미적분학 - 음함수의 미분

 안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 연쇄법칙에서는 합성함수의 미분 규칙에 대해서 설명드렸습니다. 오늘은 특별한 형태의 함수인 음함수 (implicit function)이 무엇인지와 미분하는 방법에 대해서 설명드리도록 하겠습니다.

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

 일단 음함수가 있다면 양함수(explicit function)도 있겠죠? 양함수는 일반적으로 저희가 보았던 $y = f(x)$ 꼴의 모든 함수를 의미합니다. 따라서, 음함수라는 것은 $y = f(x)$의 꼴이 아닌 함수를 의미합니다. 예를 들어 단위 원의 방정식 $x^{2} + y^{2} = 1$은 $y = f(x)$ 꼴이 아니라, $x, y$가 모든 좌항에 몰려있습니다. 이러한 함수의 꼴들을 모두 음함수라고 부릅니다. 

 

 그렇다면 바로 $x^{2} + y^{2} = 1$의 도함수 $\frac{dy}{dx}$ 를 구해보도록 하겠습니다. 

 

$$\frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{d}{dx}(1) = 0$$

 

 일단 $\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$로 쉽게 구할 수 있습니다. 하지만 $\frac{d}{dx}(y^{2})$은 어떻게 구할까요? 아마 성급하게 0이라고 하실분들도 있겠지만 아쉽게도 틀렸습니다. 왜냐하면 $y$ 변수 자체가 $x$에 영향을 받고 있기 때문이죠. 여기서 적용해야하는 것인 지난 포스팅에서의 연쇄법칙입니다. 

 

$$\frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{d}{dy}(y^{2})\frac{dy}{dx} = 2y\frac{dy}{dx}$$

 

 따라서, 아래와 같은 식으로 쓸 수 있습니다. 

 

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

 

예제1. $x^{3} + y^{3} = 6xy$이 도함수 $\frac{dy}{dx}$를 구하여라.

$$\frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(y^{3}) = \frac{d}{dx}(6xy)$$

 

위 식에서 $\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}$이다.

 

1). $\frac{d}{dx}(y^{3}) = \frac{d}{dy}(y^{3})\frac{dy}{dx} = 3y^{2}\frac{dy}{dx}$

2). $\frac{d}{dx}(6xy) = 6y\frac{d}{dx}(x) + 6x\frac{d}{dx}(y) = 6y + 6x\frac{dy}{dx}$ 

 

$$\begin{align*} &\frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(y^{3}) = \frac{d}{dx}(6xy) \\ &\Rightarrow 3x^{2} + 3y^{2} \frac{dy}{dx} = 6y + 6x\frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow x^{2} + y^{2}\frac{dy}{dx} = 2y + 2x\frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow (y^{2} - 2x)\frac{dy}{dx} = 2y - x^{2} \\ &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^{2}}{y^{2} - 2x}\end{align*}$$

 

예제2. $x^{4} + y^{4} = 16$이 도함수 $\frac{dy}{dx}$를 구하여라.

$$\frac{d}{dx}(x^{4}) + \frac{d}{dx}(y^{4}) = \frac{d}{dx}(16)$$

 

위 식에서 $\frac{d}{dx}(x^{4}) = 4x^{3}$이다. 그리고 $\frac{d}{dx}(y^{4}) = \frac{d}{dy}(y^{4})\frac{dy}{dx} = 4y^{3}\frac{dy}{dx}$이다. 

 

$$\begin{align*} &\frac{d}{dx}(x^{4}) + \frac{d}{dx}(y^{4}) = \frac{d}{dx}(16) \\ &\Rightarrow 4x^{3} + 4y^{3} \frac{dy}{dx} = 0 \\ &\Rightarrow x^{3} + y^{3}\frac{dy}{dx} = 0 \\ &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{3}}{y^{3}} \end{align*}$$

 

이를 통해서 저희는 흔히 삼각함수의 역함수인 역삼각함수 (inverse trigonometric function)의 도함수도 계산할 수 있습니다. 먼저 역삼각함수의 기호는 $arc$라는 표시를 합니다. 예를 들어 사인함수의 역함수는 $\arcsin{(x)}$와 같이 쓰게 됩니다. 이와 같은 삼각함수는 $\arcsin{(x)}, \arccos{(x)}, \arctan{(x)}$와 같은 기본 삼각함수의 역함수부터 $\text{arccsc}{(x)}, \text{arcsec}{(x)}, \text{arccot}{(x)}$와 같은 고급 삼각함수의 역함수까지 다양하게 존재합니다. 또는 $\sin^{-1}{(x)}, \cos^{-1}{(x)}, \tan^{-1}{(x)}, \csc^{-1}{(x)}, \sec^{-1}{(x)}, \cot^{-1}{(x)}$와 같이도 쓸 수 있습니다. 오늘은 총 3개 함수들의 미분들을 유도하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

1. $y = \sin^{-1}{(x)} \Rightarrow x = \sin{(y)}$

 

$$\begin{align*} &\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sin{(y)}) \\ &\Rightarrow 1 = \frac{d}{dy}(\sin{(y)}) \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow 1 = \cos{(y)} \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{(y)}} =  \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\end{align*}$$

 

2. $y = \cos^{-1}{(x)} \Rightarrow x = \cos{(y)}$

 

$$\begin{align*} &\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\cos{(y)}) \\ &\Rightarrow 1 = \frac{d}{dy}(\cos{(y)}) \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow 1 = -\sin{(y)} \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin{(y)}} =  -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\end{align*}$$

 

3. $y = \tan^{-1}{(x)} \Rightarrow x = \tan{(y)}$

 

$$\begin{align*} &\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\tan{(y)}) \\ &\Rightarrow 1 = \frac{d}{dy}(\tan{(y)}) \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow 1 = \sec^{2}{(y)} \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^{2}{(y)}} = \frac{1}{1 + \tan^{2}{(y)}} = \frac{1}{1 + x^{2}}  \end{align*}$$

 

4. $y = \csc^{-1}{(x)} \Rightarrow x = \csc{(y)}$

 

이때, $\sin^{2}{(x)} + \cos^{2}{(x)} = 1 \Rightarrow 1 + \cot^{2}{(x)} = \csc^{2}{(x)}$임을 이용합니다. 

$$\begin{align*} &\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\csc{(y)}) \\ &\Rightarrow 1 = \frac{d}{dy}(\csc{(y)}) \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow 1 = -\cot{(y)}\csc{(y)} \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\cot{(y)}\csc{(y)}} =  -\frac{1}{\csc{(y)}\sqrt{\csc^{2}{(y)} - 1}} = -\frac{1}{x\sqrt{x^{2} - 1}}\end{align*}$$

 

5. $y = \sec^{-1}{(x)} \Rightarrow x = \sec{(y)}$

 

이때, $\sin^{2}{(x)} + \cos^{2}{(x)} = 1 \Rightarrow \tan^{2}{(x)} + 1 = \sec^{2}{(x)}$임을 이용합니다. 

$$\begin{align*} &\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sec{(y)}) \\ &\Rightarrow 1 = \frac{d}{dy}(\sec{(y)}) \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow 1 = \tan{(y)}\sec{(y)} \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan{(y)}\sec{(y)}} =  \frac{1}{\sec{(y)}\sqrt{\sec^{2}{(y)} - 1}} = \frac{1}{x\sqrt{x^{2} - 1}}\end{align*}$$

 

6. $y = \cot^{-1}{(x)} \Rightarrow x = \cot{(y)}$

 

이때, $\sin^{2}{(x)} + \cos^{2}{(x)} = 1 \Rightarrow 1 + \cot^{2}{(x)} = \csc^{2}{(x)}$임을 이용합니다. 

$$\begin{align*} &\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\cot{(y)}) \\ &\Rightarrow 1 = \frac{d}{dy}(\cot{(y)}) \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow 1 = -\csc^{2}{(y)} \frac{dy}{dx} \\ &\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^{2}{(y)}} =  -\frac{1}{1 + \cot^{2}{(x)}} = \frac{1}{1 + x^{2}}\end{align*}$$

 

연습문제1. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.

 

(a). $xy + 2x + 3x^{2} = 4$

(b). $4x^{2} + 9y^{2} = 36$

(c). $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

(d). $\cos(x) + \sqrt{y} = 5$

 

(a). $xy + 2x + 3x^{2} = 4$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} [xy + 2x + 3x^{2}] = y + x\frac{dy}{dx} + 2 + 6x$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} [4] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &y + x\frac{dy}{dx} + 2 + 6x = 0 \\ \Rightarrow& x\frac{dy}{dx} = -(6x + y + 2) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{6x + y + 2}{x} \end{align*}$$

 

(b). $4x^{2} + 9y^{2} = 36$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} [4x^{2} + 9y^{2}] = 8x + 18y\frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} [36] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &8x + 18y\frac{dy}{dx} = 0 \\ \Rightarrow& 18y\frac{dy}{dx} = -8x \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{9y} \end{align*}$$

 

(c). $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right] = -\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} [1] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &-\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} \frac{dy}{dx} = 0 \\ \Rightarrow& \frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^{2}} \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{y^{2}}{x^{2}} \end{align*}$$

 

(d). $\cos(x) + \sqrt{y} = 5$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ \cos(x) + \sqrt{y} \right] = -\sin(x) + \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} [5] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &-\sin(x) + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0 \\ \Rightarrow& \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx} = \sin(x) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = 2\sqrt{y}\sin(x) \end{align*}$$

 

연습문제2. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.

 

(a). $x^{3} + y^{3} = 1$

(b). $x^{2} + xy - y^{2} = 4$

(c). $x^{4}(x + y) = y^{2}(3x - y)$

(d). $x^{2}y^{2} + x\sin(y) = 4$

(e). $4\cos(x)\sin(y) = 1$

(f). $e^{\frac{x}{y}}  = x - y$

(g). $\sqrt{xy} = 1 + x^{2}y$

(h). $e^{y}\cos(x) = 1 + \sin(xy)$

 

(a). $x^{3} + y^{3} = 1$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x^{3} + y^{3} \right] = 3x^{2} + 3y^{2}\frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} [1] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &3x^{2} + 3y^{2} \frac{dy}{dx} = 0 \\ \Rightarrow& 3y^{2}\frac{dy}{dx} = -3x^{2} \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{2}}{y^{2}} \end{align*}$$

 

(b). $x^{2} + xy - y^{2} = 4$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x^{2} + xy - y^{2} \right] = 2x + y + x \frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} [4] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &2x + y + x \frac{dy}{dx} - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \\ \Rightarrow& (x - 2y) \frac{dy}{dx} = -(2x + y) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x - 2y} \end{align*}$$

 

(c). $x^{4}(x + y) = y^{2}(3x - y)$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x^{4}(x + y) = y^{2}(3x - y) \right] = 4x^{3}(x + y) + x^{4}(1 + \frac{dy}{dx})$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ y^{2}(3x - y) \right] = 2y(3x - y) \frac{dy}{dx} + y^{2}(3 - \frac{dy}{dx})$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &4x^{3}(x + y) + x^{4}(1 + \frac{dy}{dx}) = 2y(3x - y) \frac{dy}{dx} + y^{2}(3 - \frac{dy}{dx}) \\ \Rightarrow& 4x^{4} + 4x^{3}y + x^{4} + x^{4} \frac{dy}{dx} = 6xy - 2y^{2} + 3y^{2} - y^{2} \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& (x^{4} + y^{2})\frac{dy}{dx} = -(5x^{4} + 4x^{3}y - 6xy - y^{2}) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{5x^{4} + 4x^{3}y - 6xy - y^{2}}{x^{4} + y^{2}} \end{align*}$$

 

(d). $x^{2}y^{2} + x\sin(y) = 4$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x^{2}y^{2} + x\sin(y) \right] = 2xy^{2} + 2x^{2}y \frac{dy}{dx} + \sin(y) + x\cos(y) \frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 4 \right] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &2xy^{2} + 2x^{2}y \frac{dy}{dx} + \sin(y) + x\cos(y) \frac{dy}{dx} = 0 \\ \Rightarrow& (2x^{2}y + x\cos(y)) \frac{dy}{dx} = -(2xy^{2} + \sin(y)) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{2xy^{2} + \sin(y)}{2x^{2}y + x\cos(y)} \end{align*}$$

 

(e). $4\cos(x)\sin(y) = 1$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 4\cos(x)\sin(y) \right] = -4\sin(x)\sin(y) + 4\cos(x)\cos(y) \frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 1 \right] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &-4\sin(x)\sin(y) + 4\cos(x)\cos(y) \frac{dy}{dx} = 0 \\ \Rightarrow& 4\cos(x)\cos(y) \frac{dy}{dx} = 4\sin(x)\sin(y) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x)\sin(y)}{\cos(x)\cos(y)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(y)}{\cos(y)} = \tan(x)\tan(y) \end{align*}$$

 

(f). $e^{\frac{x}{y}}  = x - y$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ e^{\frac{x}{y}} \right] = \frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^{2}} e^{\frac{x}{y}}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x - y \right] = 1 - \frac{dy}{dx}$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^{2}} e^{\frac{x}{y}} = 1 - \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& (y - x \frac{dy}{dx})e^{\frac{x}{y}} = y^{2} = y^{2} \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& y e^{\frac{x}{y}} - x e^{\frac{x}{y}} \frac{dy}{dx} = y^{2} - y^{2} \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& (y^{2} - xe^{\frac{x}{y}})\frac{dy}{dx} = y^{2} - ye^{\frac{x}{y}} \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} - ye^{\frac{x}{y}}}{y^{2} - xe^{\frac{x}{y}}} \end{align*}$$

 

(g). $\sqrt{xy} = 1 + x^{2}y$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ \sqrt{xy} \right] = \frac{y + x\frac{dy}{dx}}{2\sqrt{xy}}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 1 + x^{2}y \right] = 2xy + x^{2}\frac{dy}{dx}$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &\frac{y + x\frac{dy}{dx}}{2\sqrt{xy}} = 2xy + x^{2}\frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& y + x\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{xy}(2xy + x^{2}\frac{dy}{dx}) = 4xy\sqrt{xy} + 2x^{2}\sqrt{xy}\frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& (x - 2x^{2}\sqrt{xy}) \frac{dy}{dx} = -(4xy\sqrt{xy} + y) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{y(4x\sqrt{xy} + 1)}{x(1 - 2x\sqrt{xy})} \end{align*}$$

 

(h). $e^{y}\cos(x) = 1 + \sin(xy)$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ e^{y}\cos(x) \right] = e^{y}\cos(x) \frac{dy}{dx} - e^{y}\sin(x) $

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 1 + \sin(xy) \right] = (y + x\frac{dy}{dx})\cos(xy)$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &e^{y}\cos(x) \frac{dy}{dx} - e^{y}\sin(x) = (y + x \frac{dy}{dx}) \cos(xy) \\ \Rightarrow& (e^{y}\cos(x) - x\cos(xy)) \frac{dy}{dx} = y\cos(xy) + e^{y}\sin(x) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{y\cos(xy) + e^{y}\sin(x)}{e^{y}\cos(x) - x\cos(xy)}\end{align*}$$

 

연습문제3. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.

 

(a). $2\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$

(b). $2x^{3} + x^{2}y - xy^{3} = 3$

(c). $y^{5} + x^{2}y^{3} = 1 + ye^{x^{2}}$

(d). $1 + x = \sin(xy^{2})$

(e). $y\sin(x^{2}) = x\sin(y^{2})$

(f). $\sqrt{x + y} = 1 + x^{2}y^{2}$

(g). $\tan(x - y) = \frac{y}{1 + x^{2}}$

(h). $\sin(x) + \cos(y) = \sin(x)\cos(y)$

 

(a). $2\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 2\sqrt{x} + \sqrt{y} \right] = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} [3] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0 \\ \Rightarrow& \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{x}} \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \end{align*}$$

 

(b). $2x^{3} + x^{2}y - xy^{3} = 3$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 2x^{3} + x^{2}y - xy^{3} \right] = 6x^{2} + 2xy + x^{2} \frac{dy}{dx} - y^{3} - 3xy^{2} \frac{dy}{dx} = (x^{2} - 3xy^{2}) \frac{dy}{dx} + (6x^{2} + 2xy - y^{3})$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} [3] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &(x^{2} - 3xy^{2})\frac{dy}{dx} + (6x^{2} + 2xy - y^{3}) = 0 \\ \Rightarrow& (x^{2} - 3xy^{2}) \frac{dy}{dx} = -(6x^{2} + 2xy - y^{3}) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{6x^{2} + 2xy - y^{3}}{x^{2} - 3xy^{2}} \end{align*}$$

 

(c). $y^{5} + x^{2}y^{3} = 1 + ye^{x^{2}}$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ y^{5} + x^{2}y^{3} \right] = 5y^{4} \frac{dy}{dx} + 2xy^{3} + 3x^{2}y^{2} \frac{dy}{dx} = (3x^{2}y^{2} + 5y^{4}) \frac{dy}{dx} + 2xy^{3}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 1 + ye^{x^{2}} \right] = e^{x^{2}} \frac{dy}{dx} + 2xye^{x^{2}}$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &(3x^{2}y^{2} + 5y^{4}) \frac{dy}{dx} + 2xy^{3} = e^{x^{2}} \frac{dy}{dx} + 2xye^{x^{2}} \\ \Rightarrow& (3x^{2}y^{2} + 5y^{4} - e^{x^{2}}) \frac{dy}{dx} = (2xye^{x^{2}} - 2xy^{3}) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{2xye^{x^{2}}}{3x^{2}y^{2} + 5y^{4} - e^{x^{2}}} \end{align*}$$

 

(d). $1 + x = \sin(xy^{2})$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 1 + x \right] = 1$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ \sin(xy) \right] = (y + x\frac{dy}{dx}) \cos(xy)$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &1 = (y + x\frac{dy}{dx}) \cos(xy) = y\cos(xy) + x\cos(xy) \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& x\cos(xy) \frac{dy}{dx} = 1 - y\cos(xy) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy)} \end{align*}$$

 

(e). $y\sin(x^{2}) = x\sin(y^{2})$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ y\sin(x^{2}) \right] = \sin(x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy \cos(x^{2})$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x\sin(y^{2}) \right] = \sin(y^{2}) + 2xy \cos(y^{2}) \frac{dy}{dx}$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &\sin(x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy \cos(x^{2}) = \sin(y^{2}) +2xy \cos(y^{2}) \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& (\sin(x^{2}) - 2xy \cos(y^{2})) \frac{dy}{dx} = \sin(y^{2}) - 2xy\cos(x^{2}) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(y^{2}) - 2xy\cos(x^{2})}{\sin(x^{2}) - 2xy\cos(y^{2})} \end{align*}$$

 

(f). $\sqrt{x + y} = 1 + x^{2}y^{2}$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ \sqrt{x + y} \right] = \frac{1}{2\sqrt{x + y}}(1 + \frac{dy}{dx}) = \frac{1}{2\sqrt{x + y}} + \frac{1}{2\sqrt{x + y}} \frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 1 + x^{2}y^{2} \right] = 2xy^{2} + 2x^{2}y \frac{dy}{dx}$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &\frac{1}{2\sqrt{x + y}} + \frac{1}{2\sqrt{x + y}} \frac{dy}{dx} = 2xy^{2} + 2x^{2}y \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& (\frac{1}{2\sqrt{x + y}} - 2x^{2}y) \frac{dy}{dx} = 2xy^{2} - \frac{1}{2\sqrt{x + y}} \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{2xy^{2} - \frac{1}{2\sqrt{x + y}}}{\frac{1}{2\sqrt{x + y}} - 2x^{2}y} = \frac{4xy^{2}\sqrt{x + y} - 1}{1 - 4xy^{2}\sqrt{x + y}}\end{align*}$$

 

(g). $\tan(x - y) = \frac{y}{1 + x^{2}}$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ \tan(x - y) \right] = \sec^{2}(x - y) (1 - \frac{dy}{dx}) = \sec^{2}(x - y) - \sec^{2}(x - y) \frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ \frac{y}{1 + x^{2}} \right] = \frac{(1 + x^{2}) \frac{dy}{dx} - 2xy}{(1 + x^{2})^{2}}$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &\sec^{2}(x - y) - \sec^{2}(x - y) \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + x^{2}) \frac{dy}{dx} - 2xy}{(1 + x^{2})^{2}} \\ \Rightarrow& (1 + x^{2})^{2}\sec^{2}(x - y) - (1 + x^{2})^{2}\sec^{x}(x - y) \frac{dy}{dx} = (1 + x^{2}) \frac{dy}{dx} - 2xy \\ \Rightarrow& (1 + x^{2} + (1 + x^{2})^{2} \sec^{2}(x - y)) \frac{dy}{dx} = (1 + x^{2})^{2} \sec^{2}(x - y) + 2xy \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + x^{2})^{2} \sec^{2}(x - y) + 2xy}{1 + x^{2} + (1 + x^{2})^{2} \sec^{2}(x - y)}\end{align*}$$

 

(h). $\sin(x) + \cos(y) = \sin(x)\cos(y)$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ \sin(x) + \cos(y) \right] = \cos(x) - \sin(y) \frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ \sin(x)\cos(y) \right] = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) \frac{dy}{dx}$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &\cos(x) - \sin(y) \frac{dy}{dx} = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& (\sin(x)\sin(y) + \sin(y)) \frac{dy}{dx} = \cos(x)\cos(y) - \cos(x) \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x)\cos(y) - \cos(x)}{\sin(x)\sin(y) + \sin(y)} = \frac{\cos(x)(\cos(y) - 1)}{\sin(y)(\sin(y) + 1)}\end{align*}$$

 

연습문제4. 주어진 소문제의 답을 구하여라.

 

(a). 함수 $f$가 식 $f(x) + x^{2}[f(x)]^{3} = 10$을 만족하고 $f(1) = 2$일 때 $f^{'}(1)$을 구하여라.

(b). 함수 $g$가 식 $g(x) + x\sin(g(x)) = x^{2}$을 만족할 때 $g^{'}(0)$을 구하여라.

 

(a). 함수 $f$가 식 $f(x) + x^{2}[f(x)]^{3} = 10$을 만족하고 $f(1) = 2$일 때 $f^{'}(1)$을 구하여라.

 

먼저, 함수 $f$의 도함수를 구하기 위해 양변에 미분을 취한다. 

 

$$f^{'}(x) + 2x[f(x)]^{3} + 3x^{2}f^{'}(x)[f(x)]^{2} = 0 \Rightarrow f^{'}(1) + 2[f(1)]^{3} + 3f^{'}(1)[f(1)]^{2} = f^{'}(1) + 16 + 12f^{'}(x) = 13f^{'}(x) + 16 = 0$$

 

위 식을 정리하면 $f^{'}(1) = -\frac{16}{13}$임을 알 수 있다. 

 

(b). 함수 $g$가 식 $g(x) + x\sin(g(x)) = x^{2}$을 만족할 때 $g^{'}(0)$을 구하여라.

 

먼저, 함수 $g$의 도함수를 구하기 위해 양변에 미분을 취한다. 

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ g(x) + x\sin(g(x)) \right] = g^{'}(x) + \sin(g(x)) + xg^{'}(x)\cos(g(x))$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x^{2} \right] = 2x$

 

$$g^{'}(x) + \sin(g(x)) + xg^{'}(x) \cos(g(x)) = 2x \Rightarrow g^{'}(0) = 0$$

 

연습문제5. 주어진 함수와 점에 대해서 접선의 방정식을 구하여라.

 

(a). $x^{2} + xy + y^{2} = 3, (1, 1)$

(b). $x^{2} + 2xy - y^{2} + x = 2, (1,2)$

(c). $x^{2} + y^{2} = (2x^{2} + 2y^{2} - x)^{2}, (0, \frac{1}{2})$

 

(a). $x^{2} + xy + y^{2} = 3, (1, 1)$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x^{2} + xy + y^{2} \right] = 2x + y + x \frac{dy}{dx} +2y\frac{dy}{dx} = (x + 2y) \frac{dy}{dx} + (2x + y)$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 3 \right] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &(x + 2y)\frac{dy}{dx} + (2x + y) = 0 \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y} \end{align*}$$

 

이제 주어진 점에서의 접선의 기울기를 구한다. 
$$m = \frac{dy}{dx}_{(1, 1)} = -1$$

 

따라서, 접선의 방정식은 $y = -(x - 1) + 1 = -x +2$이다.

 

(b). $x^{2} + 2xy - y^{2} + x = 2, (1,2)$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x^{2} + 2xy - y^{2} + x \right] = 2x + 2y + 2x \frac{dy}{dx} - 2y \frac{dy}{dx} + 1 = (2x - 2y) \frac{dy}{dx} (2x + 2y + 1)$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ 2 \right] = 0$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &(2x - 2y)\frac{dy}{dx} + (2x + 2y + 1) = 0 \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + 2y + 1}{2x - 2y} \end{align*}$$

 

이제 주어진 점에서의 접선의 기울기를 구한다. 

 

$$m = \frac{dy}{dx}_{(1, 2)} = \frac{7}{2}$$

 

따라서, 접선의 방정식은 $y = \frac{7}{2}(x - 1) + 2 = \frac{7}{2}x - \frac{3}{2}$이다.

 

(c). $x^{2} + y^{2} = (2x^{2} + 2y^{2} - x)^{2}, (0, \frac{1}{2})$

 

1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x^{2} + y^{2} \right] = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$

2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ (2x^{2} + 2y^{2} - x)^{2} \right] = 2(4x + 4y\frac{dy}{dx} - 1)(2x^{2} + 2y^{2} - x)$

 

이제 위 식을 정리한다. 

 

$$\begin{align*} &2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2(4x + 4y \frac{dy}{dx} - 1)(2x^{2} + 2y^{2} - x)  \end{align*}$$

 

$m = \frac{dy}{dx}_{(0, \frac{1}{2})}$을 접선의 기울기라고 할 때 주어진 점에서의 접선의 기울기를 구한다. 

 

$$m = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (2m - 1) \Rightarrow m = 1$$

 

따라서, 접선의 방정식은 $y = (x - 0) + \frac{1}{2} = x + \frac{1}{2}$이다.

 

연습문제6. 원점을 중심으로 하는 단위원 상의 임의의 점 $P$에서의 접선과 직선 $OP$는 서로 수직임을 보여라.

 

$P(x_{0}, y_{0})$ 그리고 단위원을 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$라고 하자. 이때, $a$는 단위원의 반지름이다. 

 

$$\frac{d}{dx} \left[ x^{2} + y^{2} \right] = 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

 

따라서, 임의의 점 $P$에서의 접선의 기울기는 $m_{1} = -\frac{x_{0}}{y_{0}}$이다. 이때, 직선 $OP$의 기울기는 $m_{2} = \frac{y_{0}}{x_{0}}$이므로 두 기울기의 곱 $m_{1} \cdot m_{2} = -\frac{x_{0}}{y_{0}} \cdot \frac{y_{0}}{x_{0}} = -1$이다. 따라서, 임의의 점 $P$에서의 접선과 직선 $OP$는 서로 수직이다. 

 

연습문제7. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.

 

(a). $y = \arctan(\sqrt{x})$

(b). $y = \arcsin(2x + 1)$

(c). $G(x) = \sqrt{1 - x^{2}}\arccos(x)$

(d). $h(t) = \text{arccot}(t) + \text{arccot} \left( \frac{1}{t} \right)$

(e). $y = \arccos(e^{2x})$

 

(a). $y = \arctan(\sqrt{x})$

 

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\arctan(\sqrt{x})] = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{1 +(\sqrt{x})^{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}$$

 

(b). $y = \arcsin(2x + 1)$

 

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\arcsin(2x + 1)] = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (2x + 1)^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x + 1)^{2}}}$$

 

(c). $G(x) = \sqrt{1 - x^{2}}\arccos(x)$

 

$$G^{'}(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^{2}}} \arccos(x) + \sqrt{1 - x^{2}} \cdot \left( -\frac{1}{1 - x^{2}} \right) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \arccos(x) - 1$$

 

(d). $h(t) = \text{arccot}(t) + \text{arccot} \left( \frac{1}{t} \right)$

 

$$h^{'}(t) = -\frac{1}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + \left( \frac{1}{t} \right)^{2}} \cdot (- \frac{1}{t^{2}}) = -\frac{1}{1 + t^{2}} + \frac{1}{1 + t^{2}} = 0$$

 

(e). $y = \arccos(e^{2x})$

 

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \arccos(e^{2x}) \right] = -\frac{2e^{2x}}{\sqrt{1 - e^{4x}}}$$

 

연습문제8. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.

 

(a). $y = \sqrt{\arctan(x)}$

(b). $g(x) = \sqrt{x^{2} - 1}\text{arcsec}(x)$

(c). $y = \arctan(x - \sqrt{1 + x^{2}})$

(d). $F(\theta) = \arcsin (\sqrt{\sin(\theta)})$

(e). $y = \arctan \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)$

 

(a). $y = \sqrt{\arctan(x)}$

 

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\arctan(x)}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} = \frac{1}{2(1 + x^{2})\sqrt{\arctan(x)}}$$

 

(b). $g(x) = \sqrt{x^{2} - 1}\text{arcsec}(x)$

 

$$g^{'}(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^{2} - 1}} \text{arcsec}(x) + \sqrt{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{x\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{x\text{arcsec}(x)}{\sqrt{x^{2} - 1}} +\frac{1}{x}$$

 

(c). $y = \arctan(x - \sqrt{1 + x^{2}})$

 

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (x - \sqrt{1 + x^{2}})^{2}} \cdot (1 - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$$

 

(d). $F(\theta) = \arcsin (\sqrt{\sin(\theta)})$

 

$$F^{'}(\theta) = \cos(\theta) \cdot \frac{1}{2\sqrt{\sin(\theta)}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{\sin(\theta)})^{2}}} = \frac{\cos(\theta)}{2\sqrt{\sin(\theta)}} \cdot \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{1}{2\sqrt{\sin(\theta)}}$$

 

(e). $y = \arctan \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)$

 

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)^{2}} \cdot \frac{-(1 + x) - (1 - x)}{(1 + x)^{2}}= -\frac{1}{2(1 +x)} \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$$

 

연습문제9. 함수 $f$가 일대일 대응인 미분가능한 함수이고 역함수 $f^{-1}$ 역시 미분가능한 함수라고 할 때, $(f^{-1})^{'}(x) = \frac{1}{f^{'}(f^{-1})(x)}$임을 보여라.

 

$y = f^{-1}(x)$라고 하면 역함수의 정의에 의해 $x = f(y)$라고 할 수 있다. 이제 양변에 대해 미분을 취하면 $1 = f^{'}(y) \frac{dy}{dx}$를 얻을 수 있고, 이 식을 다시 정리하면 $(f^{-1})^{'}(x) = y^{'} = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{f^{'}(y)} = \frac{1}{f^{'}(f^{-1}(x))}$이다. 

 

연습문제10. 아래의 그림에서 원을 중심으로 하는 타원의 방정식을 $x^{2} + 4y^{2} = 5$라고 하자. $(3, 0)$ 위치의 높이를 모르는 가로등이 타원을 비칠 때 그림자의 경계가 $x = -5$에서 생긴다고 할 때 가로등의 높이를 구하여라.

 

 

 

주어진 타원의 도함수를 먼저 구한다. 

 

$$2x + 8y \frac{dy}{dx} = 0 \rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y}$$

 

이때, 타원과 전등에 의해 만들어지는 두 접선 중 $(-5, 0)$을 지나는 접선의 방정식을 먼저 구해야한다. 해당 접선의 기울기를 $m$이라고 할 때 아래와 같이 접선의 방정식을 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} &y = m(x + 5) = mx + 5m \\ \Rightarrow&  y = \left( -\frac{x_{0}}{4y_{0}} \right)x + 5 \cdot \left( -\frac{x_{0}}{4y_{0}} \right) \\ \Rightarrow& 4y_{0}y = -x_{0}x - 5x_{0} \end{align*}$$

 

위 마지막 식에서 $(x_{0}, y_{0})$을 대입한다. 

 

$$4y_{0}^{2} + x_{0}^{2} = 5 = -5x_{0}$$

 

따라서, $(x_{0}, y_{0}) = (-1, 1)$이다. 그러므로 해당 점에서의 접선의 방정식은 $y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$이다. 이때, 가로등은 $x = 3$ 위치에 존재하므로 이를 접선의 방정식에 대입하면 가로등의 높이를 얻을 수 있다. 따라서 가로등의 높이는 $h = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = 2$이다. 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)

 

변경사항

22.09.12 : 전체적인 스타일 수정

22.09.13 : 연습문제1-5 추가

22.09.14 : 연습문제6-10 추가