미적분학 - 영역 문제

 안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 그래프 그리기에서는 복잡한 형태의 그래프를 그리는 방법을 설명드렸습니다. 지금까지는 미분을 중심으로 설명드렸다면 오늘부터는 주제를 바꾸어서 적분에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

그림 1

 기본적으로 적분은 그림1과 같이 어떤 곡선 $y = f(x)$가 주어졌을 때, 곡선과 $x$축의 구간 $[a, b]$사이에서 $S$의 면적을 구하는 문제부터 시작합니다. 이때, 면적 $S$를 수학적인 집합으로 표기하면 아래와 같습니다. 

 

$$S = \{(x, y) | a \le x \le b, 0 \le y \le f(x)\}$$

 

 이제 $S$의 면적을 구하면 되겠네요! 하지만 일반적으로 저희가 아는 기초도형(삼각형, 사각형, 원 등)이 아니라서 바로 면적을 구하는 것은 어렵습니다. 따라서 저희가 기본적으로 알고 있는 면적을 구하는 방법을 알아보도록 하죠. 

 

그림 2

  기본적으로 삼각형과 사각형 모두 밑변과 높이를 이용해서 면적을 계산하게 됩니다(그림2 왼쪽, 가운데). 그리고 여기에 해당하지 않는 복잡한 형태의 도형은 삼각형이나 사각형으로 나누어서 각각의 작은 도형의 면적을 계산한 뒤 하나로 합하면 됩니다(그림2 오른쪽). 따라서, 저희도 $S$의 면적을 구하기 위해서 저희가 알고 있는 작은 도형(삼각형, 사각형)으로 잘라서 각 면적을 구한 뒤 합하면 된다는 결론이 나오게 됩니다. 

 

그림 3

 

 이를 위해서 $y = x^{2}$ 함수의 면적을 $[0, 1]$ 사이에서 구해보도록 하겠습니다(그림3 참조). 일단 삼각형으로 나눌 지 사각형으로 나눌지 생각해보면 되겠죠? 하지만 다들 느끼시겠지만 이번에는 삼각형보다는 사각형으로 나누는 것이 훨씬 편합니다. 가장 먼저, 밑변을 얻기 위해서 $[0 ,1]$ 구간을 등간격으로 잘라보겠습니다. 

 

그림 4

 그러면 그림4와 같이 등구간 $[0, \frac{1}{4}]$, $[\frac{1}{4}, \frac{2}{4}]$, $[\frac{2}{4}, \frac{3}{4}]$, $[\frac{3}{4}, 1]$을 얻을 수 있습니다. 그러면 각 구간에 해당하는 영역 $S_{i}(i = 1, 2, 3, 4)$의 면적을 구한 뒤 더하면 됩니다. 하지만 아쉽게도 아직 사각형이 아니기 때문에 한 가지 작업을 더해주어야 합니다. 

 

그림 5

 그림5와 같이 각 구간의 오른쪽 끝 지점($\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, 1$)에서 $y = f(x)$에 해당하는 높이를 구해서 이를 사각형의 높이로 보고, 각 등간격의 너비를 밑변의 길이로 해석하면 100% 동일하지는 않지만 어느정도 $S$와 유사한 결과를 얻을 수 있을 겁니다. 위 4개의 사각형의 합은 아래와 같이 계산되겠죠?

 

$$R = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{2}{4}\right)^{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2} + \frac{1}{4} \cdot 1^{2} = \frac{15}{32} \approx 0.46875$$

 

그림 6

 

 여기서 그림5같이 오른쪽 끝 지점을 사용할 수도 있지만 그림 6과 같이 왼쪽 끝 지점($0, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}$)를 이용할 수도 있습니다. 왼쪽 끝 지점을 사용하게 되면 아래와 같이 근사된 결과를 얻을 수 있습니다. 

 

$$L = \frac{1}{4} \cdot 0^{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{2}{4}\right)^{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{7}{32} \approx 0.21875$$

 

 눈치채셨겠지만 실제 $S$의 면적 $A$은 $R$보다는 작고 $S$보다는 큽니다. 따라서 항상 아래와 같은 부등식을 가지게 되죠.

 

$$L < A < R$$

 

 그렇다면 $L$과 $R$이 $A$에 더욱 근사하려면 어떻게 해야할까요? 방법은 간단합니다. 등간격을 더욱 잘게 쪼개면 됩니다. 방금은 4개로 쪼겠지만 8개, 16개, 100개, 1000개, ... 로 쪼개다보면 더욱 정확한 결과를 얻을 수 있겠죠.

 

표 1

 

 $n$을 쪼개는 구간의 개수라고 했을 때, 저희는 표1을 얻을 수 있습니다. 점점 특정 값에 수렴해가는 과정을 볼 수 있죠. 결과적으로는 $\frac{1}{3}$으로 수렴하게 됩니다. 이를 간단하게 증명해보도록 하겠습니다. $n$을 나누는 영역의 개수라고 하겠습니다.

 

$$\begin{align*} R_{n} &= \frac{1}{n} \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^{2} + \frac{1}{n} \cdot \left(\frac{2}{n}\right)^{2} + \cdot + \frac{1}{n} \cdot \left(\frac{n}{n}\right)^{2} \\ &= \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}} \left(1^{2} + \cdot + \n^{2}\right) \\ &= \frac{1}{n^{3}} \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &= \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^{2}}\end{align*}$$

 

 따라서, $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^{2}} = \frac{1}{3}$입니다. 이와 동일한 방법으로 $L_{n}$의 극한을 조사하면 $\frac{1}{3}$을 얻을 수 있습니다. 따라서 $S$의 면적은 $A = \frac{1}{3}$이라고 할 수 있죠. 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)