미적분학 - 최대값과 최소값

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 선형근사에서는 $x = a$의 근방에서 임의의 함수 $f(x)$의 값을 근사하는 선형근사(Linear Approximation)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분의 활용 예시로 최대값과 최소값을 구하는 과정에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

 1. 정의 : 전역 최대 (Global Maximum)와 전역 최소 (Global Minimum)

함수 $f$가 $x \in D$에 대해서 점 $x = c$에서 $f(c) \ge f(x)$를 만족하면 $f$는 전역 최대(Global Maximum) 또는 절대 최대(Absolute Maximum)이 존재하며 $f(c)$를 정의역 $D$에서의 $f$의 최대값(Maximum Value)라고 한다. 이와 유사하게, 함수 $f$가 $x \in D$에 대해서 점 $x = c$에서 $f(c) \le f(x)$를 만족하면 $f$는 전역 최소(Global Minimum) 또는 절대 최소(Absolute Minimum)이 존재하며 $f(c)$를 정의역 $D$에서의 $f$의 최소값(Minimum Value)라고 한다.

 

설명

이제 위와 같은 그림이 있을 때 $f(a)$는 $f$의 어떠한 값보다도 항상 작습니다. 따라서 $f(a)$는 닫힌 구간 $[a, e]$에서 $f$의 최소값이 되고 $f(d)$는 $f$의 어떠한 값보다도 항상 큽니다. 따라서 $f(d)$는 닫힌 구간 $[a, e]$에서 $f$의 최대값이 됩니다. 

 

 2. 정의 : 지역 최대 (Local Maximum)와 지역 최소 (Local Minimum)

함수 $f$가 $x \in D$에 대해서 점 $x = c$의 근방에서 $f(c) \ge f(x)$를 만족하면 $f$는 지역 최대(Local Maximum)이 존재하며 $f(c)$를 정의역 $D$에서의 $f$의 지역 최대값(Local Maximum Value)라고 한다. 이와 유사하게, 함수 $f$가 $x \in D$에 대해서 점 $x = c$에서 $f(c) \le f(x)$를 만족하면 $f$는 지역 최소값(Local Minimum)이 존재하며 $f(c)$를 정의역 $D$에서의 $f$의 지역 최소값(Local Minimum Value)라고 한다.

 

설명

이제 위와 같은 그림이 있을 때 $f(b)$는 $x = b$의 아주 좁은 영역 $[b - \epsilon, b + \epsilon]$에서는 $f$의 어떠한 값보다도 항상 큽니다. 따라서 $f(b)$는 닫힌 구간 $[a, e]$에서 $f$의 지역 최대이 되고 $f(c)$와 $f(e)$는 아주 좁은 영역 $[c - \epsilon, c + \epsilon]$와 $[e - \epsilon, e + \epsilon]$에서는 $f$의 어떠한 값보다도 항상 작습니다. 따라서 $f(c)$와 $f(e)$는 닫힌 구간 $[a, e]$에서 $f$의 지역 최소가 됩니다. 

 

 이와 같이 전역 최대와 전역 최소에 해당하는 값은 무조건 하나만 존재하지만 지역 최대와 지역 최소는 여러 개의 값들이 존재할 수 있다는것에 명심하시길 바랍니다. 

 

 정리1. 극값이론 (Extreme Value Theorem; EVT)

$f$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속함수이면 닫힌 구간 $c, d \in [a, b]$에서 항상 전역 최대값 $f(c)$와 전역 최소값 $f(d)$가 존재한다.  

 

 정리2. 페르마 정리 (Fermat's Theorem; FT)

$f$가 $x = c$에서 지역 최대 또는 지역 최소를 가지고 $f^{'}(c)$이 존재한다면 $f^{'}(c) = 0$이다. 

 

 4. 정의 : 임계값 (Critical Point)

함수 $f$의 임계값(Critical Point)는 $f^{'}(c) = 0$ 이거나 $f^{'}(c)$가 존재하지 않는 모든 점들을 의미한다. 

 

예제1. $f(x) = x^{3/5}(4 - x)$의 임계값을 찾아라.

$$\begin{align*} f^{'}(x) &= \frac{3}{5}x^{-2/5}(4 - x) + x^{3/5}\cdot(-1) \\ &= \frac{3(4 - x)}{5x^{2/5}} - x^{3 / 5} \\ &= \frac{-5x + 3(4 - x)}{5x^{2/5}} = \frac{12 - 8x}{5x^{2/5}}\end{align*}$$

 

따라서 $f^{'}(c) = \frac{12 - 8c}{5c^{2/5}} = 0$을 만족하는 점은 $12 - 8c = 0$와 $c = 0$이다.

 

$$c = \frac{3}{2}, 0$$

 

정리3. 닫힌 구간법 (The Closed Interval Method)

함수 $f$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이라고 할 때 함수 $f$의 전역최대값과 전역최소값을 찾기 위해서는 아래와 같이 진행하면 된다. 

 

STEP1. 열린 구간 $(a, b)$에서 함수 $f$의 임계점을 구한다. 

STEP2. 닫힌 구간 $[a, b]$의 양 끝점에서 함수 $f$의 값을 구한다. 

STEP3. STEP1과 STEP2의 가장 큰 값이 전역최대값이고 가장 작은 값이 전역최소값이다. 

 

연습문제1. 아래의 그래프가 주어졌을 때 전역최대값, 전역최소값, 지역최대값, 지역최소값을 구하여라.

 

 

1). 전역최대값 : $x = 4 \rightarrow f(4) = 4$

2). 전역최소값 : 존재하지 않음

3). 지역최대값 : $x = 5 \rightarrow f(5) = 3$

4). 지역최소값 : $x = 2 \rightarrow f(2) = 2, x = 5 \rightarrow f(5) = 3$ 

 

연습문제2. 주어진 함수들의 임계점을 구하여라.

 

(a). $f(x) = 5x^{2} + 4x$

(b). $f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 24x$

(c). $g(t) = 3t^{4} + 4t^{3} - 6t^{2}$

(d). $g(y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

 

(a). $f(x) = 5x^{2} + 4x$

 

$$f^{'}(x) = 10x + 4 = 0 \rightarrow x = -\frac{2}{5}$$

 

(b). $f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 24x$

 

$$f^{'}(x) = 3x^{2} + 6x - 24 = 3(x + 4)(x - 2) = 0 \rightarrow x = -4, 2$$

 

(c). $g(t) = 3t^{4} + 4t^{3} - 6t^{2}$

 

$$g^{'}(t) = 12t^{3} + 12t^{2} - 12t = 12t(t^{2} + t - 1) = 0 \rightarrow t = 0, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

 

(d). $g(y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

 

$$g^{'}(y) = \frac{(y^{2} - y + 1) - (y - 1)(2y - 1)}{(y^{2} - y + 1)^{2}} = -\frac{y(y - 2)}{(y^{2} - y + 1)^{2}} = 0 \rightarrow y = 0, 2$$

 

연습문제3. 주어진 함수들의 임계점을 구하여라.

 

(a). $f(x) = x^{3} + x^{2} - x$

(b). $f(x) = x^{3} + x^{2} + x$

(c). $h(p) = \frac{p - 1}{p^{2} + 4}$

 

(a). $f(x) = x^{3} + x^{2} - x$

 

$$f^{'}(x) = 3x^{2} _ 2x - 1 = (3x - 1)(x + 1) = 0 \rightarrow x = \frac{1}{3}, -1$$

 

(b). $f(x) = x^{3} + x^{2} + x$

 

$$f^{'}(x) = 3x^{2} + 2x + 1= 0$$

 

주어진 방정식을 만족하는 근이 존재하지 않는다. 

 

(c). $h(p) = \frac{p - 1}{p^{2} + 4}$

 

$$f^{'}(x) = \frac{(p^{2} + 4) - 2p(p - 1)}{(p^{2} + 4)} = -\frac{p^{2} - 2p - 4}{(p^{2} + 4)^{2}} = 0 \rightarrow p = 1 \pm \sqrt{5} $$

 

연습문제4. 주어진 함수들과 주어진 구간에서 전역최대값과 전역최소값을 구하여라.

 

(a). $f(x) = 3x^{2} - 12x + 5, [0, 3]$

(b). $f(x) = x^{3} - 3x + 1, [0, 3]$

(c). $f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 1, [-2, 3]$

(d). $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 2, [-1, 4]$

(e). $f(x) = x^{4}  - 2x^{2} + 3, [-2, 3]$

(a). $f(x) = 3x^{2} - 12x + 5, [0, 3]$

 

STEP1. 열린 구간 $(a, b)$에서 함수 $f$의 임계점을 구한다. 

 

$$f^{'}(x) = 6x - 12 = 0 \rightarrow x = 2$$

 

따라서, 함수 $f$는 점 $x = 2$에서 유일한 임계점을 가진다. 그러므로 $f(2) = -7$이다. 

 

STEP2. 닫힌 구간 $[a, b]$의 양 끝점에서 함수 $f$의 값을 구한다. 

 

주어진 구간이 닫힌 구간 $[0, 3]$이므로 $f(0) = 5, f(3) = -4$이다.

 

STEP3. STEP1과 STEP2의 가장 큰 값이 전역최대값이고 가장 작은 값이 전역최소값이다. 

 

각 단계에서 $x = 2$일 때 $f(2) = -7$로 가장 작은 값을 얻었으므로 전역최소값이고 $x = 0$일 때 $f(0) = 5$로 가장 큰 값을 얻었으므로 전역최대값이다. 

 

(b). $f(x) = x^{3} - 3x + 1, [0, 3]$

 

STEP1. 열린 구간 $(a, b)$에서 함수 $f$의 임계점을 구한다. 

 

$$f^{'}(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x + 1)(x - 1) = 0 \rightarrow x = 1, -1$$

 

따라서, 함수 $f$의 임계점은 $x = 1$과 $x = -1$이다. 이때, 주어진 구간은 $[0, 3]$이므로 $x = 1$에서의 함수값인 $f(1) = -1$만 고려하면 된다. 

 

STEP2. 닫힌 구간 $[a, b]$의 양 끝점에서 함수 $f$의 값을 구한다. 

 

주어진 구간이 닫힌 구간 $[0, 3]$이므로 $f(0) = 1, f(3) = 19$이다.

 

STEP3. STEP1과 STEP2의 가장 큰 값이 전역최대값이고 가장 작은 값이 전역최소값이다. 

 

각 단계에서 $x = 1$일 때 $f(1) = -1$로 가장 작은 값을 얻었으므로 전역최소값이고 $x = 3$일 때 $f(3) = 19$로 가장 큰 값을 얻었으므로 전역최대값이다. 

 

(c). $f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 1, [-2, 3]$

 

STEP1. 열린 구간 $(a, b)$에서 함수 $f$의 임계점을 구한다. 

 

$$f^{'}(x) = 6x^{2} - 6x - 12  = 0 \rightarrow x = -1, 2$$

 

따라서, 함수 $f$의 임계점은 $x = -1$과 $x = 2$이다. 이때, 주어진 구간은 $[-2, 3]$이므로 두 임계값 $f(-1) = 8$과 $f(2) = -19$ 모두 고려한다.  

 

STEP2. 닫힌 구간 $[a, b]$의 양 끝점에서 함수 $f$의 값을 구한다. 

 

주어진 구간이 닫힌 구간 $[-2, 3]$이므로 $f(-2) = 5, f(3) = -8$이다.

 

STEP3. STEP1과 STEP2의 가장 큰 값이 전역최대값이고 가장 작은 값이 전역최소값이다. 

 

각 단계에서 $x = 2$일 때 $f(2) = -19$로 가장 작은 값을 얻었으므로 전역최소값이고 $x = -1$일 때 $f(-1) = 8$로 가장 큰 값을 얻었으므로 전역최대값이다. 

 

(d). $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 2, [-1, 4]$

 

STEP1. 열린 구간 $(a, b)$에서 함수 $f$의 임계점을 구한다. 

 

$$f^{'}(x) = 3x^{2} - 12x + 9  = 0 \rightarrow x = 1, 3$$

 

따라서, 함수 $f$의 임계점은 $x = 1$과 $x = 3$이다. 이때, 주어진 구간은 $[-1, 4]$이므로 두 임계값 $f(1) = 6$과 $f(3) = 2$ 모두 고려한다.  

 

STEP2. 닫힌 구간 $[a, b]$의 양 끝점에서 함수 $f$의 값을 구한다. 

 

주어진 구간이 닫힌 구간 $[-1, 4]$이므로 $f(-1) = -14, f(4) = 6$이다.

 

STEP3. STEP1과 STEP2의 가장 큰 값이 전역최대값이고 가장 작은 값이 전역최소값이다. 

 

각 단계에서 $x = -1$일 때 $f(-1) = -14$로 가장 작은 값을 얻었으므로 전역최소값이고 $x = 1, 4$일 때 $f(1) = f(4) = 6$로 가장 큰 값을 얻었으므로 전역최대값이다. 

 

(e). $f(x) = x^{4}  - 2x^{2} + 3, [-2, 3]$

 

STEP1. 열린 구간 $(a, b)$에서 함수 $f$의 임계점을 구한다. 

 

$$f^{'}(x) = 4x^{3} - 4x  = 0 \rightarrow x = -1, 0, 1$$

 

따라서, 함수 $f$의 임계점은 $x = -1$과 $x = 0$ 그리고 $x = 1$이다. 이때, 주어진 구간은 $[-2, 3]$이므로 두 임계값 $f(-1) = 2$과 $f(0) = 3$ 그리고 $f(1) = 2$ 모두 고려한다.  

 

STEP2. 닫힌 구간 $[a, b]$의 양 끝점에서 함수 $f$의 값을 구한다. 

 

주어진 구간이 닫힌 구간 $[-2, 3]$이므로 $f(-2) = 11, f(3) = 66$이다.

 

STEP3. STEP1과 STEP2의 가장 큰 값이 전역최대값이고 가장 작은 값이 전역최소값이다. 

 

각 단계에서 $x = -1, 1$일 때 $f(-1) = f(1) = 2$로 가장 작은 값을 얻었으므로 전역최소값이고 $x = 3$일 때 $f(3) = 66$로 가장 큰 값을 얻었으므로 전역최대값이다. 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)