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^{2} - 4x}{x^{2} - 3x - 4}$

7). $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(4 + h)^{2} - 16}{h}$

8). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$

9). $\lim_{x \rightarrow -2} \frac{x + 2}{x^{3} + 8}$

10). $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(2 + h)^{3} - 8}{h}$

 

1). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x -2)(x + 3)}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2} (x + 3) = 5$

 

2). $\lim_{x \rightarrow -4} \frac{x^{2} + 5x + 4}{x^{2} + 3x - 4} = \lim_{x \rightarrow -4} \frac{(x + 1)(x + 4)}{(x + 4)(x - 1)} = \lim_{x \rightarrow -4} \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{3}{5}$

 

3). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} - x + 6}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{x- 2} = \lim_{x \rightarrow 2} (x - 3) = -1$

 

4). $\lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^{2} - 4x}{x^{2} - 3x - 4} = \lim_{x \rightarrow 4} \frac{x(x-4)}{(x + 1)(x - 4)} = \lim_{x \rightarrow 4} \frac{x}{x + 1} = \frac{4}{5}$

 

5). $\lim_{t \rightarrow 3} \frac{t^{2} - 9}{2t^{2} + 7t + 3} =\lim_{t \rightarrow 3} \frac{(t - 3)(t + 3)}{(t + 3)(2t + 1)} = \lim_{t \rightarrow 3} \frac{t - 3}{2t + 1} = 0$

 

6). $\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^{2} - 4x}{x^{2} - 3x - 4} = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x(x- 4)}{(x - 4)(x + 1)} = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x}{x + 1} \rightarrow $ 분모가 0이기 때문에 정의되지 않는다. 

 

7). $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(4 + h)^{2} - 16}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(h + 8)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} (h + 8) = 8$

 

8). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x^{2} + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = \frac{3}{2}$

 

9). $\lim_{x \rightarrow -2} \frac{x + 2}{x^{3} + 8} = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{x + 2}{(x + 2)(x^{2} + 2x + 4)} = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{1}{x^{2} + 2x + 4} = \frac{1}{4}$

 

10). $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(2 + h)^{3} - 8}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(2+ h - 2)((2 + h)^{2} + 2(2 +h) + 4)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} (2 + h)^{2} +2(2 + h) + 4 = 12$

 

연습문제5. 극한값이 존재한다면 아래의 식들에 대한 극한값을 구하여라.

 

1). $\lim_{t \rightarrow 9} \frac{9 - t}{3- \sqrt{t}}$

2). $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + h}- 1}{h}$

3). $\lim_{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x +2} - 3}{x- 7}$

4). $\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^{2} +2x + 1}{x^{4} - 1}$

5). $\lim_{x \rightarrow -4} \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{x}}{4 + x}$

6). $\lim_{t \rightarrow 0} \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2} + t}\right)$

7). $\lim_{x \rightarrow 16} \frac{4 - \sqrt{x}}{16x - x^{2}}$

8). $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(3 + h)^{-1} - 3^{-1}}{h}$

9). $\lim_{t \rightarrow 0} \left(\frac{1}{t\sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}\right)$

10). $\lim_{x \rightarrow -4} \frac{\sqrt{x^{2} + 9} - 5}{x + 4}$

 

1). $\lim_{t \rightarrow 9} \frac{9 - t}{3- \sqrt{t}} = \lim_{t \rightarrow 9} \frac{(3 - \sqrt{t})(3 + \sqrt{t})}{3 - \sqrt{t}} = \lim_{t \rightarrow 9} (3 + \sqrt{t}) = 6$

 

2). $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + h}- 1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1 + h} - 1)(\sqrt{1 + h} + 1)}{h(\sqrt{1 + h} + 1)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{1 + h} + 1} = \frac{1}{2}$

 

3). $\lim_{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x +2} - 3}{x- 7} = \lim_{x \rightarrow 7} \frac{(\sqrt{x + 2} - 3)(\sqrt{x + 2} + 3)}{(x - 7)(\sqrt{x + 2} + 3)} = \lim_{x \rightarrow 7} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 3} = \frac{1}{6}$

 

4). $\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^{2} +2x + 1}{x^{4} - 1} = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{(x + 1)^{2}}{(x^{2} + 1)(x + 1)(x - 1)} = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x + 1}{(x^{2 + 1})(x - 1)} = 0$

 

5). $\lim_{x \rightarrow -4} \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{x}}{4 + x} = \lim_{x \rightarrow -4} \frac{\frac{4 + x}{4x}}{4 +x} = \lim_{x \rightarrow -4} \frac{1}{4x} = -\frac{1}{16}$

 

6). $\lim_{t \rightarrow 0} \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2} + t}\right) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left(1 - \frac{1}{1 +t}\right) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t}{1 + t} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{1 + t} = 1$

 

7). $\lim_{x \rightarrow 16} \frac{4 - \sqrt{x}}{16x - x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 16} \frac{4 - \sqrt{x}}{x(4 - \sqrt{x})(4 + \sqrt{x})} = \lim_{x \rightarrow 16} \frac{1}{x(4 + \sqrt{x})} = \frac{1}{128}$

 

8). $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(3 + h)^{-1} - 3^{-1}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3 + h} - \frac{1}{3}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{3 - (3 + h)}{3h(3 + h)} = \lim_{h \rightarrow 0} -\frac{1}{3(3 + h)} = -\frac{1}{9}$

 

9). $\lim_{t \rightarrow 0} \left(\frac{1}{t\sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}\right) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1- \sqrt{1 + t}}{t\sqrt{1 + t}} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{(1- \sqrt{1 + t})(1 + \sqrt{1 + t})}{t\sqrt{1 + t}(1 + \sqrt{t})} = \lim_{t \rightarrow 0} -\frac{1}{\sqrt{1 + t}(1+ \sqrt{t})} = -\frac{1}{2}$

 

10). $\lim_{x \rightarrow -4} \frac{\sqrt{x^{2} + 9} - 5}{x + 4} = \lim_{x \rightarrow -4} \frac{(\sqrt{x^{2} + 9}-5)(\sqrt{x^{2} +9} + 5)}{(x + 4)(\sqrt{x^{2} + 9} + 5)} = \lim_{x \rightarrow -4} \frac{(x + 4)(x - 4)}{(x + 4)(\sqrt{x^{2} + 9} + 5)} = \lim_{x \rightarrow -4} \frac{x - 4}{\sqrt{x{2} + 9} + 5} = -\frac{4}{5}$

 

연습문제6. 극한값이 존재한다면 주어진 함수의 극한값을 구하여라.

 

1). $2x \le f(x) \le x^{4} - x^{2} + 2$일 때, $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$

2). $\lim_{x \rightarrow 0} x^{4}\cos\left(\frac{2}{x}\right)$

3). $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x}e^{\sin(\pi/x)}$

 

1). 임의의 $x \in \mathbb{R}$에 대해서 $2x \le f(x) \le x^{4} - x^{2} + 2$를 만족하기 때문에 극한값의 대소관계도 마찬가지로 부등식이 성립한다. 

 

$$\begin{align*} &\lim_{x \rightarrow 1} 2x \le \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \le \lim_{x \rightarrow 1} \left(x^{4} - x^{2} + 2\right) \Rightarrow &2 \le \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \le 2\end{align*}$$

 

샌드위치 정리에 의해 $\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 1$이다.

 

2). 임의의 $x \in \mathbb{R}$에 대해서 $-1 \le \cos(x) \le 1$을 만족하기 때문에 $-x^{4} \le x^{4}\cos\left(\frac{2}{x}\right) \le x^{4}$가 성립한다. 이때, $\lim_{x \rightarrow 0} \left(-x^{4}\right) = \lim_{x \rightarrow 0} x^{4} = 0$이기 때문에 샌드위치 정리에 의해 $\lim_{x \rightarrow 0} x^{4}\cos\left(\frac{2}{x}\right) = 0$이다. 

 

3). 임의의 $x \in \mathbb{R}$에 대해서 $-1 \le \sin(x) \le 1$을 만족하기 때문에 $\frac{\sqrt{x}}{e} \le \sqrt{x}e^{\sin(\pi/x)} \le \sqrt{x}e$가 성립한다. 이때, $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{e} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x}e = 0$이기 때문에 샌드위치 정리에 의해 $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x}e^{\sin(\pi/x)} = 0$이다. 

 

연습문제7. 극한값이 존재한다면 아래의 식들에 대한 극한값을 구하여라.

 

1). $\lim_{x \rightarrow 3} \left(2x + |x - 3|\right)$

2). $\lim_{x \rightarrow -6} \frac{2x + 12}{|x + 6|}$

3). $\lim_{x \rightarrow 0.5} \frac{2x - 1}{|2x^{3} - x^{2}|}$

4). $\lim_{x \rightarrow -2} \frac{2 - |x|}{2 + x}$

5). $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{|x|}\right)$

 

1). $\lim_{x \rightarrow 3} \left(2x + |x - 3|\right)$

 

좌극한 : $\lim_{x \rightarrow 3^{-}} \left(2x + |x - 3|\right) = \lim_{x \rightarrow 3^{-}} \left(2x + (-x + 3)\right) = \lim_{x \rightarrow 3^{-}} \left(x + 3\right) = 6$

우극한 : $\lim_{x \rightarrow 3^{+}} \left(2x + |x - 3|\right) = \lim_{x \rightarrow 3^{+}} \left(2x + (x - 3)\right) = \lim_{x \rightarrow 3^{+}} \left(3x - 3\right) = 6$

 

좌극한과 우극한의 값이 동일하기 때문에 $\lim_{x \rightarrow 3} \left(2x + |x - 3|\right) = 3$이다. 

 

2). $\lim_{x \rightarrow -6} \frac{2x + 12}{|x + 6|}$

 

좌극한 : $\lim_{x \rightarrow -6^{-}} \frac{2x + 12}{|x + 6|} = \lim_{x \rightarrow -6^{-}} \frac{2(x + 6)}{-(x + 6)} = -2$

우극한 : $\lim_{x \rightarrow -6^{+}} \frac{2x + 12}{|x + 6|} = \lim_{x \rightarrow -6^{+}} \frac{2(x + 6)}{x + 6} = 2$

 

좌극한과 우극한의 값이 다르기 때문에 $\lim_{x \rightarrow -6} \frac{2x + 12}{|x + 6|}$은 존재하지 않는다. 

 

3). $\lim_{x \rightarrow 0.5} \frac{2x - 1}{|2x^{3} - x^{2}|}$

 

좌극한 : $\lim_{x \rightarrow 0.5^{-}} \frac{2x - 1}{|2x^{3} - x^{2}|} = \lim_{x \rightarrow 0.5^{-}} \frac{2x - 1}{x^{2}(-2x + 1)} = \lim_{x \rightarrow 0.5^{-}} -\frac{1}{x^{2}} = -4$

우극한 : $\lim_{x \rightarrow 0.5^{+}} \frac{2x - 1}{|2x^{3} - x^{2}|} = \lim_{x \rightarrow 0.5^{+}} \frac{2x - 1}{x^{2}(2x - 1)} = \lim_{x \rightarrow 0.5^{+}} \frac{1}{x^{2}} = 4$

 

좌극한과 우극한의 값이 다르기 때문에 $\lim_{x \rightarrow 0.5} \frac{2x - 1}{|2x^{3} - x^{2}|}$은 존재하지 않는다. 

 

4). $\lim_{x \rightarrow -2} \frac{2 - |x|}{2 + x}$

 

좌극한 : $\lim_{x \rightarrow -2^{-}} \frac{2 - |x|}{2 + x} = \lim_{x \rightarrow -2^{-}} \frac{2 + x}{2 + x} = 1$

우극한 : $\lim_{x \rightarrow -2^{+}} \frac{2 - |x|}{2 + x} = \lim_{x \rightarrow -2^{+}} \frac{2 + x}{2 + x} = 1$

 

좌극한과 우극한의 값이 동일하기 때문에 $\lim_{x \rightarrow -2} \frac{2 - |x|}{2 + x} = 1$이다. 

 

5). $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{|x|}\right)$

 

좌극한 : $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{|x|}\right) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2}{x} = \infty$

우극한 : $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{|x|}\right) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} 0 = 0$

 

좌극한과 우극한의 값이 다르기 때문에 $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{|x|}\right)$는 존재하지 않는다. 

 

연습문제8. 임의의 실수 $x$에 대해서 $[x]$를 $x$보다 작은 최대 정수라고 정의할 때 아래의 식들에 대한 극한값을 구하여라.

 

1). $\lim_{x \rightarrow -2^{+}} [x]$

2). $\lim_{x \rightarrow -2} [x]$

3). $\lim_{x \rightarrow -2.4} [x]$

4). $\lim_{x \rightarrow n^{-}} [x]$

5). $\lim_{x \rightarrow n^{+}} [x]$

 

1). $\lim_{x \rightarrow -2^{+}} [x] = -2$

2). $\lim_{x \rightarrow -2} [x]$

 

좌극한 : $\lim_{x \rightarrow -2^{-}} [x] = -3$

우극한 : $\lim_{x \rightarrow -2^{+}} [x] = -2$

 

좌극한과 우극한의 값이 다르기 때문에 $\lim_{x \rightarrow -2} [x]$는 존재하지 않는다. 

 

3). $\lim_{x \rightarrow -2.4} [x] = -3$

 

4). $\lim_{x \rightarrow n^{-}} [x] = n - 1$

4). $\lim_{x \rightarrow n^{+}} [x] = n$

 

연습문제9. $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x) - 8}{x - 1} = 10$일 때, $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$를 구하여라.

 

$g(x) = \frac{f(x) - 8}{x - 1}$이라고 하자. 이를 정리하면 $f(x) = (x - 1)g(x) + 8$이기 때문에 함수 $f$를 $x \rightarrow 1$로의 극한을 취해준다. 

 

$$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow } \left[(x - 1)g(x) + 8\right] = 8$$

 

연습문제10. 아래와 같은 그림에서 $C_{1} : (x - 1)^{2} + y^{2} = 1$이고 $C_{2}$는 중심이 원점 $O$이고 반지름이 $r$인 원이라고 하자. 점 $P$를 원 $C_{2}$와 $y$축이 만나는 점, 점 $Q$를 두 원이 만날 때 위의 점, 점 $R$을 두 점 $P$와 $Q$를 지나는 직선과 $x$축이 만나는 점이라고 할 때 $r \rightarrow 0^{+}$를 취할 때 점 $R$의 위치를 구하여라.

 

 

먼저 점 $P$는 원 $C_{2}$와 $y$축이 만나는 점이므로 $P(0, r)$이다. 이제, 점 $Q$를 구하기 위해 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = r^{2}$이라고 하자. 이때, 두 원이 만나는 점은 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$에 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$을 대입하여 얻을 수 있다.

 

$$\begin{align*} &(x - 1)^{2} + (r^{2} - x^{2}) = 1 \\ \Rightarrow &(x - 1)^{2} - x^{2} = 1 - r^{2} \\ \Rightarrow &(x - 1 - x)(x - 1 + x) = 1 - r^{2} \\ \Rightarrow &2x - 1 = r^{2} - 1 \\ \Rightarrow& x = \frac{r^{2}}{2} \end{align*}$$

 

이제 얻은 $x$좌표를 원 $C_{2}$에 대입하여 $y$좌표를 구한다. 

 

$$\begin{align*} &\left(\frac{r^{2}}{2}\right)^{2} + y^{2} = r^{2} \\ \Rightarrow&y^{2} = r^{2} - \frac{r^{4}}{4} \\ \Rightarrow& y = \pm \frac{r}{2}\sqrt{4 - r^{2}}\end{align*}$$

 

이때, 점 $Q$는 $y$좌표가 양수인 점이기 때문에 $y = \frac{r}{2}\sqrt{4 - r^{2}}$이다. 마지막으로 점 $P$와 $Q$를 지나는 직선 $PQ$의 $x$절편을 구하면 된다. 이를 위해 직선 $PQ$를 기울기 $m$과 편향 $b$을 갖는 직선 $y = mx + b$라고 정의하자. 여기서, 직선 $PQ$는 점 $P$를 지나기 때문에 $y$절편은 $b = r$이다. 이제 점 $Q$를 대입하여 기울기 $m$을 찾는다. 

 

$$\begin{align*} &\frac{r}{2}\sqrt{4 - r^{2}} = m \frac{r^{2}}{2} + r \\ \Rightarrow& \frac{r^{2}}{2}m = \frac{r}{2}\sqrt{4 - r^{2}} - r \\ \Rightarrow&m = \frac{2}{r^{2}} \left(\frac{r}{2}\sqrt{4 - r^{2}} - r \right)\end{align*}$$

 

마지막으로 직선 $PQ$의 $x$절편은 $y = 0$이라고 할 때 얻을 수 있으므로 $x(r) = \frac{r}{m} = \frac{r}{\frac{2}{r^{2}} \left(\frac{r}{2}\sqrt{4 - r^{2}} - r\right)} = \frac{r^{2}}{\sqrt{4 - r^{2}} - 2}$이다. 이제 $x(r)$에 $r \rightarrow 0^{+}$로의 극한을 취해준다. 

 

$$\begin{align*} \lim_{r \rightarrow 0^{+}} \frac{r^{2}}{\sqrt{4 - r^{2}} - 2} &= \lim_{r \rightarrow 0^{+}} \frac{r^{2}}{\sqrt{4 - r^{2}} - 2} \cdot \frac{\sqrt{4 - r^{2}} + 2}{\sqrt{4 - r^{2}} + 2} \\ &= \lim_{r \rightarrow 0^{+}} \frac{r^{2}\left(\sqrt{4 - r^{2}} + 2\right)}{r^{2}} \\ &= \lim_{r \rightarrow 0^{+}} \left(\sqrt{4 - r^{2}} + 2\right) = 4\end{align*}$$

 

따라서, $r \rightarrow 0^{+}$일 때 $R(x(r), 0) \rightarrow R(4, 0)$이다. 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)

 

변경사항

22.07.06 : 연습문제1-5 추가 

22.07.08 : 연습문제6-10 추가