미적분학 - 부정형 극한과 로피탈의 정리

 안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 미분과 그래프에서는 2차 미분을 통해서 함수의 정보를 얻어내는 방법에 대해서 말씀드렸습니다. 오늘은 다시 함수의 극한을 계산하는 부분으로 돌아오도록 하겠습니다. 저희는 앞으로 다양한 함수의 극한을 구해야 합니다. 이때, 구하기 까다로운 함수의 극한들이 존재하는데요. 이러한 극한 형식을 부정형(indeteminate form)이라고 부릅니다. 오늘은 이러한 극한들에 대해서 알아보도록 하죠.

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

 일단, 함수 $f(x) = \frac{\ln{x}}{x - 1}$이 있다고 가정해보도록 하겠습니다.  이 함수는 기본적으로 $x = 1$에서 정의되지 않기 때문에 저희가 미분을 통해서 $x = 1$ 근방에서 어떤 성질을 가지고 있는지 분석을 해보려고 합니다. 그래서 저희는 극한을 취해서 확인을 해보겠죠?

 

$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln{x}}{x - 1}$$

 

 하지만, 쉽지 않습니다. 왜냐하면, 분모와 분자 모두 0으로 근사하고 있기 때문에 구하기 쉽지 않습니다. 이러한 형태의 극한을 $\frac{0}{0}$ 꼴의 부정형 극한이라고 부릅니다. 심지어 이러한 극한의 형태는 존재하는지, 존재하지 않는지 조차 쉽게 알 수 없습니다. 그렇다면 아래와 같은 극한도 생각해볼 수 있겠죠?

 

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln{x}}{x - 1}$$

 

 이 극한은 분모와 분자 모두 $\infty$가 되기 때문에 역시 구하기 쉽지 않습니다. 이러한 형태의 극한을 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 부정형 극한이라고 부릅니다. 

 

 증명은 하지 않겠지만 위와 같은 형태의 극한을 해결해야할 때 저희가 활용할 수 있는 좋은 정리가 있습니다. 바로 로피탈의 정리(L'Hospital's Rule)이죠.

 

 정리 1. 로피탈의 정리 (L'Hospital's Rule)

함수 $f$와 $g$가 $a$를 포함하는 열린 구간 $I$에서 미분 가능하고 $g \neq 0$이라고 하자. 그리고 아래 2가지 조건 중 하나의 조건을 만족한다고 가정하자.

1). $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = 0$이고 $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0$이다.
2). $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \pm\infty$이고 $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = \pm\infty$이다.

즉, $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$가 $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 부정형 극한이라고 가정했을 때, 아래와 같이 극한을 구할 수 있다. 

$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{x}(x)}$$

 

설명

 로피탈의 정리는 아주 강력한 정리입니다. 저희가 고등학교 때 증명을 하지는 않았지만 정말 유용하게 활용했던 정리이죠. 물론, 이번 포스팅에서도 증명을 생략하도록 하겠습니다. 추후 해석학(analysis)을 포스팅하게 되면 게시하도록 하겠습니다. (증명 과정이 복잡하기 때문에,,,) 이제 간단한 예제들을 통해서 로피탈의 정리를 적용해보도록 하겠습니다. 

 

예제 1. $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln{x}}{x - 1}$의 극한을 구하여라.

$f(x) = \ln {x}$이고 $g(x) = x - 1$이라고 할 때, $f$와 $g$ 모두 미분 가능하고 부정형 극한을 가지고 있기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 

 

$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln{x}}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{x} = 1$$

 

예제 2. $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln{x}}{x - 1}$의 극한을 구하여라.

$f(x) = \ln{x}$이고 $g(x) = x - 1$이라고 할 때, $f$와 $g$ 모두 미분 가능하고 부정형 극한을 가지고 있기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 

 

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln{x}}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0$$

 

다음으로 확인해볼 부정형 극한은 $0 \cdot \infty$ 꼴 입니다. 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 주어졌을 때, 만약 $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = 0$이고 $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = \infty$를 만족하면 $\lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x)$의 극한값을 구하는 것을 어렵습니다. 이때, 저희는 곱의 형태를 몫의 형태로 바꾸어서 로피탈의 정리를 적용하면 쉽게 해결할 수 있습니다. 

 

$$lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}$$

 

 위와 같이 바꾸면 $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 극한이기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있습니다. 

 

예제3. $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x\ln{x}$를 계산하라.

$f(x) = x$ 그리고 $g(x) = \ln{x}$라고 하자. 그러면 $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = 0$이고 $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} g(x) = -\infty$이기 때문에 $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)g(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}$을 꼴로 바꾸어 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 

 

$$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x\ln{x} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln{x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} (-x) = 0$$

 

이번에 확인발 부정형 극한은 $\infty - \infty$ 꼴입니다. 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 주어졌을 때, 만약 $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty$이고 $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = \infty$를 만족하면 $\lim_{x \rightarrow a} f(x) - g(x)$의 극한값을 구하는 것입니다. 방금 전에 $0 \cdot \infty$ 꼴의 부정형 극한을 해결하듯이 몫의 형태로 바꾸어 문제를 해결합니다. 이는 문제에 따라서 다양한 방법으로 해결할 수 있으며 대표적으로 공통분모를 만들거나, 유리화(rationalization) 등으로 해결 할 수 있습니다.  

 

예제4. $\lim_{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^{-}} \left(\sec{x} - \tan{x}\right)$를 계산하라.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^{-}} \left(\sec{x} - \tan{x}\right) &= \lim_{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^{-}} \left(\frac{1}{\cos{x}} - \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right) \\ &= \lim_{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^{-}} \frac{1 - \sin{x}}{\cos{x}} \\ &= \lim_{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^{-}} \frac{\cos{x}}{-\sin{x}} = 0\end{align*}$$

 

마지막으로 확인할 부정형 극한 멱급수의 형태입니다. $f(x)$와 $g(x)$가 주어졌을 때 $\left[f(x)\right]^{g(x)}$와 같은 꼴의 극한을 해결한다고 가정했을 때 아래와 같은 경우에는 해결할 수 있습니다. 

 

• $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = 0$이고 $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0$
• $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty$이고 $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0$
• $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = 1$이고 $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = \pm \infty$

$y = \left[f(x)\right]^{g(x)}$라고 했을 때, $\ln{y} = g(x) \ln{f(x)}$라고 한 뒤, 극한의 결과에 $e^{x}$를 적용하면 됩니다. 

 

예제5. $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left(1 + \sin{4x}\right)^{\cot{x}}$를 계산하라.

$y = \left(1 + \sin{4x}\right)^{\cot{x}}$이라고 할 때, $\ln{y} = \cot{x}\ln{\left(1 + \sin{4x}\right)} = \frac{\ln{\left(1 + \sin{4x}\right)}}{\tan{x}}$의 극한을 구한다. 여기서, 분자는 0으로 분모도 0으로 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 

 

$$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln{y} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln{\left(1 + \sin{4x}\right)}}{\tan{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{4\cos{4x}}{1 + \sin{4x}}}{\sec^{2}{x}} = 4$$

 

따라서, $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} y = e^{4}$이다. 

 

이러한 로피탈의 정리는 저희가 풀어볼 다양한 문제들을 해결하는 데 도움이 됩니다(로피탈은 신이야!). 하지만, 로피탈의 정리만 사용하는 것은 좋은 습관아 아닙니다. 로피탈의 정리가 아닌 다른 초등적인 방법을 사용하는 것을 먼저 고려하고 답이 보이지 않는 다면 그 때 사용하는 것이 좋습니다. 

 

연습문제1. 주어진 극한들의 극한값을 구하여라.

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x}$

(b). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2}$

(c). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{9} - 1}{x^{5} - 1}$

(d). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1}$

(e). $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}} \frac{\cos(x)}{1 - \sin(x)}$

(f). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(4x)}{\tan(5x)}$

(g). $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{3}}$

(h). $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^{3t} - 1}{t}$

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x}$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x} &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 1)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x + 1}{x} = 2 \end{align*}$$

 

 

(b). $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2}$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} &= \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x + 3)(x - 2)}{x - 2} \\ &= \lim_{x \rightarrow 2} (x + 3) = 5 \end{align*}$$

 

 

(c). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{9} - 1}{x^{5} - 1}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 1} (x^{9} - 1) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 1} (x^{5} - 1) = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{9} - 1}{x^{5} - 1} &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{9x^{8}}{5x^{4}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{9}{5}x = \frac{9}{5} \end{align*}$$

 

 

(d). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 1} (x^{a} - 1) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 1} (x^{b} - 1) = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1} &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ax^{a - 1}}{bx^{b - 1}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{a}{b}x^{a - b} = \frac{a}{b} \end{align*}$$

 

 

(e). $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}} \frac{\cos(x)}{1 - \sin(x)}$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}} \frac{\cos(x)}{1 - \sin(x)} &= \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}} \frac{\cos(x)(1 + \sin(x))}{(1 - \sin(x))(1 + \sin(x))} \\ &= \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}} \frac{\cos(x)(1 + \sin(x))}{1 - \sin^{2}(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}} \frac{\cos()x(1 + \sin(x))}{\cos^{2}(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}} \frac{1 + \sin(x)}{\cos(x)} = \infty \end{align*}$$

 

 

(f). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(4x)}{\tan(5x)}$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(4x)}{\tan(5x)} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(4x)}{4x} \cdot \frac{5x}{\sin(5x)} \cdot \cos(5x) \cdot 4x \cdot \frac{1}{5x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{4}{5} = \frac{4}{5} \end{align*}$$

 

 

(g). $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{3}}$

 

1). 분자 : $\lim_{t \rightarrow 0} (e^{t} - 1) = 0$

2). 분모 : $\lim_{t \rightarrow 0} t^{3} = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{3}} &= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^{t}}{3t^{2}} = \infty \end{align*}$$

 

 

(h). $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^{3t} - 1}{t}$

 

1). 분자 : $\lim_{t \rightarrow 0} (e^{3t} - 1) = 0$

2). 분모 : $\lim_{t \rightarrow 0} t = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^{3t} - 1}{t} &= \lim_{t \rightarrow 0} 3e^{3t} = 3 \end{align*}$$

 

연습문제2. 주어진 극한들의 극한값을 구하여라.

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(px)}{\tan(qx)}$

(b). $\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin(\theta)}{\csc(\theta)}$

(c). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$

(d). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2x^{2}}$

(e). $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ln(x)}{x}$

(f). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(\ln(x))}{x}$

(g). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

(h). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)}$

(i). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$

(j). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - 1 - x - \frac{1}{2}x^{2}}{x^{3}}$

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(px)}{\tan(qx)}$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(px)}{\tan(qx)} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(px)}{\sin(qx)} \cdot \frac{\cos(qx)}{\cos(px)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(px)}{px} \cdot \frac{qx}{\sin(qx)} \cdot \frac{qx}{px} = \frac{q}{p} \end{align*}$$

 

 

(b). $\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin(\theta)}{\csc(\theta)}$

 

$$\begin{align*} \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \sin(\theta)}{\csc(\theta)} &= \lim_{\theta \rightarrow 0} \sin(\theta)(1 - \sin(\theta)) = 0 \end{align*}$$

 

 

(c). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow \infty} \ln(x) = \infty$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x} = \infty$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 $\infty$으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2\sqrt{x}}{x} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0 \end{align*}$$

 

 

(d). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2x^{2}}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow \infty} (x + x^{2}) = \infty$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow \infty} (1 - 2x^{2}) = -\infty$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 $-\infty$으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x + x^{2}}{1 - 2x^{2}} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1 + 2x}{-4x} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x} + 2}{-4} = -\frac{1}{2} \end{align*}$$

 

 

(e). $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ln(x)}{x}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x) = -\infty$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x = 0$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(x)}{x} &= -\infty \end{align*}$$

 

 

(f). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(\ln(x))}{x}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow \infty} \ln(\ln(x)) = \infty$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow \infty} x = \infty$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 $\infty$으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(\ln(x))}{x} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x\ln(x)} = 0 \end{align*}$$

 

 

(g). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow \infty} e^{x} = \infty$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow \infty} x^{3} = \infty$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 $\infty$으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{3}} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{3x^{2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{6x} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{6} = \infty \end{align*}$$

 

 

(h). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 1} \ln(x) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 1} \sin(\pi x) = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{\pi x \cos(\pi x))} = -\frac{1}{\pi} \end{align*}$$

 

 

(i). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (e^{x} - 1 - x) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x^{2} = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - 1}{2x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}}{2} = \frac{1}{2} \end{align*}$$

 

 

(j). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - 1 - x - \frac{1}{2}x^{2}}{x^{3}}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (e^{x} - 1 - x - \frac{1}{2}x^{2}) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x^{3} = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - 1 - x - \frac{1}{2}x^{2}}{x^{3}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{3x^{2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - 1}{6x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}}{6} = \frac{1}{6} \end{align*}$$

 

연습문제3. 주어진 극한의 극한값을 구하여라.

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tanh(x)}{\tan(x)}$

(b). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x - \sin(x)}{x - \tan(x)}$

(c). $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{5^{t} - 3^{t}}{t}$

(d). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x) - x}{x^{3}}$

(e). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin(x)}{x}$

(f). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\ln(x))^{2}}{x}$

(g). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}}$

(h). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(mx) - \cos(nx)}{x^{2}}$

(i). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + \sin(x)}{x + \cos(x)}$

(j). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\arctan(4x)}$

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tanh(x)}{\tan(x)}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} \tanh(x) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} \tan(x) = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tanh(x)}{\tan(x)} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\text{sech}^{2}(x)}{\sec^{2}(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos^{2}(x)}{\cosh^{2}(x)} = 1 \end{align*}$$

 

 

(b). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x - \sin(x)}{x - \tan(x)}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (x - \sin(x)) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} (x - \tan(x)) = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x - \sin(x)}{x - \tan(x)} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{1 - \sec^{2}(x)} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (1 - \cos(x)) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} (x - \sec^{2}(x)) = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x - \sin(x)}{x - \tan(x)} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{1 - \sec^{2}(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{-2\sec(x)\sec(x)\tan(x)} \\ &= -\lim_{x \rightarrow 0} -\frac{1}{2} \cos^{3}(x) = -\frac{1}{2} \end{align*}$$

 

 

(c). $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{5^{t} - 3^{t}}{t}$

 

1). 분자 : $\lim_{t \rightarrow 0} (5^{t} - 3^{t}) = 0$

2). 분모 : $\lim_{t \rightarrow 0} t = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0} \frac{5^{t} - 3^{t}}{t} &= \lim_{t \rightarrow 0} (\ln(5)5^{t} - \ln(3)3^{t} ) \\ &= ln(5) - \ln(3) = \ln \left( \frac{5}{3} \right) \end{align*}$$

 

 

(d). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x) - x}{x^{3}}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (\sin(x) - x) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x^{3} = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x) - x}{x^{3}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - 1}{3x^{2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin(x)}{6x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\cos(x)}{6} = -\frac{1}{6} \end{align*}$$

 

 

(e). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin(x)}{x}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} \arcsin(x) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin(x)}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 1 \end{align*}$$

 

 

(f). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\ln(x))^{2}}{x}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow \infty} (\ln(x))^{2} = \infty$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow \infty} x = \infty$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 $\infty$으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\ln(x))^{2}}{x} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2\ln(x)}{x} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow \infty} \ln(x) = \infty$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow \infty} x = \infty$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 $\infty$으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\ln(x))^{2}}{x} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2\ln(x)}{x} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{x} = 0 \end{align*}$$

 

 

(g). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (1 - \cos(x)) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x^{2} = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{2x} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} \sin(x) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{2x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)}{2} = \frac{1}{2} \end{align*}$$

 

 

(h). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(mx) - \cos(nx)}{x^{2}}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (\cos(mx) - \cos(nx)) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x^{2} = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(mx) - \cos(nx)}{x^{2}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{n\sin(nx) - m\sin(mx)}{2x} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (\cos(mx) - \cos(nx)) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x^{2} = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(mx) - \cos(nx)}{x^{2}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{n\sin(nx) - m\sin(mx)}{2x} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (n\sin(nx) - m\sin(mx)) = 0$

2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x = 0$

 

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(mx) - \cos(nx)}{x^{2}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{n\sin(nx) - m\sin(mx)}{2x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{n^{2}\cos(nx) - m^{2}\cos(mx)}{2} = \frac{n^{2} - m^{2}}{2} \end{align*}$$

 

 

(i). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + \sin(x)}{x + \cos(x)}$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + \sin(x)}{x + \cos(x)} = 0 \end{align*}$$

 

 

(j). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\arctan(4x)}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} x = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} \arctan(4x) = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\arctan(4x)} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 16x^{2}}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} (1 + 16x^{2}) = 1 \end{align*}$$

 

연습문제4. 주어진 극한의 극한값을 구하여라.

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 - x + \ln(x)}{1 + \cos(\pi x)}$

(b). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{2x^{2} + 1}}$

(c). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{a} - ax + a - 1}{(x - 1)^{2}}$

(d). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - e^{-x} - 2x}{x - \sin(x)}$

(e). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - 1 + \frac{1}{2}x^{2}}{x^{4}}$

(f). $\lim_{x \rightarrow \infty} x\sin \left( \frac{\pi}{x} \right)$

(g). $\lim_{x \rightarrow -\infty} x^{2}e^{x}$

(h). $\lim_{x \rightarrow 0} \cot(2x)\sin(6x)$

(i). $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \sin(x) \ln(x)$

 

(a). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 - x + \ln(x)}{1 + \cos(\pi x)}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 1} (1 - x + \ln(x)) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 1} (1 + \cos(\pi x)) = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 - x + \ln(x)}{\cos(\pi x)} &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{-1 + \frac{1}{x}}{-\pi \sin(\pi x)} = 0 \end{align*}$$

 

 

(b). $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{2x^{2} + 1}}$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{2x^{2} + 1}} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1} + \frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\end{align*}$$

 

 

(c). $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{a} - ax + a - 1}{(x - 1)^{2}}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 1} (x^{a} - ax + a - 1) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 1} (x - 1)^{2} = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{a} - ax + a - 1}{(x - 1)^{2}} &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ax^{a - 1} - a}{2(x - 1)} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 1} (ax^{a - 1} - a) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 1} (x - 1) = 0(f). $\lim_{x \rightarrow a^{+}} \frac{\cos(x) \ln(x - a)}{\ln(e^{x} - e^{a})}$$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{a} - ax + a - 1}{(x - 1)^{2}} &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ax^{a - 1} - a}{2(x - 1)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{a(a - 1)x^{a - 2}}{2}  = \frac{a(a - 1)}{2} \end{align*}$$

 

 

(d). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - e^{-x} - 2x}{x - \sin(x)}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (e^{x} - e^{-x} - 2x) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} (x - \sin(x)) = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - e^{-x} - 2x}{x - \sin(x)} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + e^{-x} - 2}{1 - \cos(x)} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (e^{x} + e^{-x} - 2) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} (1 - \cos(x)) = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - e^{-x} - 2x}{x - \sin(x)} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + e^{-x} - 2}{1 - \cos(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - e^{-x}}{\sin(x)}\end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (e^{x} - e^{-x}) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} \sin(x) = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - e^{-x} - 2x}{x - \sin(x)} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + e^{-x} - 2}{1 - \cos(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - e^{-x}}{\sin(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} + e^{-x}}{\cos(x)} = 2 \end{align*}$$

 

 

(e). $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - 1 + \frac{1}{2}x^{2}}{x^{4}}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (\cos(x) - 1 + \frac{1}{2}x^{2}) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x^{4} = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - 1 + \frac{1}{2}x^{2}}{x^{4}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin(x) + x}{4x^{3}} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (-\sin(x) + x) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x^{3} = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - 1 + \frac{1}{2}x^{2}}{x^{4}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin(x) + x}{4x^{3}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\cos(x) + 1}{12x^{2}} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (-\cos(x) + 1) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x^{2} = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - 1 + \frac{1}{2}x^{2}}{x^{4}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin(x) + x}{4x^{3}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\cos(x) + 1}{12x^{2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{24x} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} \sin(x) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} x = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x) - 1 + \frac{1}{2}x^{2}}{x^{4}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin(x) + x}{4x^{3}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\cos(x) + 1}{12x^{2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{24x} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(x)}{24} = \frac{1}{24} \end{align*}$$

 

 

(f). $\lim_{x \rightarrow \infty} x\sin \left( \frac{\pi}{x} \right)$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} x\sin \left( \frac{\pi}{x} \right) &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin(\pi / x)}{\pi / x} \cdot \pi = \pi \end{align*}$$

 

 

(g). $\lim_{x \rightarrow -\infty} x^{2}e^{x} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}$

 

1). 분자 : $\lim_{t \rightarrow \infty} t^{2} = \infty$
2). 분모 : $\lim_{t \rightarrow \infty} e^{t} = \infty$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 $\infty$으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow -\infty} x^{2} e^{x} &= \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2t}{e^{t}} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{t \rightarrow \infty} 2t = \infty$
2). 분모 : $\lim_{t \rightarrow \infty} e^{t} = \infty$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 $\infty$으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow -\infty} x^{2} e^{x} &= \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2t}{e^{t}} \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{2}{e^{t}} = 0 \end{align*}$$

 

 

(h). $\lim_{x \rightarrow 0} \cot(2x)\sin(6x)$

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \cot(2x)\sin(6x) &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos(2x)\sin(6x)}{\sin(2x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(6x)}{\sin(2x)} = 3 \end{align*}$$

 

 

(i). $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \sin(x) \ln(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}}$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x) = -\infty$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sin(x)} = \infty$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 $\infty$으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x) \sin(x) &= \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}}  \\ &= \lim_{x \rightarrow 0^{+}} -\frac{\sin^{2}(x)}{x\cos(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left( \frac{\sin^{2}(x)}{x} \right)^{2} \cdot \frac{x}{\cos(x)} = 0 \end{align*}$$

 

연습문제5. 주어진 극한의 극한값을 구하여라.

 

(a). $\lim_{x \rightarrow \infty} x^{3}e^{-x^{2}}$

(b). $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} (1 - \tan(x)) \sec(x)$

(c). $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \ln(x) \tan(\frac{\pi x}{2})$

(d). $\lim_{x \rightarrow \infty} x\tan(1 / x)$

(e). $\lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{\ln(x)} \right)$

(f). $\lim_{x \rightarrow 0} (\csc(x) - \cot(x))$

(g). $\lim_{x \rightarrow \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - x)$

(h). $\lim_{x \rightarrow 0} \left( \cot(x) - \frac{1}{x} \right)$

(i). $\lim_{x \rightarrow \infty} (x - \ln(x))$

(j). $\lim_{x \rightarrow \infty} (xe^{\frac{1}{x}} - x)$

 

(a). $\lim_{x \rightarrow \infty} x^{3}e^{-x^{2}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}$

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow \infty} x^{3} = \infty$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow \infty} e^{x^{2}} = \infty$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 $\infty$으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^{2}}{2xe^{x^{2}}} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow \infty} 3x^{2} = \infty$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow \infty} 2xe^{x^{2}} = \infty$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 $\infty$으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^{2}}{2xe^{x^{2}}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{6x}{2e^{x^{2}} + 4x^{2}e^{x^{2}}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{6x}{2(1 + 2x^{2})e^{x^{2}}} = 0 \end{align*}$$

 

 

(b). $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} (1 - \tan(x)) \sec(x)$

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} (1 - \tan(x)) \sec(x) = 0 \end{align*}$$

 

 

(c). $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \ln(x) \tan(\frac{\pi x}{2})$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1^{+}} \ln(x) \tan(\frac{\pi x}{2}) &= \lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\ln(x) \sin(\frac{\pi x}{2})}{\cos(\frac{\pi x}{2})} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\ln(x)}{\cos(\frac{\pi x}{2})}\end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \ln(x) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1^{+}} \ln(x) \tan(\frac{\pi x}{2}) &= \lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\ln(x)}{\cos(\frac{\pi x}{2})} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{-\frac{\pi}{2}x \sin(\frac{\pi x}{2})} = -\frac{2}{\pi} \end{align*}$$

 

 

(d). $\lim_{x \rightarrow \infty} x\tan(1 / x)$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} x \tan(1 / x) &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x \sin(1 / x)}{\cos(1 / x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin(1 / x)}{1 / x} = 1 \end{align*}$$

 

 

(e). $\lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{\ln(x)} \right)$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{\ln(x)} \right) &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x \ln(x) - (x - 1)}{(x - 1)\ln(x)} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 1} (x \ln(x) - (x - 1)) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 1} (x - 1)\ln(x) = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{\ln(x)} \right) &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x \ln(x) - (x - 1)}{(x - 1)\ln(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln(x)}{\ln(x) + 1 - \frac{1}{x}} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 1} \ln(x) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 1} (\ln(x) + 1 - \frac{1}{x}) = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{\ln(x)} \right) &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x \ln(x) - (x - 1)}{(x - 1)\ln(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln(x)}{\ln(x) + 1 - \frac{1}{x}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x}{x + 1} = \frac{1}{2} \end{align*}$$

 

 

(f). $\lim_{x \rightarrow 0} (\csc(x) - \cot(x))$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} (\csc(x) - \cot(x)) &= \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\sin(x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right) \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow 0} (1 - \cos(x)) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow 0} \sin(x) = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} (\csc(x) - \cot(x)) &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0 \end{align*}$$

 

 

(g). $\lim_{x \rightarrow \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - x)$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - x) &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x} - x)(\sqrt{x^{2} + x} + x)}{\sqrt{x^{2} + x} + x} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(x^{2} + x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + x} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{2} \end{align*}$$

 

 

(i). $\lim_{x \rightarrow \infty} (x - \ln(x))$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} (x - \ln(x)) &= \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \ln(e^{x}) - \ln(x) \right) \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \ln \left( \frac{e^{x}}{x} \right) \\ &= \ln \left( \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x} \right) = \ln(\infty) = \infty \end{align*}$$

 

 

(j). $\lim_{x \rightarrow \infty} (xe^{\frac{1}{x}} - x)$

 

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} (xe^{\frac{1}{x}}) &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{\frac{1}{x}} \end{align*}$$

 

1). 분자 : $\lim_{x \rightarrow \infty} (e^{\frac{1}{x}} - 1) = 0$
2). 분모 : $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0$

주어진 극한의 분자와 분모 모두 0으로 극한값이 수렴하기 때문에 로피탈의 정리를 적용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} (xe^{\frac{1}{x}} - x) &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{\frac{1}{x}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^{2}}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{x}} = 1 \end{align*}$$

 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)