안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 평균값 정리 (Mean Value Theorem; MVT)에서는 미적분학에서 중요하게 활용되는 평균값 정리(Mean Value Theorem;MVT)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 1차 미분과 함수의 그래프 사이에는 어떤 관계가 있는 지 알아보도록 하겠습니다.
미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.
1. 1차 미분과 함수의 증감
1차 미분을 통해서 저희는 함수의 증감을 알아낼 수 있습니다. 기본적으로 미분은 함수의 접선을 의미합니다. 만약, 그 접선의 기울기가 양수라면 해당 구간에서는 증가하고 있는 상태이고 반대로 음수라면 감소하고 있는 상태라는 것입니다.
위 그래프는 그러한 1차 미분의 특성을 아주 잘 보여주고 있습니다. A ~ B 구간과 C ~ D 구간에서는 기울기가 양수이기 때문에 1차 미분의 부호는 양수임을 알 수 있죠. 그리고 함수는 점점 증가하는 모습을 보여줍니다. 그에 반해 B ~ C 구간에서는 기울기가 음수이기 때문에 1차 미분의 부호는 음수임을 알 수 있습니다. 그리고 함수는 점점 감소하죠. 이를 정리하면 아래와 같습니다.
- 어떤 구간 $x \in I$에서 함수 $f$가 $f^{'}(x) > 0$를 만족하면 함수 $f$는 구간 $I$에서 증가한다.
- 어떤 구간 $x \in I$에서 함수 $f$가 $f^{'}(x) < 0$를 만족하면 함수 $f$는 구간 $I$에서 감소한다.
"함수의 증가" 케이스에 대해서 간단하게 증명해보도록 하겠습니다. 증명 과정에서 MVT가 활용되니 잘 보시길 바랍니다. 먼저, 목표를 설정하면 구간 $I$에서 $x_{1} < x_{2}$를 만족하는 임의의 값 2개 $x_{1}, x_{2}$를 선택하도록 하겠습니다. 그러면 저희는 증가함수의 정의에 따라서 $f(x_{1}) < f(x_{2})$를 보이면 됩니다. 한편, 저희가 가지고 있는 조건이 $f$가 미분가능하다는 조건에 의해서 MVT를 활용할 수 있습니다.
$$f(x_{2}) - f(x_{1}) = f^{'}(c)(x_{2} - x_{1})$$
이때, $c \in I$이기 때문에, $f^{'}(c) > 0$입니다. 그리고 $x_{2} > x_{1}$이기 때문에 $x_{2} - x_{1} > 0$입니다. 그러므로 $f(x_{2}) - f(x_{1}) = f^{'}(c)(x_{2} - x_{1}) > 0$이고 이는 증가함수의 정의와 일치하기 때문에 함수 $f$는 구간 $I$에서 증가함수입니다.
감수 함수의 경우에도 동일하게 증명할 수 있으니 직접 해보시길 추천드립니다.
2. 1차 미분과 최적점
1차 미분을 통해서 저희는 함수의 지역 최댓값이나 지역 최솟값이 존재 유무까지도 판단할 수 있습니다.
위의 그림과 같이 함수가 주어져있다고 가정할 때, 그림(a)는 1차 미분의 부호가 $x = c$에서 양수에서 음수로 변화하였습니다. 이 경우에는 지역 최댓값이 존재하게 되죠. 그에 반해 그림(c)는 1차 미분의 부호가 계속 양수로 유지되고 있기 때문에 이 경우에는 지역 최솟값이 존재하지 않습니다. 이를 정리하면 아래와 같습니다.
정리1. 1차 미분 검사
$c$가 연속함수 $f$의 임계점이라고 가정하자.
(a). $f^{'}$의 부호가 점 $x = c$에서 양수에서 음수로 변화하면 $f$는 점 $x = c$에서 지역 최댓값을 갖는다.
(b). $f^{'}$의 부호가 점 $x = c$에서 음수에서 양수로 변화하면 $f$는 점 $x = c$에서 지역 최솟값을 갖는다.
(c). $f^{'}$의 부호가 점 $x = c$에서 변화하지 않으면 $f$는 점 $x = c$에서 지역 최댓값이나 최솟값을 갖지 않는다.
3. 2차 미분과 볼록성 및 오목성
기본적으로 저희는 볼록(convex) 함수와 오목(concave) 함수가 무엇인지부터 알아보도록 하겠습니다. 아래의 그림을 보시면 쉽게 이해할 수 있습니다.
위 그림에서 함수 $f$와 $g$ 모두 증가하는 그래프입니다. 다른 점은 아래로 볼록한지 아니면 위로 볼록한지에 대한 차이점이죠. 이와 같이 아래로 볼록한 함수 $f$는 볼록 함수라고 하고 위로 볼록한 함수 $g$는 오목 함수라고 부릅니다. 그리고 2차 미분은 저희에게 함수가 볼록 함수인지 오목 함수인지 알려줄 수 있습니다.
정리2. 볼록성 검사(Concavity Test)
(a). 구간 $x \in I$에서 이계 도함수 $f^{''}(x) > 0$를 만족하면 함수 $f$는 오목 함수이다.
(b). 구간 $x \in I$에서 이계 도함수 $f^{''}(x) < 0$를 만족하면 함수 $f$는 볼록 함수이다.
설명
이때, 함수 $f$는 모든 구간에서 볼록이거나 오목 함수일 수도 있지만 위 그림과 같이 오목인 구간과 볼록인 구간이 번갈아서 나타날 수도 있습니다. 이때, 오목에서 볼록으로 바뀌거나 볼록에서 오목으로 바뀌는 점을 변곡점(inflection point)라고 정의하고 $f^{''}(x) = 0$를 만족하는 모든 점을 의미합니다.
또한, 2차 미분은 1차 미분과 함께 적용하면 지역점 검사도 함께 할 수 있습니다.
정리3. 2차 미분 검사(Second Derivative Test)
2계 도함수 $f^{''}$가 점 $c$ 근방에서 연속함수라고 가정하자.
(a). $f^{'}(c) = 0$이고 $f^{''}(c) > 0$을 만족하면 함수 $f$는 점 $c$에서 지역 최소값을 갖는다.
(b). $f^{'}(c) = 0$이고 $f^{''}(c) < 0$을 만족하면 함수 $f$는 점 $c$에서 지역 최대값을 갖는다.
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
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