안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 음함수의 미분에서는 고급삼각함수 $\csc{(x)}, \sec{(x)}, \cot{(x)}$를 음함수 미분법을 이용해서 미분하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 로그함수를 미분하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 로그함수 역시 지수 함수의 역함수이기 때문에 이를 활용하면 아주 쉽게 미분할 수 있습니다.
미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.
정리1. 로그함수의 미분
$$\frac{d}{dx}\left(\log_{a}{x}\right) = \frac{1}{x\ln{a}}$$
증명
로그함수의 미분은 지수함수로의 변형을 통해 쉽게 증명할 수 있습니다. 저희가 생각해야할 점은 로그함수란 지수함수의 역함수라는 사실을 활용한 뒤 지난 포스팅에서의 음함수의 미분법을 사용하면 됩니다. 먼저, $y = \log_{a} (x)$라고 하겠습니다. 이때, 로그함수는 지수함수로 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
$$a^{y} = x$$
이제 마지막으로 음함수 미분법을 이용해서 아래와 같이 미분을 할 수 있습니다.
$$\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(a^{y}) = \frac{d}{dy}(a^{y})\frac{dy}{dx} = a^{y}\ln{a} \frac{dy}{dx}$$
따라서 $\frac{d}{dx}(\log_{a}{x}) = \frac{1}{a^{y}\ln{a}} = \frac{1}{x\ln{a}}$임을 알 수 있습니다. 이때, $a = e$로 자연상수라면 $\frac{d}{dx}(\ln{x}) = \frac{1}{x}$입니다. 아주 간단하죠?
예제1. $y = \ln{(x^{3} + 1)}$의 도함수를 구하여라.
$u = x^{3} + 1$이라고 정의하자.
$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}(\ln{u}) \\ &= \frac{d}{du}(\ln{u})\frac{du}{dx}(u) \\ &= \frac{1}{u} \frac{du}{dx}(x^{3} + 1) = \frac{3x^{2}}{x^{3} + 1}\end{align*}$$
예제2. $y = \sqrt{\ln{x}}$의 도함수를 구하여라.
$u = \ln{x}$이라고 정의하자.
$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}(\sqrt{u}) \\ &= \frac{d}{du}(\sqrt{u})\frac{du}{dx}(u) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{u}} \frac{du}{dx}(\ln{x}) = \frac{1}{2x\sqrt{\ln{x}}}\end{align*}$$
연습문제1. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $f(x) = \ln (x^{2} + 10)$
(b). $f(x) = \sin(\ln(x))$
(c). $f(x) = \log_{2} (1 - 3x)$
(d). $f(x) = \sqrt[5]{\ln(x)}$
(e). $f(x) = \sin(x) \ln(5x)$
(f). $F(t) = \ln \left( \frac{(2t + 1)^{3}}{(3t - 1)^{4}} \right)$
(g). $g(x) = \ln \left( x\sqrt{x^{2} - 1} \right)$
(h). $f(u) = \frac{\ln u}{1 + \ln(2u)}$
(i). $y = \ln |2 - x - 5x^{2}|$
(j). $y = \ln(e^{-x} + xe^{-x})$
(k). $y = 2x\log_{10} (\sqrt{10})$
(a). $f(x) = \ln (x^{2} + 10)$
$$f^{'}(x) = \frac{2x}{x^{2} + 10}$$
(b). $f(x) = \sin(\ln(x))$
$$f^{'}(x) = \frac{\cos(\ln(x))}{x}$$
(c). $f(x) = \log_{2} (1 - 3x)$
$$f^{'}(x) = \frac{-3}{(1 - 3x)\ln(2)}$$
(d). $f(x) = \sqrt[5]{\ln(x)}$
$$f^{'}(x) = \frac{1}{5x\sqrt[5]{(\ln(x))^{4}}}$$
(e). $f(x) = \sin(x) \ln(5x)$
$$f^{'}(x) = \cos(x) \ln(5x) + \frac{\sin(x)}{x}$$
(f). $F(t) = \ln \left( \frac{(2t + 1)^{3}}{(3t - 1)^{4}} \right) = 3\ln |2t + 1| - 4\ln |3t - 1|$
$$F^{'}(t) = \frac{6}{2t + 1} - \frac{12}{3t - 1}$$
(g). $g(x) = \ln \left( x\sqrt{x^{2} - 1} \right) = \ln|x| + \ln (\sqrt{x^{2} - 1})$
$$g^{'}(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} - 1}$$
(h). $f(u) = \frac{\ln u}{1 + \ln(2u)}$
$$f^{'}(u) = \frac{\frac{1}{u} \cdot (1 + \ln(2u)) - \ln (u) \cdot \frac{1}{u}}{(1 + \ln(2u))^{2}} = \frac{1 + \ln(2)}{u(1 + \ln(2u)^{2})}$$
(i). $y = \ln |2 - x - 5x^{2}|$
$$y^{'} = \frac{-1 - 10x}{2 - x - 5x^{2}}$$
(j). $y = \ln(e^{-x} + xe^{-x})$
$$y^{'} = \frac{-e^{-x} + e^{-x} - xe^{-x}}{e^{-x} + xe^{-x}} = \frac{-xe^{-x}}{(x + 1)e^{-x}} = \frac{-x}{x + 1}$$
(k). $y = 2x\log_{10} (\sqrt{x}) = x \log_{10} (x)$
$$y^{'} = \log_{10} (x) + x \cdot \frac{1}{x\ln(10)} = \log_{10} (x) + \frac{1}{\ln(10)}$$
연습문제2. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $f(x) = \ln(\sin^{2}(x))$
(b). $f(x) = \log_{5} (xe^{x})$
(c). $f(x) = \ln (\sqrt[5]{x})$
(d). $f(t) = \frac{1 + \ln(t)}{1 - \ln(t)}$
(e). $h(x) = \ln(x + \sqrt{x^{2} - 1})$
(f). $F(y) = y\ln(1 + e^{y})$
(g). $y = \frac{1}{\ln(x)}$
(h). $H(z) = \ln \sqrt{\frac{a^{2} - z^{2}}{a^{2} + z^{2}}}$
(i). $y = \left[ \ln(1 + e^{x}) \right]^{2}$
(j). $y = \log_{2} (e^{-x}\cos(\pi x))$
(a). $f(x) = \ln(\sin^{2}(x))$
$$f^{'}(x) = \frac{2\cos(x)\sin(x)}{\sin^{2}(x)} = \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} = 2\cot(x)$$
(b). $f(x) = \log_{5} (xe^{x}) = \log_{5} (x) + x\log_{5} (e)$
$$f^{'}(x) = \frac{1}{\ln(5)x} + \log_{5} (e)$$
(c). $f(x) = \ln (\sqrt[5]{x}) = \frac{1}{5} \ln(x)$
$$f^{'}(x) = \frac{1}{5x}$$
(d). $f(t) = \frac{1 + \ln(t)}{1 - \ln(t)}$
$$f^{'}(t) = \frac{\frac{1}{t} (1 - \ln(t)) + (1 + \ln(t)) \frac{1}{t}}{(1 - \ln(t))^{2}} = \frac{2}{t(1 - \ln(t))^{2}}$$
(e). $h(x) = \ln(x + \sqrt{x^{2} - 1})$
$$h^{'}(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} \right)$$
(f). $F(y) = y\ln(1 + e^{y})$
$$F^{'}(y) = \ln(1 + e^{y}) + \frac{ye^{y}}{1 + e^{y}}$$
(g). $y = \frac{1}{\ln(x)}$
$$y^{'} = -\frac{1}{x (\ln(x))^{2}}$$
(h). $H(z) = \ln \sqrt{\frac{a^{2} - z^{2}}{a^{2} + z^{2}}} = \frac{1}{2} \left( \ln(a^{2} - z^{2}) - \ln(a^{2} + z^{2}) \right)$
$$H^{'}(z) = \frac{1}{2} \left( \frac{2z}{a^{2} - z^{2}} + \frac{2z}{a^{2} + z^{2}} \right)$$
(i). $y = \left[ \ln(1 + e^{x}) \right]^{2}$
$$y^{'} = 2\ln(1 + e^{x}) \cdot \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$$
(j). $y = \log_{2} (e^{-x}\cos(\pi x)) = -x\log_{2} (e) + \log_{2} (\cos(\pi x))$
$$y^{'} = -\log_{2} (e) - \frac{\pi \sin(\pi x)}{\ln(2) \cos(\pi x)}$$
연습문제3. 주어진 함수들의 일계도함수와 이계도함수를 구하여라.
(a). $y = x^{2}\ln(2x)$
(b). $y = \frac{\ln(x)}{x^{2}}$
(c). $y = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})$
(d). $y = \ln(\sec(x) + \tan(x))$
(a). $y = x^{2}\ln(2x)$
1). 일계도함수
$$y^{'} = 2x \ln(2x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln(2x) + x$$
2). 이계도함수
$$y^{''} = 2\ln(2x) + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2\ln(2x) + 3$$
(b). $y = \frac{\ln(x)}{x^{2}}$
1). 일계도함수
$$y^{'} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^{2} - 2x\ln(x)}{x^{4}} = \frac{x - 2x\ln(x)}{x^{4}} =\frac{1 - 2\ln(x)}{x^{3}}$$
2). 이계도함수
$$y^{''} = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^{3} - (1 - 2\ln(x)) \cdot 3x^{2}}{x^{6}} = \frac{-x^{2} - 3(1 - 2\ln(x))x^{2}}{x^{6}} = -\frac{4 + 6\ln(x)}{x^{4}}$$
(c). $y = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})$
1). 일계도함수
$$y^{'} = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = (1 + x^{2})^{-\frac{1}{2}}$$
2). 이계도함수
$$y^{''} = -\frac{1}{2} 2x (1 + x^{2})^{-\frac{3}{2}} = -x(1 + x^{2})^{-\frac{3}{2}} = \frac{-x}{\sqrt{(1 + x^{2})^{3}}}$$
(d). $y = \ln(\sec(x) + \tan(x))$
1). 일계도함수
$$y^{'} = \frac{\sec(x)\tan(x) + \tan(x)\sec^{2}(x)}{\sec(x) + \tan(x)} = \frac{\sec(x)(\sec(x) + \tan(x))}{\sec(x) + \tan(x)} = \sec(x)$$
2). 이계도함수
$$y^{''} = \sec(x)\tan(x)$$
연습문제4. 주어진 함수들의 도함수와 기존 함수와 도함수의 정의역을 구하여라.
(a). $f(x) = \frac{x}{1 - \ln(x - 1)}$
(b). $f(x) = \frac{1}{1 + \ln(x)}$
(c). $f(x) = \ln(x^{2} - 2x)$
(d). $f(x) = \ln(\ln(\ln(x)))$
(a). $f(x) = \frac{x}{1 - \ln(x - 1)}$
$$f^{'}(x) = \frac{(1 - \ln(x - 1)) + x \cdot \frac{1}{x - 1}}{(1 - \ln(x - 1))^{2}} = \frac{(2x - 1) - (x - 1)\ln(x - 1)}{(1 - \ln(x - 1))^{2}}$$
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 유리함수이기 때문에 분모가 0이 되지 않아야하고 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
$$\text{Dom}_{f} = \{x \in \mathbb{R} | x > 1 \text{ and } x \neq e + 1\}$$
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다. 도함수에는 기존함수와 동일하게 유리함수와 로그함수가 포함되어있기 때문에 기존함수와 동일한 정의역을 가지게 된다.
$$\text{Dom}_{f^{'}} = \{x \in \mathbb{R} | x > 1 \text{ and } x \neq e + 1\}$$
(b). $f(x) = \frac{1}{1 + \ln(x)}$
$$f^{'}(x) = -\frac{1}{x(1 + \ln(x))^{2}}$$
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 유리함수이기 때문에 분모가 0이 되지 않아야하고 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
$$\text{Dom}_{f} = \{x \in \mathbb{R} | x > 0 \text{ and } x \neq \frac{1}{e}\}$$
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다.
$$\text{Dom}_{f^{'}} = \{x \in \mathbb{R} | x > 1 \text{ and } x \neq \frac{1}{2} \text{ and } x \neq 0\}$$
(c). $f(x) = \ln(x^{2} - 2x) = \ln |x| + \ln|x - 2|$
$$f^{'}(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2}$$
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
$$\text{Dom}_{f} = \{x \in \mathbb{R} | x < 0 \text{ and } x > 2\}$$
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다.
$$\text{Dom}_{f^{'}} = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 0 \text{ and } x \neq 2\}$$
(d). $f(x) = \ln(\ln(\ln(x)))$
$$f^{'}(x) = \frac{1}{x\ln(x)\ln(\ln(x))}$$
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
$$\text{Dom}_{f} = \{x \in \mathbb{R} | x > e \}$$
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다.
$$\text{Dom}_{f^{'}} = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 0 \text{ and } x > 1\}$$
연습문제5. 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식을 구하여라.
(a). $y = \ln(xe^{x^{2}}), (1, 1)$
(b). $y = \ln(x^{3} - 7), (2, 0)$
(a). $y = \ln(xe^{x^{2}}), (1, 1)$
먼저, 주어진 함수는 로그함수의 성질을 이용해서 간단하게 만들 수 있다.
$$y = \ln(xe^{x^{2}}) = \ln |x| + x^{2}$$
이제 주어진 함수의 도함수를 구하도록 한다.
$$y^{'} = \frac{1}{x} + 2x$$
따라서, 주어진 점에서의 접선의 기울기는 $m = 3$이다. 따라서, 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 방정식은 $y = 3(x - 1) + 1 = 3x - 2$이다.
(b). $y = \ln(x^{3} - 7), (2, 0)$
먼저, 주어진 함수의 도함수를 구하도록 한다.
$$y^{'} = \frac{3x^{2}}{x^{3} - 7}$$
따라서, 주어진 점에서의 접선의 기울기는 $m = 12$이다. 따라서, 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 방정식은 $y = 12(x - 2) + 0 = 12x - 24$이다.
연습문제6. 로그함수의 성질을 이용해서 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $y = (2x + 1)^{5}(x^{4} - 3)^{6}$
(b). $y = \frac{\sin^{2}(x)\tan^{4}(x)}{(x^{2} + 1)^{2}}$
(c). $y = x^{x}$
(d). $y = x^{\sin(x)}$
(e). $y = (\cos(x))^{x}$
(f). $y = (\tan (x))^{\frac{1}{x}}$
(a). $y = (2x + 1)^{5}(x^{4} - 3)^{6}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \ln(2x + 1)^{5}(x^{4} - 3)^{6} = 5\ln |2x + 1| - 6\ln |x^{4} - 3|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\frac{y^{'}}{y} = \frac{10}{2x + 1} - \frac{24x^{3}}{x^{4} - 3} \rightarrow y^{'} = y \left( \frac{10}{2x + 1} - \frac{24x^{3}}{x^{4} - 3} \right) = \left( \frac{10}{2x + 1} - \frac{24x^{3}}{x^{3} - 3} \right)(2x + 1)^{5}(x^{4} - 3)^{6}$$
(b). $y = \frac{\sin^{2}(x)\tan^{4}(x)}{(x^{2} + 1)^{2}}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \ln \left( \frac{\sin^{2}(x) \tan^{4}(x)}{(x^{2} + 1)^{2}} \right) = 2\ln |\sin(x)| + 4\ln |\tan(x)| - 2\ln (x^{2} + 1)$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{4\sec^{2}(x)}{\tan(x)} - \frac{4x}{x^{2} + 1} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{4\sec^{2}(x)}{\tan(x)} - \frac{4x}{x^{2} + 1} \right) y = \left( \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{4\sec^{2}(x)}{\tan(x)} - \frac{4x}{x^{2} + 1} \right) \frac{\sin^{2}(x)\tan^{4}(x)}{(x^{2} + 1)^{2}} \end{align*}$$
(c). $y = x^{x}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = x \ln |x|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \ln |x| + 1 \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \ln |x| + 1 \right) y = \left( \ln |x| + 1 \right) x\ln|x| \end{align*}$$
(d). $y = x^{\sin(x)}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \sin(x) \ln |x|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \cos(x) \ln |x| + \frac{\sin(x)}{x} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \cos(x) \ln |x| + \frac{\sin(x)}{x} \right) y = \left( \cos(x) \ln|x| + \frac{\sin(x)}{x} \right) x^{\sin(x)} \end{align*}$$
(e). $y = (\cos(x))^{x}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = x \ln |\cos(x)|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \ln |\cos(x)| - x\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \ln |\cos(x)| - x \tan(x) \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \ln |\cos(x)| - x\tan(x) \right) y = \left( \ln |\cos(x)| x\tan(x) \right) (\cos(x))^{x} \end{align*}$$
(f). $y = (\tan (x))^{\frac{1}{x}}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \frac{1}{x} \ln|\tan(x)| = \frac{\ln |\tan(x)|}{x}$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{\frac{\sec^{2}(x)}{\tan(x)} \cdot \frac{1}{x} - \ln |\tan(x)| \cdot \left( -\frac{1}{x^{2}} \right) }{x^{2}} = \frac{\sec^{2}(x)}{x\tan(x)} - \frac{\ln|\tan(x)|}{x^{2}} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \frac{\sec^{2}(x)}{x\tan(x)} - \frac{\ln |\tan(x)|}{x^{2}} \right) y = \left( \frac{\sec^{2}(x)}{x\tan(x)} - \frac{\ln |\tan(x)|}{x^{2}} \right) (\tan(x))^{\frac{1}{x}} \end{align*}$$
연습문제7. 로그함수의 성질을 이용해서 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $y = \sqrt{x}e^{x^{2}}(x^{2} + 1)^{10}$
(b). $y = \sqrt[4]{\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}}$
(c). $y = x^{\cos(x)}$
(d). $y = \sqrt{x^{x}}$
(e). $y = (\sin(x))^{\ln(x)}$
(f). $y = (\ln(x))^{\cos(x)}$
(a). $y = \sqrt{x}e^{x^{2}}(x^{2} + 1)^{10}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \frac{1}{2} \ln|x| + x^{2} + 10 \ln (x^{2} + 1)$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{1}{2x} + 2x + \frac{20x}{x^{2} + 1} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \frac{1}{2x} + 2x + \frac{20x}{x^{2} + 1} \right) y = \left( \frac{1}{2x} + 2x + \frac{20x}{x^{2} + 1} \right) \sqrt{x}e^{x^{2}}(x^{2} + 1)^{10} \end{align*}$$
(b). $y = \sqrt[4]{\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} \right| = \frac{1}{4} \left( \ln (x^{2} + 1) - \ln |x^{2} - 1| \right)$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{1}{4} \left( \frac{2x}{x^{2} + 1} - \frac{2x}{x^{2} - 1} \right) \\ \rightarrow& y^{'} = \frac{1}{4} \left( \frac{2x}{x^{2} - 1} - \frac{2x}{x^{2} + 1} \right) y = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{2x}{x^{2} - 1} \right) \sqrt[4]{\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}} \end{align*}$$
(c). $y = x^{\cos(x)}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \cos (x) \ln |x|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = -\sin(x) \ln |x| + \frac{\cos(x)}{x} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( -\sin(x) \ln |x| + \frac{\cos(x)}{x} \right) y = \left( -\sin(x) \ln|x| + \frac{\cos(x)}{x} \right) x^{\cos(x)} \end{align*}$$
(d). $y = \sqrt{x^{x}}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \frac{x}{2} \ln|x|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{1}{2} \ln|x| + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( \ln|x| + 1 \right) \\ \rightarrow& y^{'} = \frac{1}{2} \left( \ln |x| + 1 \right) y = \frac{1}{2} \left( \ln |x| + 1 \right) \sqrt{x^{x}}\end{align*}$$
(e). $y = (\sin(x))^{\ln(x)}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \ln (x) \ln |\sin(x)|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} =\frac{1}{x} \ln |\sin(x)| + \ln(x) \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \frac{\ln |\sin(x)|}{x} + \cot(x) \ln(x) \right) y = \left( \frac{\ln |\sin(x)|}{x} + \cot(x) \ln(x) \right) (\sin(x))^{\ln(x)} \end{align*}$$
(f). $y = (\ln(x))^{\cos(x)}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \cos(x) \ln |\ln(x)|$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = -\sin(x) \ln|\ln(x)| + \frac{\cos(x)}{x\ln(x)} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( -\sin(x) \ln |\ln(x)| + \frac{\cos(x)}{x\ln(x)} \right) y = \left( -\sin(x) \ln |\ln(x)| + \frac{\cos(x)}{x\ln(x)} \right) (\ln(x))^{\cos(x)} \end{align*}$$
연습문제8. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $y = \ln (x^{2} + y^{2})$
(b). $x^{y} = y^{x}$
(a). $y = \ln (x^{2} + y^{2})$
주어진 함수는 음함수 형태이므로 양변을 $x$에 대한 미분을 취해준다.
$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx} \left[ \ln (x^{2} + y^{2}) \right] \\ &= \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \cdot (2x + 2y \frac{dy}{dx}) \\ \rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^{2} + (y - 1)^{2} - 1}\end{align*}$$
(b). $x^{y} = y^{x}$
주어진 함수의 양변에 로그함수를 취한다.
$$\ln |x^{y}| = \ln |y^{x}| \rightarrow y \ln|x| = x \ln|y|$$
이때, 주어진 함수는 음함수 형태이므로 양변을 $x$에 대한 미분을 취해준다.
1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ y \ln |x| \right] = \ln |x| \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x}$
2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x \ln |y| \right] = \ln|y| + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx}$
이제 위 식을 정리한다.
$$\begin{align*} &\ln|x| \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \ln|y| + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& \left( \ln|x| - \frac{x}{y} \right) \frac{dy}{dx} = \ln|y| - \frac{y}{x} \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{\ln|y| - \frac{y}{x}}{\ln|x| - \frac{x}{y}}\end{align*}$$
연습문제9. $f(x) = \ln(x - 1)$이라고 할 때 $f^{(n)}(x)$를 구하여라.
주어진 함수를 미분하여 규칙성을 찾도록 한다.
$$\begin{align*} &f^{'}(x) = \frac{1}{x - 1} \\ &f^{''}(x) = -\frac{1}{(x - 1)^{2}} \\ &f^{'''}(x) = \frac{2}{(x - 1)^{3}} \\ &f^{(4)}(x) = - \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(x - 1)^{4}} \end{align*}$$
이를 통해 $f^{(n)}(x) = (-1)^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{(x - 1)^{n}}$임을 알 수 있다.
연습문제10. 미분의 정의를 이용해서 아래의 식을 증명하라.
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(x + 1)}{x}$$
$f(x) = \ln(x + 1)$이라고 하자. 그러면 주어진 식을 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f^{'}(0)$$
따라서, $f^{'}(x) = \frac{1}{x + 1}$이므로 $f^{'}(0) = 1$이다.
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
변경사항
22.09.16 : 전체적인 스타일 수정
22.09.16 : 연습문제1-5 추가
22.09.18 : 연습문제6-10 추가
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